結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與極限荷載.ppt

1、第十二章 結(jié)構(gòu)的極限荷載,121 概述,彈性分析方法容許應(yīng)力法計(jì)算結(jié)構(gòu)強(qiáng)度 強(qiáng)度條件：max = u / k （材料極限荷載 / 安全系數(shù)） （如圖，受彎曲的桿件，彈性受力變形階段的截面應(yīng)力分布） 對(duì)于結(jié)構(gòu)在正常使用條件下的應(yīng)力和變形狀態(tài)， 彈性計(jì)算能夠給出足夠準(zhǔn)確的結(jié)果。 缺點(diǎn)：對(duì)于塑性材料的結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)， 當(dāng)最大應(yīng)力到達(dá)屈服極限，某一局部進(jìn)入塑性階段時(shí)， 結(jié)構(gòu)并沒有破壞，因而彈性設(shè)計(jì)是不夠經(jīng)濟(jì)合理的。,塑性分析方法極限荷載方法 強(qiáng)度條件：P P = Pu / K (實(shí)際承受的荷載 極限荷載 / 安全系數(shù)) 極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)破壞標(biāo)志： 結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段，并最后喪失承載能力 截面完全達(dá)到

2、最大應(yīng)力 首先要確定結(jié)構(gòu)破壞時(shí)所能承擔(dān)的荷載 極限荷載， 然后將極限荷載除以安全系數(shù)得出 容許荷載， 并以此為依據(jù)來進(jìn)行設(shè)計(jì)。 為了確定結(jié)構(gòu)的極限荷載，必須考慮材料的塑性變形，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的塑性分析：,極限荷載方法 經(jīng)濟(jì)合理 局限性只反映結(jié)構(gòu)最后狀態(tài)： 不反映彈性塑性極限狀態(tài)過程 給定K在實(shí)際荷載作用下結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)無法確定 設(shè)計(jì)荷載作用下，大多數(shù)為彈性狀態(tài) 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)彈性與塑性計(jì)算相互補(bǔ)充 簡化計(jì)算： 假設(shè)材料 為理想彈塑性材料， 其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 如圖121所示。,加載應(yīng)力增加材料彈塑性 卸載應(yīng)力減少材料彈性 在經(jīng)歷塑性變形之后， 應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系， 同一個(gè)應(yīng)力值可對(duì)應(yīng)于不同的應(yīng)變

3、值， 同一個(gè)應(yīng)變值可對(duì)應(yīng)于不同的應(yīng)力值。 要得到彈塑性問題的解， 需要追蹤全部受力變形過程。 疊加原理不適用 比例加載 各荷載按同一比例增加,12-2 極限彎矩和塑性鉸 破壞機(jī)構(gòu) 靜定梁的計(jì)算,一、彈塑性階段工作情況 理想彈塑性材料 T形截面梁 （圖122a） 純彎曲狀態(tài) 基本概念。,圖b：截面處于彈性階段，s （屈服極限） 圖c：截面最外邊緣處s （達(dá)到屈服極限） 屈服彎矩（彈性極限彎矩）MS = Ws（W：彎曲截面系數(shù)） 圖d：截面處于彈塑性階段。 靠外部分形成塑性區(qū)，其應(yīng)力為常數(shù)，s ， 靠內(nèi)部分仍為彈性區(qū)，稱彈性核，其應(yīng)力直線分布 圖e：截面全部達(dá)到塑性極限情形， 這時(shí)的彎矩是該截面所

4、能承受的最大彎矩 極限彎矩，以Mu 表示。,特點(diǎn)： 彈性階段 應(yīng)力為直線分布，中性軸通過截面的形心 彈塑性階段 中性軸的位置將隨彎矩的大小而變化 在塑性流動(dòng)階段 受拉壓和受壓區(qū)的應(yīng)力均為常數(shù)s。,塑性鉸當(dāng)截面彎矩達(dá)到極限彎矩時(shí)， 截面彎矩不能增大，但彎曲變形可以任意增長 相當(dāng)于無限靠近的兩個(gè)截面可以產(chǎn)生有限相對(duì)轉(zhuǎn)角，相當(dāng)于該截面出現(xiàn)一個(gè)鉸，稱為塑性鉸。 特點(diǎn)（與普通鉸的區(qū)別）： （1）能承受極限彎矩Mu； （2）單向鉸塑性鉸 只能沿彎矩增大方向發(fā)生有限的相對(duì)轉(zhuǎn)角； 如果沿相反方向變形，則截面立即恢復(fù)其彈性而不再具有鉸的性質(zhì)。,二、極限彎矩Mu 極限狀態(tài)，根據(jù)平衡條件， 截面法向應(yīng)力之和應(yīng)等于零

5、，由此得,A1和A2分別為受拉區(qū)和受壓區(qū)的面積。 塑性流動(dòng)階段中的中性軸應(yīng)平分截面面積。 此時(shí)可求得極限彎矩如下：,S1和S2為面積A1和A2對(duì)等面積軸的靜矩。WS為塑性截面系數(shù)。,相應(yīng)的彈性截面系數(shù)和屈服彎矩為：,當(dāng)截面為bh矩形，相應(yīng)的塑性截面系數(shù)和極限彎矩為：,對(duì)于矩形截面，極限彎矩為彈性屈服彎矩的1.5倍。,截面形狀系數(shù)：,幾種常用截面，值： 矩形：1.5 圓形：1.7 薄壁園環(huán)形：1.271.4（一般取1.3） 工字形： 1.11.2（一般取1.15）,破壞機(jī)構(gòu)極限狀態(tài)： 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變或瞬變體系時(shí) 結(jié)構(gòu)喪失承載能力,三、梁在橫向荷載下的彎曲 過程：彈性階段彈塑性階

