高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示學(xué)案 蘇教版必修

1、21向量的概念及表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念知識(shí)鏈接1力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理學(xué)中常稱為矢量，在數(shù)學(xué)中叫做向量；而把那些只有大小，沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量，在物理學(xué)中常稱為標(biāo)量2已知下列各量：力；功；速度；質(zhì)量；溫度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是數(shù)量的有，是向量的有.3向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？答聯(lián)系是向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別是

2、向量有方向且不能比較大小，數(shù)量無(wú)方向且能比較大小預(yù)習(xí)導(dǎo)引1向量：既有大小又有方向的量稱為向量2向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記作.3向量的有關(guān)概念(1)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，叫做零向量，記作0.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量(3)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量(4)相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量(5)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量記法：向量a平行于b，記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量平行.要點(diǎn)一向量的概念例1給出下列各命題：(1)零向量沒(méi)有方向；(2)若|a|b|，則a

3、b；(3)單位向量都相等；(4)向量就是有向線段；(5)兩相等向量若其起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；(6)若ab，bc，則ac；(7)若ab，bc，則ac；(8)若四邊形ABCD是平行四邊形，則，.其中正確命題的序號(hào)是_答案(5)(6)解析(1)該命題不正確，零向量不是沒(méi)有方向，只是方向不確定；(2)該命題不正確，|a|b|只是說(shuō)明這兩向量的模相等，但其方向未必相同；(3)該命題不正確，單位向量只是模為單位長(zhǎng)度1，而對(duì)方向沒(méi)要求；(4)該命題不正確，有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來(lái)；(5)該命題正確，因兩相等向量的模相等，方向相同，故當(dāng)它們的起點(diǎn)相同時(shí)，其終點(diǎn)必重合；(6)該命題

4、正確由向量相等的定義知，a與b的模相等，b與c的模相等，從而a與c的模相等；又a與b的方向相同，b與c的方向相同，從而a與c的方向也必相同，故ac；(7)該命題不正確因若b0，則對(duì)兩不共線的向量a與c，也有a0，0c，但ac不成立；(8)該命題不正確如圖所示，顯然有，.規(guī)律方法要充分理解與向量有關(guān)的概念，明白它們各自所表示的含義，搞清楚它們之間的區(qū)別是解決與向量概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵跟蹤演練1下列命題中，正確的是_a，b是兩個(gè)單位向量，則a與b相等；若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；兩個(gè)相等的向量，起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同；共線的單位向量必是相等向量答案解析若a與b中有一個(gè)是零向量，則a

5、與b是平行向量要點(diǎn)二向量的表示例2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：(1)，使|4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45；(2)，使|4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；(3)，使|6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30.解(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如圖所示(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如圖所示(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30處，且|6，依

6、據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如圖所示規(guī)律方法在畫圖時(shí)，向量是用有向線段來(lái)表示的，用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說(shuō)向量就是有向線段跟蹤演練2中國(guó)象棋中規(guī)定：馬走“日”字下圖是中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤，若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量或表示馬走了“一步”試在圖中畫出馬在B，C處走了“一步”的所有情況解根據(jù)規(guī)則，畫出符合要求的所有向量馬在B處走了“一步”的情況如圖(1)所示；馬在C處走了“一步”的情況如圖(2)所示要點(diǎn)三相等向量與共線向量

7、例3如圖，在正方形ABCD中，M，N分別為AB和CD的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等的向量分別有多少對(duì)？解不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：模為2的相等向量共有8對(duì)，.模為1的相等向量有12對(duì)，其中與同向的有，這四個(gè)向量組成相等的向量有6對(duì)，即，同理與反向的也有6對(duì)模為的相等向量共有4對(duì)，.規(guī)律方法判斷一組向量是否相等，關(guān)鍵是看這組向量是否方向相同，長(zhǎng)度相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)對(duì)于共線向量，則只要判斷它們是否同向或反向即可跟蹤演練3如圖所示，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED、OCFB都是正方形(1)寫出與相

