高考數(shù)學(xué) (真題 模擬新題分類匯編) 數(shù)列 文

1、數(shù)列D1數(shù)列的概念與簡單表示法15D1，D52013湖南卷 對于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余項(xiàng)均為0.例如：子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于_；(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，p100滿足p11，pipi11，1i99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21，1j98，則PQ的元素個數(shù)為_15217解析 (1)由特征數(shù)列的定義可知，子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”為1，0

2、，1，0，1，0，0，故可知前三項(xiàng)和為2.(2)根據(jù)“E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，p100滿足p11，pipi11，1i99”可知子集P的“特征數(shù)列”為1，0，1，0，1，0.即奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為0.根據(jù)“E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21，1j98”可知子集Q的“特征數(shù)列為1，0，0，1，0，0，0，1.即項(xiàng)數(shù)除以3后的余數(shù)為1的項(xiàng)為1，其余項(xiàng)為0，則PQ的元素為項(xiàng)數(shù)除以6余數(shù)為1的項(xiàng)，可知有a1，a7，a13，a97，共17項(xiàng)4D12013遼寧卷 下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題： p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列； p2：數(shù)列nan是遞

3、增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p44D解析 因?yàn)閿?shù)列an為d0的數(shù)列，所以an是遞增數(shù)列，則p1為真命題而數(shù)列an3nd也是遞增數(shù)列，所以p4為真命題，故選D.D2等差數(shù)列及等有效期數(shù)列前n項(xiàng)和19D2，D42013安徽卷 設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對任意nN*，函數(shù)f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x滿足f0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.19解：(1)由題設(shè)可得，f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.

4、對任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)由bn2an22n2知，Snb1b2bn2n2n23n1.7D22013安徽卷 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D27A解析 設(shè)公差為d，則8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.20M2，D2，D3，D52013北京卷 給定數(shù)列a1，a2，an，對i1，2，n1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后ni項(xiàng)ai1，ai2，an的最小值記為Bi，diAiB

5、i.(1)設(shè)數(shù)列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；(2)設(shè)a1，a2，an(n4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a10.證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列；(3)設(shè)d1，d2，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列20解：(1)d12，d23，d36.(2)證明：因?yàn)閍10，公比q1，所以a1，a2，an是遞增數(shù)列因此，對i1，2，n1，Aiai，Biai1.于是對i1，2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1，2，n2)，即d1，d2，dn1是等比數(shù)列(3)證明：設(shè)d為d1，d2，dn1的公差對1in2，因?yàn)锽iB

6、i1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因?yàn)锳i1maxAi，ai1，所以ai1Ai1Aiai.從而a1，a2，an1是遞增數(shù)列，因此Aiai(i1，2，n1)又因?yàn)锽1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2a1a9，求a1的取值范圍17解：(1)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12.17D2，D32013新課標(biāo)全國卷 已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通

7、項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.17解：(1)設(shè)an的公差為d.由題意，aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首項(xiàng)為25，公差為6的等差數(shù)列從而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.20D22013山東卷 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足1，nN*，求bn的前n項(xiàng)和Tn.20解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S44S2，a2

8、n2an1得解得a11，d2.因此an2n1，nN*.(2)由已知1，nN*，當(dāng)n1時，；當(dāng)n2時，1.所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.又Tn，Tn，兩式相減得Tn，所以Tn3.17D22013陜西卷 設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)若是等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；(2)若a11，q0，且對所有正整數(shù)n，有Sn.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論17解： (1)方法一：設(shè)的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.方法二：設(shè)的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又

9、Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)是等比數(shù)列證明如下：Sn，an1Sn1Snqn. a11，q0，當(dāng)n1時，有 q.因此，an是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列16D2，D32013四川卷 在等比數(shù)列an中，a2a12，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和16解：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由已知，可得a1qa12，4a1q3a1a1q2，所以，a1(q1)2，q24q30，解得q3或q1.由于a1(q1)2，因此q1不合題意，應(yīng)舍去故公比q3，首項(xiàng)a11.所以，