6、段 達(dá)到極限狀態(tài)。 彈性階段： 加載初期，各截面彎矩均不超過彈性極限彎矩Ms ； 繼續(xù)加載，直到某個(gè)截面的彎矩首先達(dá)到Ms時(shí)， 彈性階段結(jié)束，此時(shí)的荷載叫做彈性極限荷載Ps； 彈塑性階段： 荷載超過Ps時(shí)，在梁中即形成塑性區(qū)， 隨著荷載的增大，塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大。 最后，在某截面處，彎矩首先達(dá)到極限值Mu ， 極限狀態(tài)： 形成塑性鉸對(duì)靜定梁來說，此時(shí)結(jié)構(gòu)已變?yōu)闄C(jī)構(gòu)， 撓度可以任意增大，承載力已無法再增加。 極限狀態(tài)，此時(shí)的荷載稱為極限荷載，以Pu表示。,梁的極限荷載 可根據(jù)塑性鉸截面的彎矩等于極限值的條件， 利用平衡方程求出。,圖123 設(shè)有矩形截面簡支梁 在跨中承受集中荷載作用， 試求極限荷載P

7、u。 【解】由靜力條件，有,對(duì)于變截面梁，塑性鉸首先出現(xiàn)在,如圖所示，試求極限荷載。 破壞機(jī)構(gòu)的可能形式， 既與突變截面D的位置有關(guān)， 也與極限彎矩的比值,有關(guān)。,處。,不同破壞機(jī)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)條件及其相應(yīng)的極限荷載。 （1）當(dāng)截面C出現(xiàn)塑性鉸時(shí)的破壞機(jī)構(gòu)，求相應(yīng)的極限荷載,（2）當(dāng)截面D出現(xiàn)塑性鉸時(shí)的破壞機(jī)構(gòu)，求得極限荷載：,顯然，,（3）討論 如果,則C、D都能實(shí)現(xiàn)塑性鉸。這里處于兩種情況的臨界狀態(tài)， 得到相同的結(jié)果：,如果,，則,如果,，則,12-3 單跨超靜定梁的極限荷載,1超靜定梁的破壞過程和極限荷載的特點(diǎn),超靜定梁多余約束足夠多塑性鉸 機(jī)構(gòu)，喪失承載能力 等截面超靜定梁（圖a） （各截面

8、Mu相同） 彈性彈塑性階段極限狀態(tài)過程: （b）彈性階段彎矩圖：PPs,（c）彈塑性階段M圖：荷載超過Ps，塑性區(qū)首先在A端形成并擴(kuò)大，然后C截面也形成塑性區(qū)。A端首先達(dá)到Mu并出現(xiàn)第一個(gè)塑性鉸。 （d）極限狀態(tài)M圖：荷載再增加，A端彎矩增量為零，當(dāng)荷載增加到使跨中截面的彎矩達(dá)到Mu時(shí)，在該截面形成第二個(gè)塑性鉸，于是梁即變?yōu)闄C(jī)構(gòu)，而梁的承載力即達(dá)到極限值。此時(shí)的荷載稱為極限荷載Pu極限狀態(tài)（e）。,2. 靜力法極限荷載Pu 根據(jù)極限狀態(tài)的彎矩圖，由平衡條件推算出來。,由此求得極限荷載,3. 機(jī)動(dòng)法極限荷載Pu 可應(yīng)用虛功原理來求 外力所作功為,內(nèi)力所作的功為,由虛功方程,即得,超靜定結(jié)構(gòu)極限荷

9、載的計(jì)算特點(diǎn)： （1）只需考慮最后的破壞機(jī)構(gòu)。 無需考慮結(jié)構(gòu)彈塑性變形的發(fā)展過程， （2）只需考慮靜力平衡條件， 而無需考慮變形協(xié)調(diào)條件， 因而比彈性計(jì)算簡單。 （3）不受溫度變化、支座移動(dòng)等因素的影響。 這些因素只影響結(jié)構(gòu)變形的發(fā)展過程， 而不影響極限荷載的數(shù)值。,4. 極限平衡法超靜定梁的極限荷載,只需根據(jù)最后的破壞機(jī)構(gòu)應(yīng)用平衡條件即可求出。這種求極限荷載的方法，叫極限平衡法。,例141,靜力法：,機(jī)動(dòng)法：WeWi,微元體：極限彎矩Mu與相對(duì)轉(zhuǎn)角恒同向，總是作正功,例142,124 比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理,結(jié)構(gòu)和荷載較復(fù)雜真正的破壞機(jī)構(gòu)較難確定， 其極限荷載的計(jì)算可籍助比例加載的

10、幾個(gè)定理 （討論有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理，并只討論比例加載的情況。） 1. 比例加載 第一，各荷載增加保持固定比例，荷載包含公共參數(shù)F稱荷載參數(shù)。 第二，荷載參數(shù)F只是單調(diào)增大，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。 確定極限荷載參數(shù)Fu 討論：梁和剛架等主要抗彎的結(jié)構(gòu)型式， 截面的正極限彎矩與負(fù)極限彎矩的絕對(duì)值相等。,2. 極限狀態(tài)應(yīng)當(dāng)滿足的條件： （1）單向機(jī)構(gòu)條件：在極限狀態(tài)中， 結(jié)構(gòu)中已經(jīng)出現(xiàn)足夠數(shù)量的塑性鉸，使結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)， 可沿荷載方向（即使荷載作正功的方向）作單向運(yùn)動(dòng)。 （2）內(nèi)力局限條件：在極限狀態(tài)中， 任一截面的彎矩絕對(duì)值都不超過其極限彎矩， 即 |M|Mu； （3）平衡條件：在極限狀態(tài)中， 結(jié)構(gòu)的

