2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.3空間圖形的基本關(guān)系與公理課件文北師大版.pptx

1、8.3空間圖形的基本關(guān)系與公理,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.四個(gè)公理 公理1：如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)). 公理2：經(jīng)過(guò) 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面). 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們 通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線 .,知識(shí)梳理,兩點(diǎn),不在一條直線上,有且只有一條,平行,定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的 叫作異面直線a，b所成的角(或夾角). 范圍

2、： .,2.直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類,共面直線,直線,直線,異面直線：不同在 一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn),相交,平行,任何,(2)異面直線所成的角,銳角(或直角),3.直線與平面的位置關(guān)系有 、 、_ 三種情況. 4.平面與平面的位置關(guān)系有 、 兩種情況. 5.等角定理 空間中，如果兩個(gè)角的 ，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).,兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,平行,相交,直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與,平面平行,1.唯一性定理 (1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行. (2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直. (3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行. (4)過(guò)平面外

3、一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直. 2.異面直線的判定定理 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)如果兩個(gè)不重合的平面，有一條公共直線a，就說(shuō)平面，相交，并記作a.() (2)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)，相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線.() (3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.() (4)經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.() (5)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(),1.下列命題正確的個(gè)數(shù)為 梯形可以確定一個(gè)平面； 若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三

4、個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,中兩直線可以平行、相交或異面，中若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則兩個(gè)平面相交，正確.,2.(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則 A.ml B.mn C.nl D.mn,答案,解析,由已知，l，l，又n，nl，C正確.,3.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b A.一定是異面直線 B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線,答案,解析,由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，

5、與已知a、b為異面直線相矛盾.,4.(教材改編)如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCDEFGH中，AB2 ，AD2 ，AE2，則BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_.,答案,解析,45,60,BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即EGF， tanEGF 1，,EGF45，,5.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi).,答案,解析,4,EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交的側(cè)面有4個(gè).,題型分類深度剖析,題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用,例1(1)(2016山東)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則

6、“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.,(2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG BC，CH DC.求證： E、F、G、H四點(diǎn)共面；,證明,連接EF、GH，如圖所示， E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)， EFBD. 又CG BC，CH DC， GHBD，EFGH， E、F、G、H四點(diǎn)共面.,幾何畫板展示,三直線FH、EG、AC共

7、點(diǎn).,證明,易知FH與直線AC不平行，但共面， 設(shè)FHACM， M平面EFHG，M平面ABC. 又平面EFHG平面ABCEG， MEG，F(xiàn)H、EG、AC共點(diǎn).,思維升華,共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明 (1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合. (2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上. (3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).,跟蹤訓(xùn)練1如圖，正方

8、體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證： (1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；,證明,如圖， 連接EF，CD1，A1B. E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFA1B. 又A1BD1C，EFCD1， E、C、D1、F四點(diǎn)共面.,(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn).,證明,EFCD1，EFCD1， CE與D1F必相交， 設(shè)交點(diǎn)為P，如圖所示. 則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直線DA.CE，D1F，DA三線共點(diǎn).,題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系,例2(1)(2015廣東)若直線l1和l2是異面

9、直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是 A.l與l1，l2都不相交 B.l與l1，l2都相交 C.l至多與l1，l2中的一條相交 D.l至少與l1，l2中的一條相交,答案,解析,若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾， l至少與l1，l2中的一條相交.,(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是 A.MN與CC1垂直 B.MN與AC垂直 C.MN與BD平行 D.MN與A1B1平行,答案,解析,幾何畫板展示,連接B1C，B1D1，如圖所示， 則點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn)，M

10、N是B1CD1的中位線，MNB1D1， 又BDB1D1，MNBD. CC1B1D1，ACB1D1， MNCC1，MNAC. 又A1B1與B1D1相交， MN與A1B1不平行，故選D.,(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_.(填上所有正確答案的序號(hào)),答案,解析,圖中，直線GHMN； 圖中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面； 圖中，G、M、N共面，但H面GMN， 因此GH與MN異面. 所以圖中GH與MN異面.,思維升華,空間中兩

11、直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個(gè)數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯(cuò)，顯然成立.,(2)(2016南昌一模)已知a、b、c是相異直線，、是相異平面，則下列命題中正確的是 A.a與b異面，b

12、與c異面a與c異面 B.a與b相交，b與c相交a與c相交 C.， D.a，b，與相交a與b相交,答案,解析,如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但acA，故A錯(cuò)誤； 在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯(cuò)誤；如圖(3)，c，ac，則a與b不相交，故D錯(cuò)誤.,題型三求兩條異面直線所成的角,例3(2016重慶模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_(kāi).,答案,解析,如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCDQGHP，連接GP，則GPBD，所以APG為異面直線AP與BD所成

