六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程 11 圓與扇形

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 圓與扇形五年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問(wèn)題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。圓的面積=r2，圓的周長(zhǎng)=2r，本書(shū)中如無(wú)特殊說(shuō)明，圓周率都取=3.14。例1 如下圖所示，200米賽跑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在直跑道上，中間的彎道是一個(gè)半圓。已知每條跑道寬1.22米，那么外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面多少米？（精確到0.01米）分析與解：半徑越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長(zhǎng)，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點(diǎn)就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長(zhǎng)度差。雖然彎道的各個(gè)半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于

2、一條跑道之寬。設(shè)外彎道中心線的半徑為r，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，則兩個(gè)彎道的長(zhǎng)度之差為r-r（r-r） 3.141.223.83（米）。即外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面3.83米。例2 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時(shí)橡皮筋的長(zhǎng)度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長(zhǎng)等于6個(gè)線段ab與6個(gè)bc弧長(zhǎng)之和。將圖中與bc弧類(lèi)似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心角平移拼補(bǔ)，得到6個(gè)角的和是360，所以bc弧所對(duì)的圓心角是60，6個(gè)bc弧等于直徑5厘米的圓的周長(zhǎng)。而線段ab等于塑料管的直徑，由此知繩長(zhǎng)=5653.1445.7（厘米）。例3 左下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面

3、積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計(jì)算。容易看出，正方形中的空白部分是4個(gè)四分之一圓，利用五年級(jí)學(xué)過(guò)的割補(bǔ)法，可以得到右上圖。右上圖的陰影部分的面積與原圖相同，等于一個(gè)正方形與4個(gè)半圓（即2個(gè)圓）的面積之和，為（2r）2r22=1023.1450257（厘米2）。 例4 草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊（見(jiàn)左下圖）。問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為a，b，c三部分，所以羊活動(dòng)的范圍是例5 右圖中陰影部分的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角

4、三角形相差的部分。所以，扇形的半徑是4厘米。例6 右圖中的圓是以o為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積。分析與解：解此題的基本思路是：從這個(gè)基本思路可以看出：要想得到陰影部分s1 的面積，就必須想辦法求出s2和s3的面積。s3的面積又要用下圖的基本思路求： 現(xiàn)在就可以求出s3的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積了。s3=s4-s5=50-100（厘米2），s1=s2-s3=50-（50-100）=100（厘米2）。練習(xí)111.直角三角形abc放在一條直線上，斜邊ac長(zhǎng)20厘米，直角邊bc長(zhǎng)10厘米。如下圖所示，三角形由位置繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置，此時(shí)b，c點(diǎn)分別到達(dá)b1，c1點(diǎn)；再繞b1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，

5、到達(dá)位置，此時(shí)a，c1點(diǎn)分別到達(dá)a2，c2點(diǎn)。求c點(diǎn)經(jīng)c1到c2走過(guò)的路徑的長(zhǎng)。2.下頁(yè)左上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？3.一只狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的等邊三角形建筑物的墻角上（見(jiàn)右上圖），繩長(zhǎng)是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個(gè)400米的跑道，兩頭是兩個(gè)半圓，每一半圓的弧長(zhǎng)是100米，中間是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為100米。求兩個(gè)半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左下圖中，正方形周長(zhǎng)是圓環(huán)周長(zhǎng)的2倍，當(dāng)圓環(huán)繞正方形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來(lái)位置時(shí)，這個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影部分的面積是14厘米2 ，求圖中三角形的面積。答案與提示練習(xí)111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影部分周長(zhǎng)是6+27=62.8（厘米）。3.43.96米2。解：如下頁(yè)右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300的扇形與兩個(gè)半徑為1米、圓心角為120的扇形。面積為4.60。解：設(shè)cab為n度，半圓adb的半徑為r。由題意有解