11、整體或任一局部都能維持平衡。,（1）單向機(jī)構(gòu)條件（e）： 機(jī)構(gòu)沿荷載方向作單向運(yùn)動(dòng)。 （2）內(nèi)力局限條件（d）： 彎矩絕對(duì)值不超過其極限彎矩， 即 |M|Mu； （3）平衡條件（d）： 維持平衡。,3. 兩個(gè)定義： 可破壞荷載（F） 滿足機(jī)構(gòu)條件和平衡條件的荷載。 （用平衡條件求得的荷載值，不一定滿足內(nèi)力局限條件） 可接受荷載（F） 滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載。 （即如果在某個(gè)荷載值的情況下， 能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡， 且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值的荷載值， 不一定滿足單向機(jī)構(gòu)條件） 極限荷載既是可破壞荷載（F）， 又是可接受荷載（F）， 因?yàn)闃O限狀態(tài)滿足上述三個(gè)的條件：,可破壞

12、荷載（F） 滿足機(jī)構(gòu)條件和平衡條件 （用平衡條件求得的荷載值， 不一定滿足內(nèi)力局限條件） 可接受荷載（F） 滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件 （某個(gè)荷載值， 有某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡， 各截面的內(nèi)力不超過極限值， 不一定滿足單向機(jī)構(gòu)條件） 極限荷載 既是可破壞荷載（F）， 又是可接受荷載（F），,C鉸：MC=3Mu Fu=12Mu/l MD=1.5Mu,Fu=6Mu/l MC=1.5Mu MD=0.75Mu,設(shè)：Mu13Mu；Mu2Mu,4. 幾個(gè)定理及其證明 基本定理： F F 即可破壞荷載F恒不小于可接受荷載F。 【證】取任一破壞結(jié)構(gòu)，給單向虛位移。 取可破壞荷載F、可接受荷載F， 對(duì)于相應(yīng)的單向

13、機(jī)構(gòu)位移列出虛功方程，得,內(nèi)力局限條件：,極限狀態(tài)：極限彎矩Mu與相對(duì)轉(zhuǎn)角恒同向，總作正功,由上述基本定理可導(dǎo)出下面三個(gè)定理： （1）極小定理（上限定理）： Fu F+ 可破壞荷載是極限荷載的上限。 或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。 【證明】因?yàn)镕u 屬于 F（極限荷載是可接受荷載） 故由基本定理即得 Fu F+ （2）極大定理（下限定理）： Fu F 可接受荷載是極限荷載的下限， 或者說，極限荷載是可接受荷載中的極大者。 【證明】因?yàn)闃O限荷載是可破壞荷載，F(xiàn)u F （3）唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。因?yàn)镕u1，F(xiàn)u2既是可破壞荷載，又是可接受荷載： Fu1 Fu2 ， Fu1

14、 Fu2 ，所以 Fu1 Fu2,極大、極小定理 應(yīng)用： 求極限荷載的近似解，給出精確解的上下限范圍； 求精確解：完備地列出可能的破壞機(jī)構(gòu)，得到相應(yīng)的可破壞荷載，取其最小者極限荷載。 唯一性定理配合試算法來求極限荷載 試算：取一種破壞機(jī)構(gòu)相應(yīng)破壞荷載驗(yàn)算是否為可接受荷載是，即滿足三個(gè)條件極限荷載 應(yīng)當(dāng)指出，同一結(jié)構(gòu)在同一比例加載（廣義力）作用下， 其極限內(nèi)力狀態(tài)可能不止一種，但每一種極限內(nèi)力狀態(tài)相應(yīng)的極限荷載值則仍彼此相等。 即，極限荷載值是唯一的，而極限內(nèi)力狀態(tài)則并非唯一的,例122a 試求圖126所示梁在均布荷載作用下的極限荷載值,可應(yīng)用極小定理來求qu。 塑性鉸A可確定，但C待定，設(shè)為x

15、。 求可破壞荷載q，對(duì)可能位移列出虛功方程,（1）極小定理（上限定理）： Fu F+ 可破壞荷載是極限荷載的上限。 或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。,為了求q 的極小值，令,得,棄去x1，由x2求得極限荷載為,12-5 計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法,結(jié)構(gòu)和荷載較復(fù)雜時(shí)，真正的破壞機(jī)構(gòu)較難確定， 根據(jù)比例加載的幾個(gè)定理，用下述方法計(jì)算極限荷載： 窮舉法機(jī)動(dòng)法或機(jī)構(gòu)法 列舉所有可能的破壞機(jī)構(gòu) 由平衡條件或虛功原理求相應(yīng)的荷載 取其最小者極限荷載 試算法 任選一種破壞機(jī)構(gòu) 由平衡條件或虛功原理求相應(yīng)的荷載作M圖 若滿足內(nèi)力極限條件極限荷載 若不滿足內(nèi)力極限條件 另選一種破壞機(jī)構(gòu)在行試算直至滿

16、足,例12-3試求圖a所示變截面梁的極限荷載 解破壞機(jī)構(gòu)2個(gè)塑性鉸；可能位置：A、D、C （1）窮舉法 機(jī)構(gòu)1 ：A、D塑性鉸（圖b）,機(jī)構(gòu)2 ：A、C塑性鉸（圖c）,機(jī)構(gòu)3 ：D、C塑性鉸（圖d）,選最小值,（2）試算法 機(jī)構(gòu)1 ：A、D塑性鉸（圖12-7b）， 由虛功原理求得 ：,為可破壞荷載，滿足機(jī)構(gòu)條件和平衡條件； 分段疊加法繪出M圖（圖e）， 不滿足內(nèi)力極限條件（MCMu） 機(jī)構(gòu)2 ：A、C塑性鉸（圖12-7c），求得,可破壞荷載，滿足機(jī)構(gòu)條件和平衡條件； 分段疊加法繪出M圖（圖f）， 滿足內(nèi)力極限條件，即同時(shí)為可接受荷載極限荷載,12-6 連續(xù)梁的極限荷載,連續(xù)梁（圖128a） 破

