高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2.3 一元二次不等式及其解法的應(yīng)用（2）教案 新人教A版必修

1、3.2.3一元二次不等式的解法的應(yīng)用（二）項目內(nèi)容課題3.2.3一元二次不等式的解法的應(yīng)用(二)修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1.鞏固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系;2.通過復(fù)習(xí)要求學(xué)生能熟練地解答一元一次和一元二次不等式.對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論;3.使學(xué)生掌握解含有字母參數(shù)不等式（組）的解法，初步掌握分類討論的思想方法及技巧.二、過程與方法1.使學(xué)生掌握在解含有字母參數(shù)的不等式（組）時知道是否要分類討論，討論的依據(jù)是什么，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什

2、么，通過師生的共同探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性教學(xué);3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；2.培養(yǎng)學(xué)生探索問題的積極性、主動性以及和同學(xué)互相合作的團(tuán)隊精神.同時，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的周到縝密性，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和思想作風(fēng)；3.通過教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的共同合作，加強(qiáng)師生感情交流與溝通，培養(yǎng)良好的師生關(guān)系及相互合作的團(tuán)隊精神.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 1.熟練地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)

3、分區(qū)間討論;2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)難點(diǎn) 1.深入理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系;2.正確地對參數(shù)分區(qū)間討論，由于字母較多又要討論，所以容易出錯,一定要使同學(xué)們細(xì)心.另外,在取交集、并集時,可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體及課件教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上節(jié)課我們已經(jīng)知道，不等式的解法（復(fù)習(xí)）：一元一次與一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.解分式不等式，切忌去分母.生 板演：1.解不等式：-x2+5x6(x|2x3).2.解不等式：x2-4x+40(x|xR,x2).3.解不等式

4、：x2+2x+30(=-80,x).4.解不等式：（x|-13x-5）.師 寫解集時考慮二次項的系數(shù)正負(fù)、不等式中不等號的方向、對應(yīng)的一元二次方程有無實(shí)數(shù)根及有實(shí)數(shù)根時兩個實(shí)數(shù)根的大小.推進(jìn)新課師 思考一下如何解下面這個不等式：解關(guān)于x的不等式a(x-ab)b(x+ab).生 將原不等式展開，整理得(a-b)xab(a+b).討論：當(dāng)ab時，,x(,+).當(dāng)a=b時，若a=b0時x；若a=b0時xR.當(dāng)ab時，,x(-, ).師 【例1】 解關(guān)于x的不等式x2-x-a(a-1)0.生 原不等式可以化為(x+a-1)(x-a)0，若a-(a-1),即a,則xa或a1-a.x(-,1-a)(a,+

5、).若a=-(a-1),即a=,則(x-12)20.xx|x,xR.若a-(a-1),即a,則xa或x1-a.x(-,a)(1-a,+).師 引申：解關(guān)于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)0.生 將二次項系數(shù)化“+”為(x2-x-12)(x+a)0.相應(yīng)方程的根為-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？討論：（）當(dāng)-a4，即a-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x|-3x4或x-a.（）當(dāng)-3-a4，即-4a3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x|-3x-a或x4.（）當(dāng)-a-3，即a3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x|-ax-3或

6、x4.（）當(dāng)-a=4，即a=-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x|x-3.()當(dāng)-a=-3，即a=3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x|x4.師 變題：解關(guān)于x的不等式2x2+kx-k0.師 此不等式為含參數(shù)k的不等式，當(dāng)k值不同時相應(yīng)的二次方程的判別式的值也不同，故應(yīng)先從討論判別式入手.生 =k2+8k=k(k+8).(1)當(dāng)0,即k-8或k0時，方程2x2+kx-k=0有兩個不相等的實(shí)根.所以不等式2x2+kx-k0的解集是x|;(2)當(dāng)=0，即k=-8或k=0時，方程2x2+kx-k=0有兩個相等的實(shí)根，所以不等式2x2+kx-k0的解集是，即0,2

7、；(3)當(dāng)0,即-8k0時，方程2x2+kx-k=0無實(shí)根，所以不等式2x2+kx-k0的解集為.練習(xí)解不等式：mx 2-2x+10.師 本題對解集的影響因素較多，若處理不當(dāng)，不僅要分級討論，而且極易漏解或重復(fù).較好的解決方法是整體考慮，分區(qū)間討論，方為上策.顯然本題首先要討論m與0的大小，又由=4-4m=4(1-m),故又要討論m與1的大小.我們將0與1分別標(biāo)在數(shù)軸上，將區(qū)間進(jìn)行劃分，這樣就可以保證不重不漏.解：=4-4m=4(1-m),當(dāng)m0時,0,此時.解集為 .當(dāng)m0時，方程為-2x+10,解集為x|x,當(dāng)0m1時,0，此時,解集為.當(dāng)m1時,不等式為(x-1)20,其解集為x|x1;

