第七章 第3節(jié)曲面及其方程.ppt

1、1,一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱面,2,一、曲面方程的概念,3,曲面方程的定義,4,研究空間曲面有兩個基本問題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,5,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,6,根據(jù)題意有,化簡得所求方程,解,7,例3. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是一個球面或點或虛軌跡.,怎樣的曲面.,表示,半徑為,的球面.,球心,8,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面

2、上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,9,如圖,將 代入,10,將,得方程,代入,11,12,例4.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為,的圓錐面方程.,解:在yoz面上,直線 L的方程為,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時, 圓錐面的方程為,13,例5 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙曲面,14,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,15,三、柱面,16,定義,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線L 叫柱面的母線.,17,柱面舉例,拋物柱面,平面,18,從柱面方程看柱面的

3、特征：,19,20,二次曲面：,三元二次方程所表示的曲面,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面方法: 截痕法,21,（一）橢球面,橢球面與三個坐標(biāo)面的交線：,22,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,23,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫為,與平面 的交線為圓.,24,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,25,（二）拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得一點，即坐標(biāo)原點,設(shè),原點也叫橢圓拋物面的頂點.,26,與平面 的交

4、線為橢圓.,當(dāng) 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.,與平面 不相交.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得拋物線,27,與平面 的交線為拋物線.,它的軸平行于 軸,頂點,（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得拋物線.,同理當(dāng) 時可類似討論.,28,橢圓拋物面的圖形如下：,29,特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,（由 面上的拋物線 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）,與平面 的交線為圓.,當(dāng) 變動時，這種圓的中心都在 軸上.,30,（ 與 同號）,雙曲拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設(shè),圖形如下：,31,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點 的橢圓.,32,與平面 的交線為橢

5、圓.,當(dāng) 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點的雙曲線.,實軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.,33,雙曲線的中心都在 軸上.,與平面 的交線為雙曲線.,實軸與 軸平行,虛軸與 軸平行.,實軸與 軸平行,虛軸與 軸平行.,截痕為一對相交于點 的直線.,34,截痕為一對相交于點 的直線.,（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得雙曲線.,35,單葉雙曲面圖形,平面 的截痕是兩對相交直線.,36,雙葉雙曲面,37,38,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,39,二、旋轉(zhuǎn)曲面,

6、定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,40,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,41,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,42,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,43,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.

7、,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,44,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,45,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,46,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,47,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,48,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面

8、上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,49,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,50,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,51,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,52,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這

9、條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,53,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,54,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,55,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,56,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲

10、面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,57,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,58,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,59,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,60,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,61,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,62,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線