17、壞機(jī)構(gòu)的可能形式： 各跨獨(dú)立形成破壞機(jī)構(gòu) （圖b、c、d）， 不可能由相鄰幾跨聯(lián)合 形成一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)（圖e） 因?yàn)楹奢d方向均向下， 各跨的最大負(fù)彎矩 只可能發(fā)生在支座截面處。 不可能一跨中部出現(xiàn) 負(fù)彎矩塑性鉸（圖e）,連續(xù)梁的極限荷載計(jì)算： 對(duì)每一個(gè)單跨破壞機(jī)構(gòu)分別求出相應(yīng)的破壞荷載 取其中的最小值 得到連續(xù)梁的極限荷載。,【例12-4 】 試求圖所示 連續(xù)梁的極限荷載。 各跨為等截面，極限彎矩如圖 每一個(gè)單跨破壞機(jī)構(gòu)為 圖b、c、d： （圖d中應(yīng)為F截面為塑性鉸）,AB跨破壞時(shí)（圖b）：,BC跨破壞時(shí)（圖c）：,CD跨破壞時(shí)（圖d） C支座處取較小的Mu ：,比較以上結(jié)果， 可知CD跨首先破

18、壞， 所以極限荷載為,12-7 剛架的極限荷載,剛架極限荷載計(jì)算：窮舉法和試算法。 【圖1210】圖示剛架， 各桿為等截面， 極限彎矩：AC、BEMu；CE2Mu。 計(jì)算極限荷載。 首先確定破壞機(jī)構(gòu)的可能形式： 由彎矩圖的形狀（求解器計(jì)算） 可知塑性鉸只可能 在A、B、C、D、E五個(gè)截面出現(xiàn)。 剛架3次超靜定 故只要出現(xiàn)4個(gè)塑性鉸， 或直桿上出現(xiàn)三個(gè)塑性鉸即為破壞機(jī)構(gòu),可能的破壞機(jī)構(gòu)：,窮舉法： 機(jī)構(gòu)1（圖1210b）：,機(jī)構(gòu)2（圖1210c）：,機(jī)構(gòu)3（圖1210d）,機(jī)構(gòu)4（圖1210e）,選取最小的， 所以極限荷載為,試算法：,選機(jī)構(gòu)2（圖1210c）： 求相應(yīng)荷載,作M圖（圖1211a

19、）： 疊加法作CE的M圖,得MD = 2.67Mu 2 Mu ， 不滿足CE的內(nèi)力局限條件 荷載P不是可接受荷載。,選機(jī)構(gòu)3（圖1210d）： 求相應(yīng)荷載,作M圖（圖1211b）： 疊加法作CE的M圖 得MC = 0.42Mu Mu ， 滿足AC的內(nèi)力局限條件 荷載是可接受荷載。 故機(jī)構(gòu)3即為極限狀態(tài)， 極限荷載為,*12-8 矩陣位移法求剛架的極限荷載,以矩陣位移法為基礎(chǔ)的增量變剛度法， 簡稱為增量法或變剛度法， 適合電算解復(fù)雜的極限荷載問題。 假設(shè)： （1）當(dāng)出現(xiàn)塑性鉸時(shí)，假設(shè)塑性區(qū)退化為一個(gè)截面 （塑性鉸處的截面），而其余部分仍為彈性區(qū)。 （2）荷載按比例增加 所有荷載可用一個(gè)荷載參數(shù)F

20、表示， 且為結(jié)點(diǎn)荷載因而塑性鉸只出現(xiàn)在結(jié)點(diǎn)處。 若有非結(jié)點(diǎn)集中荷載，可把荷載作用截面當(dāng)做結(jié)點(diǎn)處理 （3）每個(gè)桿件的極限彎矩為常數(shù)， 但各桿的極限彎矩可不相同。 （4）忽略剪力和軸力對(duì)極限彎矩的影響。,1增量變剛度法的基本思路 把原來的非線性問題轉(zhuǎn)化為分階段的幾個(gè)線性問題 兩個(gè)特點(diǎn)： （1）把總的荷載分成幾個(gè)荷載增量， 進(jìn)行分階段計(jì)算，因而叫做增量法。 以新塑性鉸的出現(xiàn)作為分界標(biāo)志， 把加載的全過程分成幾個(gè)階段： 由彈性階段開始，過渡到一個(gè)塑性鉸階段， 再過渡到兩個(gè)塑性鉸階段， 最后達(dá)到結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。 每一個(gè)階段有一個(gè)相應(yīng)的荷載增量， 由此可算出相應(yīng)的內(nèi)力和位移增量， 累加后便得到總的內(nèi)力和位

21、移。,（2）對(duì)于每個(gè)荷載增量，仍按彈性方法計(jì)算， 但不同階段要采用不同的剛度矩陣， 因而叫做變剛度法。 在施加某個(gè)荷載增量的階段內(nèi)， 由于沒有新的塑性鉸出現(xiàn)， 因此結(jié)構(gòu)中塑性鉸的個(gè)數(shù)和位置都保持不變 在此階段內(nèi)的結(jié)構(gòu) 可看作是具有幾個(gè)指定鉸結(jié)點(diǎn)的彈性結(jié)構(gòu)； 當(dāng)由前一階段轉(zhuǎn)到新的階段時(shí)， 由于有新的塑性鉸出現(xiàn)， 結(jié)構(gòu)就變?yōu)榫哂行碌你q結(jié)點(diǎn)的彈性結(jié)構(gòu)， 其剛度矩陣需要根據(jù)新塑性鉸情況進(jìn)行修改,F,1,F1,F=F1+F,F1,F,=,+,以圖a所示的梁為例加以說明。 （1）彈性階段： 零荷載P1 第一個(gè)塑性鉸出現(xiàn),【解】單位荷載P=1作用單位彎矩圖（ 圖），,其中控制截面A和B的彎矩組成單位荷載的彎

