高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練――圓錐曲線

1、本資料來(lái)源于七彩教育網(wǎng)高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練圓錐曲線1. 已知常數(shù)m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m, 0)，以a+b為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(- m, 0)，以b- 4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中R(1) 求點(diǎn)P的軌跡E；(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說(shuō)明理由2 雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸長(zhǎng)的積為，它的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線過(guò)F2且與直線F1F2的夾角為，且

2、，與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程.3. 在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，. 過(guò)點(diǎn)M作MM1y軸于M1，過(guò)N作NN1x軸于點(diǎn)N1，. 記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過(guò)點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）. （1）求曲線C的方程； （2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|； （3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明4. 已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F1、F2在軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使且的面積為1。（1） 求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方

3、程；（2） 若直線與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。5.求與雙曲線有公共漸進(jìn)線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程。6、已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且=120，求的面積7、證明：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸進(jìn)線的距離的乘積是一個(gè)定值8、已知半圓的直徑為，點(diǎn)在半圓上，雙曲線以為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)。若，求雙曲線的方程。9. 已知圓：x2+y2=c2(c0),把圓上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得一橢圓。求橢圓方程,并證明橢圓離心率是與c無(wú)關(guān)的常數(shù)；設(shè)圓與x軸交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓的另一交點(diǎn)為Q，

4、直線l與橢圓的兩交點(diǎn)為M、N，且滿足，求直線l的傾斜角。10. 已知點(diǎn)（x,y）在橢圓C：（ab0）上運(yùn)動(dòng)求點(diǎn)的軌跡C方程；若把軌跡C的方程表達(dá)式記為：y=f(x)，且在內(nèi)y=f(x)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍。11. 已知過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)；又函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是。（1） 求橢圓的離心率與;（2） 對(duì)于任意一點(diǎn),試證:總存在角使等式: 成立.12. 已知圓k過(guò)定點(diǎn)A(a,0)(a0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運(yùn)動(dòng)，MN為圓k在y軸上截得的弦.(1)試問(wèn)MN的長(zhǎng)是否隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化？(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差

5、中項(xiàng)時(shí)，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？13. 如圖，已知橢圓=1(2m5),過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.14. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn). （1）求雙曲線C的方程； （2）若在l的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.15. 設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)。（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)

6、的坐標(biāo)。（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。16. 拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足 （1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （2）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足證明：線段PM的中點(diǎn)在y軸上； （3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.17. 如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，若 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； （2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點(diǎn)。（）記直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1,k

7、2，求k1+k2的值；（）若線段AB上點(diǎn)R滿足求證： RFMF。錯(cuò)誤！嵌入對(duì)象無(wú)效。18. 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點(diǎn)，直線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M使 （1）求橢圓C的方程； （2）若PQ為過(guò)橢圓焦點(diǎn)F2的弦，且內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值. 19. 已知橢圓，通徑長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形. （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)E，點(diǎn)Q分 所成比為，點(diǎn)E分所成比為，求證+為定值，并計(jì)算出該定值.20. 已知M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程

8、；（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.答案：1. 解(1) a+b = ( m,)， 直線AP方程為；又b - 4a =(m, - 4), 直線NP方程為；由、消去得 ，即 故當(dāng)m = 2時(shí)，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x2 + y2 = 4；當(dāng)m 2時(shí)，軌跡E是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓：當(dāng)0 m 0，b0），設(shè)F2（c，0），不妨設(shè)的方程為，它與y軸交點(diǎn)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)Q在雙曲線上可得，又，雙曲線方程為.3. （1）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M1的坐標(biāo)為（0，），于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為，N1的坐標(biāo)為，所以由由此得由即所求的方程表示的曲線C是橢圓

9、. 3分 （2）點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C無(wú)交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k. 直線l的方程為由方程組依題意當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)PQ的中點(diǎn)為，則又而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.7分 （3）由題意有，則有方程組 由（1）得 （5）將（2），（5）代入（3）有整理并將（4）代入得，易知因?yàn)锽（1，0），S，故，所以4. 解： （1）由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：解得且的面積為1,雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)，聯(lián)立得顯然否則直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)。即則又以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D(2,0)即化簡(jiǎn)整理得 ，且均

10、滿足當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾！當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（，0）直線定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。5.求與雙曲線有公共漸進(jìn)線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程。解：設(shè)雙曲線的方程為在雙曲線上 得所以雙曲線方程為6、已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且=120，求的面積解：雙曲線可化為設(shè)由題意可得即所以7、證明：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸進(jìn)線的距離的乘積是一個(gè)定值解：設(shè)雙曲線的方程為 所以漸近線方程為到的距離 到的距離*又在雙曲線上 所以 即故*可化為8、已知半圓的直徑為，點(diǎn)在半圓上，雙曲線以為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)。若，求雙曲線的方程。解：在半圓上 在圓上 即 又可得 所以雙