13、的角， 在AGP中，AGGPAP， 所以APG .,引申探究,在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點(diǎn)，異面直線EM與AF所成的角為，求cos 的值.,解答,設(shè)N為BF的中點(diǎn)，連接EN，MN，則MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補(bǔ)角. 不妨設(shè)正方形ABCD和ADPQ的邊長(zhǎng)為4，,在MEN中，由余弦定理得,思維升華,用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.,跟蹤

14、訓(xùn)練3已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為,答案,解析,畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示. 設(shè)其棱長(zhǎng)為2，取AD的中點(diǎn)F， 連接EF， 設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接CO， 則EFBD， 則FEC就是異面直線CE與BD所成的角. ABC為等邊三角形， 則CEAB，,故CECF. 因?yàn)镺EOF，所以COEF.,典例已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題： 若m，n，mn，則； 若m，n，mn，則； 若m，n，mn，則； 若m，n，則mn. 其中所有正確的命題是_.,構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系,思想與方法系列16,答案,解析,思想方法指

15、導(dǎo),本題可通過(guò)構(gòu)造模型法完成，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問(wèn)題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀去判斷.,返回,借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決本題，對(duì)于，可以得到平面、互相垂直，如圖(1)所示，故正確； 對(duì)于，平面、可能垂直，如圖(2)所示，故不正確； 對(duì)于，平面、可能垂直，如圖(3)所示，故不正確； 對(duì)于，由m，可得m，因?yàn)閚，所以過(guò)n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙g，所以mn，故正確.,返回,課時(shí)作業(yè),1.在下列命題中，不是公理的是

16、A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都 在此平面內(nèi) D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該 點(diǎn)的公共直線,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不需要證明的.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016福州質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線 A.不存在 B

17、.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有無(wú)數(shù)條,答案,解析,在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1B1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時(shí)確定不同的平面， 從而與BC有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與A1B1、EF、 BC分別有交點(diǎn)P、M、N，如圖，故有無(wú)數(shù)條直線與 直線A1B1、EF、BC都相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.對(duì)于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互為異面直線,答案,解析,不論l，l，還是l與相交，內(nèi)都有直線m使得ml.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

18、,13,4.在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，則 A.M一定在直線AC上 B.M一定在直線BD上 C.M可能在AC上，也可能在BD上 D.M既不在AC上，也不在BD上,答案,解析,由于EFHGM，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以點(diǎn)M為平面ABC與平面ACD的一個(gè)公共點(diǎn)，而這兩個(gè)平面的交線為AC，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,此題相當(dāng)于一個(gè)正方形沿著對(duì)角線折成一個(gè)四面體，長(zhǎng)為a的棱長(zhǎng)一定大于0且小于 .故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

19、11,12,13,6.下列命題中，正確的是 A.若a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，且a，b，則a，b是異 面直線 B.若a，b是兩條直線，且ab，則直線a平行于經(jīng)過(guò)直線b的所有平面 C.若直線a與平面不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行 D.若直線a平面，點(diǎn)P，則平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線a平行的直 線有且只有一條,答案,解析,對(duì)于A，當(dāng)，a，b分別為第三個(gè)平面與，的交線時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可知ab，故A錯(cuò)誤. 對(duì)于B，設(shè)a，b確定的平面為，顯然a，故B錯(cuò)誤. 對(duì)于C，當(dāng)a時(shí)，直線a與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都平行，故C錯(cuò)誤.易知D正確.故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

20、,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016昆明模擬)若兩條異面直線所成的角為60，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)”共有_對(duì).,答案,解析,24,如圖，若要出現(xiàn)所成角為60的異面直線，則直線需為面對(duì)角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條，分別是AB，BC，AD，CD，正方形的面對(duì)角線有12條，所以所求的“黃金異面直線對(duì)”共有 24對(duì)(每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以要除以2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

21、8.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開(kāi)圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中， GH與EF平行； BD與MN為異面直線； GH與MN成60角； DE與MN垂直. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_.,答案,解析,把正四面體的平面展開(kāi)圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015浙江)如圖，三棱錐A-BCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的 中點(diǎn)，

22、則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_.,答案,解析,如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK. M為AD的中點(diǎn)， MKAN， KMC為異面直線AN，CM所成的角. ABACBDCD3，ADBC2， N為BC的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在CKM中，由余弦定理，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016鄭州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在ADE翻折過(guò)程中

23、，下面四個(gè)命題中不正確的是_.,答案,解析,BM是定值； 點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)； 存在某個(gè)位置，使DEA1C； 存在某個(gè)位置，使MB平面A1DE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取DC中點(diǎn)F，連接MF，BF，MFA1D且MF A1D，F(xiàn)BED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得正確； 由MFA1D與FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正確； A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE 不垂直，可得不正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn).求證：D1、H、O三點(diǎn)共線.,解答,如圖，連接BD，B1D1， 則BDACO， BB1綊DD1， 四邊形BB1D1D為平行四邊形，又HB1D， B1D平面BB1D1