22、矩向量,相應(yīng)截面的極限彎矩 和單位彎矩相比:,A點(diǎn)比值較小,最小比值發(fā)生在A點(diǎn)，其值為,上述最小比值我們用P1來表示。 當(dāng)荷載增大到：,梁的彎矩為：,相應(yīng)的彎矩向量,為：,（2）一個(gè)塑性鉸階段： P1 P2 第二個(gè)塑性鉸出現(xiàn) 【解】截面A應(yīng)改為單向鉸結(jié)點(diǎn) 結(jié)構(gòu)降低一次超靜定， 改成簡支梁。 單位荷載P=1作用 彎矩圖（ 圖）。 第二個(gè)塑性鉸出現(xiàn)時(shí) 所需施加的荷載增量 可按下式確定：,此荷載增量引起彎矩增量為,（3）極限狀態(tài) 出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸后，結(jié)構(gòu)已成為單向機(jī)構(gòu)， 從而達(dá)到極限狀態(tài)。極限狀態(tài)的彎矩M：,極限荷載為：,例12-6試用增量變剛度法求 圖示剛架的極限荷載。 解（1）第一階段計(jì)算 原剛架

23、在單位荷載P=1作用下， 單位（力）彎矩圖（圖b ） 各控制截面的比值 中，,以截面D的比值為最小， 即為第一階段終結(jié)荷載：,第一個(gè)塑性鉸出現(xiàn)在截面D。(圖c),（2）第二階段計(jì)算 把截面D改為鉸結(jié)點(diǎn)， P=1， 作出新的單位彎矩圖 （圖a- 圖）,在各控制截面中 以截面E的比值為最小，,這個(gè)比值就是第二階段的荷載增量，即,彎矩增量為,荷載和彎矩的累加值分別為：,第二個(gè)塑性鉸在截面E出現(xiàn)(圖c),（3）第三階段計(jì)算 除截面D外， 再把截面E改為鉸結(jié)點(diǎn)， P=1， 作出新的單位彎矩圖 （ 圖a- 圖）,求各控制截面的比值,其中以截面A的比值為最小,P3作用下的彎矩增量為,荷載和彎矩的累加值分別為

24、,第三個(gè)塑性鉸在截面A處出現(xiàn)(圖c),（4）第四階段計(jì)算 再把截面A改為鉸結(jié)點(diǎn)， P=1，新的單位彎矩圖（ ),求各控制截面的比值,其中以截面C的比值為最小,M4 = M4P4（圖b）,（5）極限狀態(tài) 除D、E、A處， 再把截面C改為鉸結(jié)點(diǎn)， 剛架已變?yōu)闄C(jī)構(gòu)， 處于極限狀態(tài)M4， 于是P4就是極限荷載，即,荷載和彎矩的累加值分別為,第四個(gè)塑性鉸在截面C處出現(xiàn)。,使用SMSolver計(jì)算Mi圖 VB程序設(shè)計(jì)變剛度法,第十三章 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定131 概述,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 強(qiáng)度驗(yàn)算：最基本的和必不可少的 穩(wěn)定驗(yàn)算：在某些情況下顯得重要 薄壁結(jié)構(gòu)高層建筑：剪力墻、筒中筒結(jié)構(gòu) 高強(qiáng)度材料結(jié)構(gòu)鋼結(jié)構(gòu)： 鋼框架、大

25、跨屋架、橋梁 受壓比較容易喪失穩(wěn)定 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算： 小撓度理論方法簡單，結(jié)論基本正確。 大撓度理論結(jié)論精確，方法復(fù)雜。,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)： 原始的平衡狀態(tài)，隨荷載增大，喪失其穩(wěn)定性 （由穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡狀態(tài)） 兩類穩(wěn)定問題兩種基本形式： 第一類穩(wěn)定問題分支點(diǎn)失穩(wěn) 第二類穩(wěn)定問題極值點(diǎn)失穩(wěn)。,結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 （以直桿受壓為例） 設(shè)結(jié)構(gòu)： 原來處于某個(gè)平衡狀態(tài)， 受到輕微干擾 而稍微偏離其原來位置； 干擾消失后： 穩(wěn)定平衡狀態(tài) 恢復(fù)平衡位置： 直線平衡形式，只受壓力 不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 繼續(xù)偏離，不能回到原來位置； 彎曲平衡形式，受壓、彎 中性平衡狀態(tài)（隨遇平衡） 由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的 中間狀

26、態(tài)。,1分支點(diǎn)失穩(wěn)（第一類穩(wěn)定問題） 以簡支壓桿為例。（圖a） 完善體系（理想體系）: 桿軸理想直線 荷載理想中心受壓荷載（無偏心） 微小干擾發(fā)生彎曲（圖b）,隨壓力P增大， 考查F與中點(diǎn)撓度之間的關(guān)系曲線 F-曲線（平衡路徑）（圖c）： OAFFcr，0，直線平衡 A點(diǎn)FFcr，直線平衡 彎曲平衡 （力不增加，位移可以增加）,直線形式的平衡狀態(tài) 穩(wěn)定： 單純受壓，無彎曲 原始平衡狀態(tài)： 路徑I原始平衡路徑： 曲線由直線OA表示。 （受到干擾，偏離平衡位置； 干擾消失，恢復(fù)平衡位置） 原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 （唯一的平衡形式）；,F2 Fcr ： 兩種不同形式的平衡狀態(tài)： 直線形式 路徑I （