11、曲線方程為9. 解：設(shè)R(x,y)是圓：x2y2=c2上任一點(diǎn)，則S（x,y）在所求橢圓上的點(diǎn)，設(shè)S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圓的方程得：故所求的橢圓方程為：橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為c，半焦距為c,故離心率e=與c無(wú)關(guān)。設(shè)直線l的方程為：x=ctcos y=tsin (t為參數(shù)，為傾斜角) 把代入圓的方程得：（ctcos）cos2(tsin)2=c2整理得：t22ccost2=0 設(shè)的兩根為t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos 把代入橢圓方程得：（ctcos）2+2(tsin)2=2c2 整理得：(1+sin2)t22ccostc2=0 設(shè)方程的兩根為t3、t4,由韋達(dá)定

12、理：t3t4=,t3t4=，=又故有：即cos2(1+sin2)2=1整理得：又0，）sin=0=0或sin2=故得：或。綜合得：=0或或。10. 解：橢圓C：的參數(shù)方程為：為參數(shù)），又設(shè)點(diǎn)是軌跡C上任意一點(diǎn)，則軌跡C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）消去參數(shù)得：把換成x,y，所求軌跡C的方程為： 把方程表達(dá)為函數(shù)解析式：，下證函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。設(shè)x1x20，作差= 當(dāng)0時(shí)，則有0于是得到：01故由式知：0當(dāng)時(shí)，則有于是得到：1故由式知：0故得到函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。因此在（上有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值。要使函數(shù)在內(nèi)取到最大值，則只要設(shè)橢圓半焦距為c，于是有e1即符合題意的離

13、心率的取值范圍是。11. 解:1)函數(shù).又,故為第一象限角,且. 函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程式是: 得又c為半點(diǎn)焦距， 由知橢圓C的方程可化為 （1） 又焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），AB所在的直線方程為 （2） （2）代入（1）展開整理得 （3） 設(shè)A（），B（），弦AB的中點(diǎn)N（），則是方程（3）的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得 （4） 即為所求。 2）與是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得等式成立。設(shè)由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)可得：又點(diǎn)在橢圓上，代入（1）式得 化為： （5） 由（2）和（4）式得 又兩點(diǎn)在橢圓上，故1有入（5）式化簡(jiǎn)得： 由得到又是唯一

14、確定的實(shí)數(shù)，且，故存在角，使成立，則有若，則存在角使等式成立；若由與于是用代換，同樣證得存在角使等式：成立.綜合上述，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在角使等式：成立.12. 解：(1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,圓k的半徑R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的長(zhǎng)不隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化.(2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng).|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|

15、y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0x0.圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+a,而圓k半徑R=a.且上兩式不能同時(shí)取等號(hào)，故圓k必與準(zhǔn)線相交.13. 解：(1)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=,即x=m.A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=.又A

16、、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值為，此時(shí)m=2;f(m)的最小值為，此時(shí)m=5.14. 解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為，則它的右準(zhǔn)線方程為已知得=1，則=1，所以所求雙曲線C的方程是（2）因?yàn)辄c(diǎn)R在直線m上的射影S滿足所以PSQS，即PSQ是直角三角形.所以點(diǎn)R到直線m:x=的距離為|RS|

17、=即又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xPxQ1）=4XR2將代入，得又P、Q是過(guò)右焦點(diǎn)F2的一條弦，且P、Q均在雙曲線C的右支上，R是弦PQ的中點(diǎn).所以故所求a的取值范圍是a1.15. 解：（）易知。， 聯(lián)立，解得， （）顯然可設(shè)聯(lián)立 由 得 又， 又 綜可知 16. （1）由拋物線C的方程得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）設(shè)直線PA的方程為點(diǎn) 的解將式代入式，得，于是 又點(diǎn) 的解將式代入式，得，于是 由已知得， 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為將式和式代入上式，得所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上 （3）因?yàn)辄c(diǎn)P（1，1）在拋物線由式知將代入式得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為故當(dāng)即17. 解：（1）設(shè)點(diǎn)由（2）（）由題意直線m斜率存在且不為0，設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立 得設(shè)（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R18. 解：（1）據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為 ，直線x=4 為橢圓C的準(zhǔn)線， 又， M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，F(xiàn)1MF2為等邊三角形且，橢圓C的方程為 （2）顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，則直線PQ的方程為，代