8、等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)向量與是否相等？解(1)與相等的向量有：、.(2)與共線的向量有：、.(3)向量與不相等，因?yàn)榕c的方向相反，所以它們不相等.1下列說(shuō)法正確的是_零向量沒(méi)有大小，沒(méi)有方向；零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；零向量的長(zhǎng)度為0；任意兩個(gè)單位向量方向相同答案解析零向量的長(zhǎng)度為0，方向是任意的，故錯(cuò)誤，正確任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，故錯(cuò)誤2如圖，在ABC中，若DEBC，則圖中向量是共線向量的有_答案與，與，與3在四邊形ABCD中，且|，則四邊形ABCD的形狀是_答案梯形解析且|，ABDC，但ABDC，四邊形ABCD是梯形4如圖所示，以12方格紙中的格

9、點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中(1)寫出與、相等的向量；(2)寫出與模相等的向量解(1)，.(2)，.1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，也可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，故向量能起數(shù)形結(jié)合的橋梁作用2共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念平行向量是指向量所在直線平行或重合即可，是一種廣義平行3注意兩個(gè)特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在

10、兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EFAB，則下列正確的是_；.答案解析由平面幾何知識(shí)知，與方向不同，故；與方向不同，故；與模相等而方向相反，故；與模相等且方向相同，所以.2下列說(shuō)法正確的有_(填相應(yīng)的序號(hào))方向相同的向量叫相等向量；零向量的長(zhǎng)度為0；共線向量是在同一條直線上的向量；零向量是沒(méi)有方向的向量；共線向量不一定相等；平行向量方向相同答案解析與正確，其余都是錯(cuò)誤的3若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正確的是_(填相應(yīng)的序號(hào))答案解析a任一非零向量，故|a|0.4有下列說(shuō)法：若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；若向量，滿足

11、|，且與同向，則；若|a|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是_答案1解析對(duì)于，由共線向量的定義知，兩向量不平行，方向一定不相同，故正確；對(duì)于，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由|a|b|，只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，故錯(cuò)誤5給出下列四個(gè)條件：ab；|a|b|；a與b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的條件是_答案解析因?yàn)閍bab，即能夠使ab成立；由于|a|b|并沒(méi)有確定a與b的方向，即不能夠使ab成立；因?yàn)閍與b方向相反時(shí)，ab，即能夠使ab成立

12、；因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以|a|0或|b|0時(shí)，ab能夠成立故使ab成立的條件是.6下列結(jié)論中，正確的是_(填相應(yīng)的序號(hào))若向量，共線，則向量；若向量，則向量與共線；若向量，則向量；若，則四邊形ABCD是正方形答案解析根據(jù)平行向量(或共線向量)定義知均正確；根據(jù)向量相等的概念知正確；不正確7如圖，在四邊形ABCD中，N、M分別是AD、BC上的點(diǎn)，且.求證：.證明，|且ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，|，且DACB.又與的方向相同，.同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，.|，|，|.DNMB且與的方向相同，.二、能力提升8下列說(shuō)法正確的是_(填相應(yīng)的序號(hào))向量就是所在的直線平行于所

13、在的直線；長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量；零向量長(zhǎng)度等于0；共線向量是在一條直線上的向量答案解析向量包含所在的直線平行于所在的直線和所在的直線與所在的直線重合兩種情況；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等，還要求方向相同；共線向量也稱為平行向量，它們可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，所以均錯(cuò)9.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，CBE為等腰直角三角形，回答下列問(wèn)題：(1)圖中與共線的向量有_；(2)圖中與相等的向量有_；(3)圖中與模相等的向量有_答案(1)，(2)，(3)，10一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向北偏西40走了200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又

14、改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如圖所示(2)由題意，易知與方向相反，故與共線，又|，在四邊形ABCD中，ABCD且ABCD.四邊形ABCD為平行四邊形，|200 km.11一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向向前行進(jìn)1米，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1米，再逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變度，按直線向前行進(jìn)1米，按此方法繼續(xù)操作下去(1)按1100比例作圖說(shuō)明當(dāng)45時(shí)，操作幾次時(shí)賽車的位移為零；(2)按此法操作使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)滿足什么條件？解(1)如圖所示，操作8次后，賽車的位移為零；(2)要使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，只需賽車的位移為零，按(1)的方式作圖，則所作圖形是內(nèi)角為180的正多邊形，故有n(180)(n2)180.即，n為不小于3的整數(shù)12如圖平面圖形中，已知.求證：(1)ABCABC；(2)，.證明(1)，|，且.又A不在上，AABB.四邊形AAB