27、AD段） 彎曲形式 路徑II （AC段：大撓度理論） （AB段：小撓度理論） 點(diǎn)D 對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的： 受到干擾而彎曲， 干擾消失，繼續(xù)彎曲（偏離） 直到C,D,分支點(diǎn)： 兩條平衡路徑和的交點(diǎn)A 分支點(diǎn)失穩(wěn)： 平衡形式的二重性： OA穩(wěn)定平衡 AD不穩(wěn)定平衡 穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。 分支點(diǎn)A 對(duì)應(yīng)的荷載臨界荷載 對(duì)應(yīng)平衡狀態(tài)臨界狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)分支點(diǎn)失穩(wěn) 特征：分支點(diǎn) F Fcr 原始平衡形式 由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定， 并出現(xiàn)新的平衡形式。,D,I（穩(wěn)定）,I（不穩(wěn)定）,II,喪失第一類穩(wěn)定的現(xiàn)象可在其他結(jié)構(gòu)中發(fā)生。 圖示承受荷載的結(jié)構(gòu)： a所示承受均布水壓力的圓環(huán)：園非園 b承受均布荷載的拋物線拱

28、c剛架：軸向受壓壓縮和彎曲 d懸臂工字梁：平面彎曲斜彎曲和扭轉(zhuǎn),喪失第一類穩(wěn)定性的特征： 結(jié)構(gòu)的平衡形式 即內(nèi)力和變形狀態(tài) 發(fā)生質(zhì)的突變： 原有平衡形式成為不穩(wěn)定， 同時(shí)出現(xiàn) 新的有質(zhì)的區(qū)別的 平衡形式。,2極值點(diǎn)失穩(wěn) （第二類穩(wěn)定問題） 以簡支壓桿為例（圖133） 非完善體系（圖a） ： 具有初曲率 承受偏心荷載 加載 處于受壓和彎曲平衡狀態(tài) F曲線（圖b） 小撓度理論（- - - -） F Fe(歐拉臨界值) 撓度 大撓度理論（-） F Fcr（極值點(diǎn)A） 極值點(diǎn)后荷載下降 不穩(wěn)定,Pe,大撓度理論： F Fcr OA穩(wěn)定平衡 A點(diǎn)以后，荷載下降， 位移增加 AB不穩(wěn)定平衡 A點(diǎn)為極值點(diǎn)

29、荷載達(dá)到極大值。 平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 在極值點(diǎn)處 平衡路徑 由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。 這種失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。 極值點(diǎn)相應(yīng)的荷載極大值臨界荷載。,喪失第二類穩(wěn)定性的特征： 結(jié)構(gòu)的 平衡形式不發(fā)生質(zhì)的突變 變形按原有形式迅速增長， 以致使結(jié)構(gòu)喪失承載能力。 非完善體系的失穩(wěn)形式 極值點(diǎn)失穩(wěn)。 F圖：平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象 而 F曲線具有極值點(diǎn),3穩(wěn)定計(jì)算確定臨界荷載 工程結(jié)構(gòu)： 實(shí)際情況第二類穩(wěn)定問題，分析復(fù)雜 簡化計(jì)算第一類穩(wěn)定問題， 分析簡單，偏心的影響通過各種系數(shù)解決； 基本方法： 根據(jù)平衡的二重性 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)可具有兩種平衡形式出發(fā) 確定臨界荷載。 靜力法應(yīng)用靜力平衡條件 能量法

30、應(yīng)用以能量形式表示的平衡條件,a一個(gè)自由度b兩個(gè)自由度c無限多自由度,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度 確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形狀態(tài) 所需的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目,4小結(jié) 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)存在兩種基本形式： 完善體系是分支點(diǎn)失穩(wěn)； 非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。 分支點(diǎn)失穩(wěn)形式的特征： 存在不同平衡路徑的交叉， 在交叉點(diǎn)處出現(xiàn)平衡形式的二重性。 極值點(diǎn)失穩(wěn)形式的特征： 雖然只存在一個(gè)平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題 大撓度理論能得出精確的結(jié)論， 小撓度理論優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單 從實(shí)用的觀點(diǎn)特別是在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值，但也應(yīng)注意某些結(jié)論的局限性 討論：完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問題， 根據(jù)小撓度理論求

31、臨界荷載。,13-2 用靜力法確定臨界荷載,以結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性為依據(jù)， 應(yīng)用靜力平衡條件， 尋求結(jié)構(gòu)在新形式下能維持平衡的荷載， 其最小值即為臨界荷載。 單自由度完善體系 分支點(diǎn)失穩(wěn) 圖示剛性壓桿 單自由度完善體系。 a豎直位置（圖a） 原始平衡形式 b傾斜位置（圖b） 按自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)是否平衡？,a原始平衡形式（圖a） b傾斜位置（圖b） 是否平衡？ 平衡條件： mA = 0, Fl sink0 彈簧反力：k （小撓度理論） 位移微小sin 則（Flk）0 平衡方程有兩個(gè)解： = 0 原始平衡形式。 Flk0 新的平衡形式。 穩(wěn)定方程（特征方程） 解：臨界荷載Fcr = kl,Pl si

32、n,平衡方程有兩個(gè)解： = 0 原始平衡形式。 Pl k 0 新的平衡形式。 穩(wěn)定方程（特征方程） 解：臨界荷載Fcr = kl P曲線（圖c）中， 交點(diǎn)A分支點(diǎn)。 將原始平衡路徑I為分兩段： OA上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡，=0 AB上的點(diǎn)屬于隨意平衡狀態(tài)， 可為任意值 （簡化計(jì)算的假象） 若大撓度理論： Fl sin k0， 0，則如AC）,對(duì)于n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)， 可對(duì)新的平衡形式列出n個(gè)平衡方程， 應(yīng)該是n個(gè)獨(dú)立參數(shù)的齊次方程。 根據(jù)n個(gè)參數(shù)不能全為零（否則對(duì)應(yīng)原始平衡形式）， 因而系數(shù)行列式D等于零的條件建立穩(wěn)定方程：D0,【例131】 兩個(gè)自由體系，求其臨界荷載 （圖a）原始平衡形式。 （圖b

