復合函數求偏導

1、復合函數求偏導,一、復合函數的鏈式法則 二、全微分形式不變性,一、復合函數的鏈式法則,設z=f(u,v)是變量u，v的函數，而u，v又是x，y的 函數，即 ，如果能構成z是x ,y的 二元復合函數,如何求出函數z對自變量x，y的偏導數呢？,定理8.5 設函數 在點(x,y)處有偏 導數，而函數z=f(u,v)在對應點(u,v)有連續(xù)偏導數，則 復合函數 在點(x,y)處的偏導數 存在，且有下面的鏈式法則：,復合函數的結構圖是,公式(1)給出z對x的偏導數是,公式(*)與結構圖兩者之間的對應關系是：偏導數 是由兩項組成的，每項又是兩個偏導數的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數的結構圖得到

2、，即,(1)公式(*)的項數，等于結構圖中自變量x到達z路徑的個數.函數結構中自變量x到達z的路徑有兩條.第一條是 ，第二條是 ，所以公式(*)由兩項組成.,(2)公式(*)每項偏導數乘積因子的個數,等于該條路 徑中函數及中間變量的個數.如第一條路徑 , 有一個函數z和一個中間變量u，因此，第一項就是兩 個偏導數 與 的乘積.,復合函數結構雖然是多種多樣，求復合函數的偏導數公式也不完全相同，但借助函數的結構圖，運用上面的法則，可以直接寫出給定的復合函數的偏導數的公式.這一法則通常形象地稱為鏈式法則.,下面借助于函數的結構圖，利用鏈式法則定出偏導數公式.,1、設z=f(u,v,w)有連續(xù)偏導數，

3、而 都有偏導數，求復合函數 的偏導數 .,由結構圖看出自變量x到達z的路徑有三條，因此 由三項組成.而每條路徑上都有一個函數和一個中間變 量，所以每項是函數對中間變量及中間變量對其相應 自變量的偏導數乘積，即,同理可得到，,2.設函數w=f(u,v)有連續(xù)偏導數，而 都有偏導數，求復合函數 的偏導數 .,借助于結構圖，可得,3.設函數w=f(u,v)有連續(xù)偏導數，而 可導，則復合函數 只是自變量x的函數， 求z對x的導數 .,可得,在這里，函數z是通過二元函數z=f(u,v)而成為x的一元復合函數.因此，z對x的導數 又稱為z對x的全導數.對公式(5)應注意，由于z，u，v這三個函數都是x 的

4、一元函數，故對x的導數應寫成 ，而不能寫成 .,4.設函數z=f(x,v)有連續(xù)偏導數， 有偏導數，求復合函數 的偏導數 .,自變量x到達z的路徑有二條，第一路徑上只有一個函數，即z是x的函數.第二路徑上有兩個函數z和v.自變量y到達z的路徑只有一條，于是 的偏導數公式應是：,注意： 這里的 與 是代表不同的意義.其中 是將函數 中的y看作常量而對自變量x求偏導數，而 是將函數f(x,v)中的v看常量而對第一個位置變量x求偏導數，所以兩者的含意不同，為了避免混淆，將公式(6)右端第一項寫 ，而不寫為 .,例1 設 求,解法1 得,解法2 對于具體的二元復合函數，可將中間變量u，v，用x，y代入

5、，則得到,，z 是x，y二元復合函數，根據復合函數的鏈式法則，得,例2 設 ，其中f(u,v)為可微函數，求,解 令 ，可得,其中 不能再具體計算了，這是因為外層函數f 僅是抽象的函數記號，沒有具體給出函數表達式.,例3 設 ，其中f(u,v,w)為可微函數，求,解 令 可得,例4 設 求,解 可得,在該例中，我們清楚看出 與 含意是不同的.,顯然不等于 .,例5 設 求,解 得,例6 設z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)為可微函數，求,解 令v=xcosy，得,求復合函數的二階偏導數，不需要新的方法和新的公式，只需把一階偏導數看作一個新的函數，應用鏈式法則對它再求偏導數即可.,例7 設 ，求證：,證,由于x，y，z在函數中的地位是相同的，所以同樣有,因此有,二、全微分形式不變性,與一元函數的微分形式不變性類似，多元函數全微分也有形式不變性.也就是說不論u，v是自變量還是中間變量，函數z=f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即,這個性質稱為全微分的形式不變性.,事實上，設z=f(u,v)有連續(xù)偏導數，當u，v是自變量時，顯然(7)式成立.,如果u，v是中間變量，即 ，且這兩個函數具有連續(xù)偏導數，則復合函數,的全微分為,其中,將 代入上式，得,即，當u，v是中間變量時，(7)式也成立.這就證明了全微分形式不變性.,例如，,利用全微分形式不變性及全微分的四則運