10、數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.17D2、D42013新課標(biāo)全國卷 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和17解：(1)設(shè)an的公差為d，則Snna1d.由已知可得 解得a11，d1.故an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)由(1)知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.19D22013浙江卷 在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數(shù)列(1)求d，an ；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.19解：(1)由題意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或 an4n6，nN*.(2)設(shè)數(shù)列an的

11、前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)閐0.證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列；(3)設(shè)d1，d2，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列20解：(1)d12，d23，d36.(2)證明：因?yàn)閍10，公比q1，所以a1，a2，an是遞增數(shù)列因此，對i1，2，n1，Aiai，Biai1.于是對i1，2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1，2，n2)，即d1，d2，dn1是等比數(shù)列(3)證明：設(shè)d為d1，d2，dn1的公差對1in2，因?yàn)锽iBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因?yàn)锳i1maxAi，ai1，所以ai1Ai

12、1Aiai.從而a1，a2，an1是遞增數(shù)列，因此Aiai(i1，2，n1)又因?yàn)锽1A1d1a1d1a1，所以B1a1a20，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22解：(1)由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，并求得x.由題設(shè)知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方

13、程為yk(x3)，|k|a1a9，求a1的取值范圍17解：(1)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a1a1a2an的最大正整數(shù)n的值為_1412解析 設(shè)an的公比為q.由a5及a5(qq2)3得q2，所以a1，所以a61，a1a2a11a1，此時a1a2a111.又a1a2a1227，a1a2a1226a1a2a12，但a1a2a1328，a1a2a132627252828，所以a1a2a130.證明：d1，d2，dn1是等比數(shù)列

14、；(3)設(shè)d1，d2，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an1是等差數(shù)列20解：(1)d12，d23，d36.(2)證明：因?yàn)閍10，公比q1，所以a1，a2，an是遞增數(shù)列因此，對i1，2，n1，Aiai，Biai1.于是對i1，2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1，2，n2)，即d1，d2，dn1是等比數(shù)列(3)證明：設(shè)d為d1，d2，dn1的公差對1in2，因?yàn)锽iBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因?yàn)锳i1maxAi，ai1，所以ai1Ai1Aiai.從而a1，a2，an1是遞增數(shù)列，因此Aiai(

15、i1，2，n1)又因?yàn)锽1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此對i1，2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差數(shù)列19D5，E92013廣東卷 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：a2；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.19解：19D52013湖北卷 已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2a3a418.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)n，使得S

16、n2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由19解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當(dāng)n為偶數(shù)時，(2)n0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時，(2)n2n2 012，即2n2 012，則n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k515D1，D52013湖南卷 對于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中x

17、i1xi2xik1，其余項(xiàng)均為0.例如：子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于_；(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，p100滿足p11，pipi11，1i99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21，1j98，則PQ的元素個數(shù)為_15217解析 (1)由特征數(shù)列的定義可知，子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”為1，0，1，0，1，0，0，故可知前三項(xiàng)和為2.(2)根據(jù)“E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，p100滿足p11，pipi11，1i99”可知子集P的“特征數(shù)列”為1，0，

18、1，0，1，0.即奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為0.根據(jù)“E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21，1j98”可知子集Q的“特征數(shù)列為1，0，0，1，0，0，0，1.即項(xiàng)數(shù)除以3后的余數(shù)為1的項(xiàng)為1，其余項(xiàng)為0，則PQ的元素為項(xiàng)數(shù)除以6余數(shù)為1的項(xiàng)，可知有a1，a7，a13，a97，共17項(xiàng)19D52013江蘇卷 設(shè)an是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項(xiàng)的和記bn，nN*，其中c為實(shí)數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.19解：由題設(shè)，Snnad.(1)由c0，得bnad

19、.又因?yàn)閎1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即a，化簡得d22ad0.因?yàn)閐0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表達(dá)式，整理得，對于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令A(yù)d1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD(*)在(*)式中分別取n1，2，3，4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，從而有由，得A0，cd15B，代入方程

20、，得B0，從而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，則由d1d0得d0，與題設(shè)矛盾，所以d10.又因?yàn)閏d10，所以c0.19D52013天津卷 已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明Sn(nN*)19解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)?S2，S3，4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1(1)n1.(2)證明：Sn1n，Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對于nN*，有Sn.12013新鄉(xiāng)期