33、）傾斜位置 新的平衡形式 應(yīng)用小撓度理論 假設(shè)位移是微量 齊次方程有兩類解： 即零解和非零解 非零解y1、y2是新的平衡形式,C點(diǎn)支座反力為：FYC F 變形狀態(tài)的平衡條件:,AB：mB0 A-B-C : mC0,體系由原始平衡狀態(tài) 轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)（圖b） 設(shè)A點(diǎn)和B點(diǎn)的水平位移分別為y1和y2 相應(yīng)的支座反力分別為：,系數(shù)行列式不等于零, 則零解（即y1、y2全為零）是齊次方程（f）的唯一解 原始平衡形式是體系唯一的平衡形式 系數(shù)行列式等于零，即,除零解外，齊次方程（f）還有非零解。 除原始平衡形式外，體系還有新的平衡形式 平衡形式即有二重性 體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征 穩(wěn)定問題的特征方程

34、,（f）,解得兩個(gè)特征值：,最小的特征值臨界荷載,特征方程,展開,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形式：,將特征值Fcr代回齊次方程 可求得y1/y2的比值。 位移比值組成的向量 特征向量：,圖136c 僅理論上存在,無限自由度結(jié)構(gòu) 靜力法確定臨界荷載步驟相同 首先確定結(jié)構(gòu)的新的平衡形式 列出平衡方程微分方程（非代數(shù)方程） 求解 邊界條件 一組與未知常數(shù)數(shù)目相等的齊次方程； 非零解 系數(shù)行列式D0 穩(wěn)定方程（超越方程） （解）無窮多根最小者臨界荷載,中心受壓彈性直桿 M = Fy FS（l x） 撓曲線的近似微分方程：,通解：,已知邊界條件： x 0，y 0 ， y 0， x l，y 0 代入通解，可得關(guān)于A、B、F

35、S/F 的齊次方程：,零解原始直線平衡形式,非零解新的平衡形式 系數(shù)行列式應(yīng)等于零,特征方程：D0,y1 nl 和 y2 tgnl 的函數(shù)圖線， 其交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程的根。 3/2= 4.71，nl=4.7左右 試算法：（表131） 特征值：nl 4.493,133 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定,（圖138）剛架 壓桿 彈性支座 （圖a） AB壓桿， BC桿對(duì)AB桿的 轉(zhuǎn)動(dòng)約束作用 （圖b） 簡化為彈性支座的壓桿 （圖c） 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：,圖138,坐標(biāo)系xy 分支點(diǎn)失穩(wěn)新的平衡形式： y1 B端反力矩：,A端反力FS：,取截面x，桿段Ax：平衡微分方程：,式中三個(gè)待定常數(shù)A、B、1 ， 由邊界條件確定

36、： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0,通解,特征方程：,彈簧剛度 k1已知 可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得臨界荷載Fcr,特殊情況： k1 0 ，即兩端鉸支，,k1 ，即一端鉸支，一端固定,一般情況（圖139c） 壓桿三個(gè)彈性支座 坐標(biāo)系xy 分支點(diǎn)失穩(wěn) 新的平衡形式y(tǒng)： 邊界條件： 桿端0 、 1 、2 桿端反力：,任取截面x，桿段1x,任取截面x，桿段1x：平衡微分方程：,式中4個(gè)待定常數(shù)A、B、 、 1 ，由邊界條件確定： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -2,5個(gè)待定常數(shù)，其中1個(gè)為不獨(dú)立的，由整

37、體平衡條件可得其它常數(shù)表示,整體：,關(guān)于A、B、2的 齊次方程非零解： 特征方程穩(wěn)定方程:,（136） 彈性支座壓桿 穩(wěn)定方程的 一般情形,（圖138b）一端彈性固定，另一端鉸支。 k2 = 0，k3 = （= 0），2 不作為獨(dú)立參數(shù),k2 = 0,0,0,0,整體平衡，k20,（133）,（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（134）,（圖139b）一端固定，另一端側(cè)向彈性約束。 k2 = 0，k1 = ,（圖139b）一端固定，另一端側(cè)向彈性約束。 k2 = 0，k1 = ,（135）

38、,【例132】 （圖1310） 對(duì)稱剛架對(duì)稱荷載（圖a） 失穩(wěn)形式正對(duì)稱（圖b） 反對(duì)稱（圖c）,正對(duì)稱取半跨（圖d） 彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l 由式（133）,2i1,反對(duì)稱取半跨（圖e） 與（圖139a）相同 （水平位移無約束） 彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束： k1 32i1 322EI/l 12EI/l 由式（154）,與典型壓桿形式相比： 正對(duì)稱失穩(wěn)比兩端簡支增加彈性約束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87） 反對(duì)稱失穩(wěn)比一端固定，一端自由減少約束 Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47） 所以結(jié)構(gòu)必以反對(duì)稱形式失穩(wěn)。,

39、13-4 用能量法確定臨界荷載,基本方法有兩類： 根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法，稱為靜力法； 根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征而提出的方法，稱為能量法。 靜力法問題： 微分方程具有變系數(shù)，不能積分為有限形式 邊界條件較復(fù)雜，微分方程為髙階行列式 不易展開和求解 能量法較為簡便 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性為依據(jù) 應(yīng)用能量形式表示平衡條件 確定臨界荷載。,勢(shì)能駐值條件用位移表示的平衡方程 在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中， 臨界狀態(tài)的能量特征是： 勢(shì)能為駐值，且位移有非零解。 勢(shì)能是位移y1的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。（圖） F Fcr ，勢(shì)能是負(fù)定的。 原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 F= Fcr ， 體系處于中性

