復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)

1、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo),一、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 二、全微分形式不變性,一、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,設(shè)z=f(u,v)是變量u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的 函數(shù)，即 ，如果能構(gòu)成z是x ,y的 二元復(fù)合函數(shù),如何求出函數(shù)z對自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？,定理8.5 設(shè)函數(shù) 在點(x,y)處有偏 導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 復(fù)合函數(shù) 在點(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且有下面的鏈?zhǔn)椒▌t：,復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是,公式(1)給出z對x的偏導(dǎo)數(shù)是,公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項組成的，每項又是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到

2、，即,(1)公式(*)的項數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量x到達(dá)z路徑的個數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達(dá)z的路徑有兩條.第一條是 ，第二條是 ，所以公式(*)由兩項組成.,(2)公式(*)每項偏導(dǎo)數(shù)乘積因子的個數(shù),等于該條路 徑中函數(shù)及中間變量的個數(shù).如第一條路徑 , 有一個函數(shù)z和一個中間變量u，因此，第一項就是兩 個偏導(dǎo)數(shù) 與 的乘積.,復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.,下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t定出偏導(dǎo)數(shù)公式.,1、設(shè)z=f(u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

3、而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) .,由結(jié)構(gòu)圖看出自變量x到達(dá)z的路徑有三條，因此 由三項組成.而每條路徑上都有一個函數(shù)和一個中間變 量，所以每項是函數(shù)對中間變量及中間變量對其相應(yīng) 自變量的偏導(dǎo)數(shù)乘積，即,同理可得到，,2.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) .,借助于結(jié)構(gòu)圖，可得,3.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 只是自變量x的函數(shù)， 求z對x的導(dǎo)數(shù) .,可得,在這里，函數(shù)z是通過二元函數(shù)z=f(u,v)而成為x的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對x的導(dǎo)數(shù) 又稱為z對x的全導(dǎo)數(shù).對公式(5)應(yīng)注意，由于z，u，v這三個函數(shù)都是x 的

4、一元函數(shù)，故對x的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫成 ，而不能寫成 .,4.設(shè)函數(shù)z=f(x,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) .,自變量x到達(dá)z的路徑有二條，第一路徑上只有一個函數(shù)，即z是x的函數(shù).第二路徑上有兩個函數(shù)z和v.自變量y到達(dá)z的路徑只有一條，于是 的偏導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)是：,注意： 這里的 與 是代表不同的意義.其中 是將函數(shù) 中的y看作常量而對自變量x求偏導(dǎo)數(shù)，而 是將函數(shù)f(x,v)中的v看常量而對第一個位置變量x求偏導(dǎo)數(shù)，所以兩者的含意不同，為了避免混淆，將公式(6)右端第一項寫 ，而不寫為 .,例1 設(shè) 求,解法1 得,解法2 對于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用x，y代入

5、，則得到,，z 是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得,例2 設(shè) ，其中f(u,v)為可微函數(shù)，求,解 令 ，可得,其中 不能再具體計算了，這是因為外層函數(shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號，沒有具體給出函數(shù)表達(dá)式.,例3 設(shè) ，其中f(u,v,w)為可微函數(shù)，求,解 令 可得,例4 設(shè) 求,解 可得,在該例中，我們清楚看出 與 含意是不同的.,顯然不等于 .,例5 設(shè) 求,解 得,例6 設(shè)z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)為可微函數(shù)，求,解 令v=xcosy，得,求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，不需要新的方法和新的公式，只需把一階偏導(dǎo)數(shù)看作一個新的函數(shù)，應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t對它再求偏導(dǎo)數(shù)即可.,例7 設(shè) ，求證：,證,由于x，y，z在函數(shù)中的地位是相同的，所以同樣有,因此有,二、全微分形式不變性,與一元函數(shù)的微分形式不變性類似，多元函數(shù)全微分也有形式不變性.也就是說不論u，v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即,這個性質(zhì)稱為全微分的形式不變性.,事實上，設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)u，v是自變量時，顯然(7)式成立.,如果u，v是中間變量，即 ，且這兩個函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù),的全微分為,其中,將 代入上式，得,即，當(dāng)u，v是中間變量時，(7)式也成立.這就證明了全微分形式不變性.,例如，,利用全微分形式不變性及全微分的四則運(yùn)