40、平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài) 荷載即臨界荷載 臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為： 在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能由正定過渡到非正定。 對(duì)于單自由度體系，則由正定過渡到負(fù)定。,勢(shì)能駐值原理 能量形式表示的平衡條件： 對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)， 在滿足支承條件和位移連續(xù)條件的 一切虛位移中， 同時(shí)又滿足平衡條件的位移 （即真實(shí)位移）， 使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值。 即結(jié)構(gòu)勢(shì)能的一階變分對(duì)于零 EP0 結(jié)構(gòu)勢(shì)能 結(jié)構(gòu)應(yīng)變能 外力勢(shì)能 EP = VE + V 應(yīng)變能 EP = ky2i（按材料力學(xué)公式計(jì)算） 外力勢(shì)能V = Fii（外力虛功的負(fù)值）,有限自由度結(jié)構(gòu),一組關(guān)于ai的齊次方程組， 要使ai不全為零， 則方程組的系數(shù)行列式應(yīng)

41、等于零 穩(wěn)定方程 臨界荷載,結(jié)構(gòu)的勢(shì)能,勢(shì)能駐值原理,【例133】 單自由體系(圖a) 失穩(wěn)時(shí)微小偏移（圖b）,彈簧應(yīng)變能為,荷載勢(shì)能為,為桿端豎向位移,體系的勢(shì)能為,y10， 臨界荷載,【例134】（圖1312a） 具有兩個(gè)變形自由度的體系。,能量法,彈性支座 應(yīng)變能,荷載勢(shì)能,在圖b中，1點(diǎn)的豎直位移為,結(jié)構(gòu)勢(shì)能 EPVEV,結(jié)構(gòu)勢(shì)能,應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：,得勢(shì)能駐值條件的解包括全零解和非零解。 求非零解，建立特征方程,展開式得,解得兩個(gè)特征值：,最小的特征值叫做臨界荷載，即,無限自由度結(jié)構(gòu)勢(shì)能,應(yīng)變能：,荷載作用點(diǎn)下降 取微段ds與投影dx之差,積分,外力勢(shì)能：,外力勢(shì)能,結(jié)構(gòu)勢(shì)能,其中撓

42、曲線函數(shù) y 未知 無限多獨(dú)立參數(shù)。 結(jié)構(gòu)勢(shì)能為撓曲線函數(shù)y的函數(shù) 泛函求極值問題變分法問題 瑞利李茲法 近似為有限多自由度,應(yīng)變能,瑞利李茲法： 假設(shè)撓曲線為有限個(gè)已知函數(shù)的線性組合,i(x)滿足位移邊界條件的已知函數(shù) 表132（p34） ai任意參數(shù)，共n個(gè) 原體系被近似地看作有n個(gè)自由度的體系。 求解Fcr 為近似解（按有限自由度求解）,* Fcr Fcr (精確解)（p34） 因?yàn)樗僭O(shè)的撓曲線與真實(shí)的曲線不同， 故相當(dāng)于加入了某些約束， 從而增大了壓桿抵抗失穩(wěn)的能力,彎曲應(yīng)變能,再求與F相應(yīng)的位移（壓桿頂點(diǎn)的豎向位移）。 為此，先取微段AB進(jìn)行分析。,荷載勢(shì)能,體系勢(shì)能,勢(shì)能駐值條件

43、,即,（i1,2, . n）,【例135】 圖示兩端簡支的中心受壓柱， 試用能量法求其臨界荷載。 簡支壓桿的位移邊界條件為： 當(dāng)x=0 和x=l 時(shí)，y=0 （1）假設(shè)撓曲線為正弦曲線：,滿足壓桿兩端的邊界條件 應(yīng)變能及外力勢(shì)能 :,結(jié)構(gòu)勢(shì)能：,與靜力法的精確解相同， 所設(shè)撓曲線即是真實(shí)撓曲線。,（2）假設(shè)撓曲線為拋物線,（3）取跨中橫向集中力FS作用下的撓曲線作為變形形式,誤差為0.01,（4）討論：假設(shè)撓曲線臨界荷載值 拋物線誤差為21.6%。 跨中橫向集中力作用下的撓曲線誤差為1.3%， 正弦曲線，失穩(wěn)真實(shí)變形曲線臨界荷載是精確解,誤差為21.6,【例136】 試求圖137所示壓桿的臨界

44、荷載,坐標(biāo)系如圖，兩端位移邊界條件為 當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y=0 當(dāng)x=l時(shí)，y=0 假設(shè)變形曲線為 取表132中第四種 相應(yīng)位移條件的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)前兩項(xiàng)：,a1、a2不全為零：,【例137】 圖示等截面柱，下端固定、上端自由， 試求在均勻豎向荷載作用下的臨界荷載值qcr,均布荷載q，需要另行計(jì)算外力勢(shì)能： 微段ds轉(zhuǎn)角y，產(chǎn)生豎向位移：,微段以上荷載FS=q（l-x） 在此位移上做功 FSd,所有荷載所作之功為沿桿長積分：,ds,d,坐標(biāo)系如圖 兩端位移邊界條件為 當(dāng)x=0時(shí)，y=0 y=0 根據(jù)上述位移邊界條件， 假設(shè)變形曲線為 取表132中 相應(yīng)位移條件的三角級(jí)數(shù)（a）的兩項(xiàng)：,積分求應(yīng)變能與外力勢(shì)能：,135 變截面壓桿的穩(wěn)定,兩種變截面壓桿：階梯形、截面慣性矩按冪函數(shù)變化 1階梯型直桿（圖1316a） 上下兩部分剛度為：EI1 、EI2 壓桿失穩(wěn)時(shí) 上下兩部分的位移為： y1 、y2 平衡微分方程：,通解：,有五個(gè)未知常數(shù)：A1、B1、A2、B2、 已知邊