8、當(dāng)m1時,此時0,故其解集為R.師 小結(jié)：在以上的討論中，請不要漏掉在端點(diǎn)的解集的情況.教師精講對應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)根1-a和a,不等式中二次項的系數(shù)為正，所以要寫出它的解集需要對兩根的大小進(jìn)行討論.（1）當(dāng)最高次項系數(shù)含有字母時，首先需討論該系數(shù)是否為零.（2）整合結(jié)論時，對所討論的對象按一定的順序進(jìn)行整理，做到不重不漏.總之，解含參數(shù)的一元二次不等式，大家首先要克服畏懼心理，冷靜分析，掌握好解題技巧，恰當(dāng)分類，必然能解答好.知識拓展【例2】 關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為x|x-2或x，求關(guān)于x的不等式ax2-bx+c0的解集.師由題設(shè)a0且，從而ax2-bx+c0可以變形為

9、，即x2-x+10.x2.原不等式的解集為x|x2.引申：已知關(guān)于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-10的解集為R，求a的取值范圍.師 原不等式的解集為R，即對一切實(shí)數(shù)x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向下，且與x軸無交點(diǎn)，反映在數(shù)量關(guān)系上則有a0且0.生 由題意知，要使原不等式的解集為R，必須即a的取值范圍是a(-,).師 本題若無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a=0的情況，但對本題講a=0時式子不恒成立.（想想為什么）師 變題：若函數(shù)f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.顯然k=0時滿足.而k0時不滿足.k的取值范圍是

10、0,1.練習(xí)：不等式ax2+bx+20的解集為x|-x，求a、b.()教師精講解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？首先，必須弄清楚它的解集與哪些因素有關(guān).一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c0為例）常與以下因素有關(guān)：（1）a；（2）；（3）兩根x 1,x 2的大小.其中系數(shù)a影響著解集最后的形式，關(guān)系到不等式對應(yīng)的方程是否有解，而兩根x1,x 2的大小關(guān)系到解集最后的次序；其次再根據(jù)具體情況，合理分類，確保不重不漏.合作探究【例3】 若不等式對于x取任何實(shí)數(shù)均成立，求k的取值范圍.生 2x2-2(k-3)x+3-k0(4x 2+6x+3恒正)，原不等

11、式對x取任何實(shí)數(shù)均成立，等價于不等式2x2-2(k-3)x+3-k0對x取任何實(shí)數(shù)均成立.= -2(k-3)2-8(3-k)0k 2-4k+301k3.k的取值范圍是（1，3）.師 逆向思維題目，告訴解集反求參數(shù)范圍，即確定原不等式，待定系數(shù)法的一部分.【例4】 當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:兩個實(shí)根；一正根和一負(fù)根；正根絕對值大于負(fù)根絕對值；兩根都大于1.解：設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為x 1，x2.若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有兩個正根，則需滿足：m.此時m的取值范圍是，即原方程不可能有兩個正根.若方程4x 2+(

12、m-2)x+(m-5)=0有一正根和一負(fù)根，則需滿足：m5.此時m的取值范圍是(-,5).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根絕對值大于負(fù)根絕對值，則需滿足：m2.此時m的取值范圍是(-,2).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1，則需滿足：m.此時m的取值范圍是，即原方程不可能兩根都大于1.師 說明：解這類題要充分利用判別式和韋達(dá)定理.練習(xí)：1.關(guān)于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有兩個不等的實(shí)根，則m的取值范圍是（）A. (,+)B.(-, )C. ，+）D.( ,0)(0,+)提示：由m0且0，得m，選D.答案：D2.若不等式ax 2+5x+b

13、0的解集為x|x，則a、b的值分別是_.提示：由答案：-6，-13.若方程x 2-(k+2)x+4=0有兩負(fù)根，求k的取值范圍.提示：由 k-6.師 變式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有兩個負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.師 解：要原方程有兩個負(fù)實(shí)根，必須-2k-1或k1.k23或k-1實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|-2k-1或k1.練習(xí)：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-10的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1時，原不等式的解集為R和x|x；若a2-10，即a1時，要使原不等式的解集為R，必須-a1.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1)1=(,

14、1.方法引導(dǎo)講練結(jié)合法通過講解強(qiáng)化訓(xùn)練題目,加深對分式不等式及簡單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對不同類型的不等式,使學(xué)生能靈活有效地進(jìn)行等價變形.上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.本節(jié)我們利用一元二次不等式及有關(guān)知識解決了一些簡單的問題，這類問題常見的有：不等式恒成立的條件；已知一元二次不等式的解集，求二次三項式的系數(shù)；討論一元二次方程根的簡單情況等.2.分類討論的步驟一般可分為以下幾步：（1）確定討論的對象及其范圍；（2）確定

15、分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；（3）逐類討論，分級進(jìn)行；（4）歸納整合，作出結(jié)論.3.對于解含有字母參數(shù)不等式時，著重考慮最高次項系數(shù)的符號及系數(shù)為0時的情況，以及該不等式對應(yīng)方程的根的大小情況.4.在分類過程中要注意按照一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，一定的順序進(jìn)行討論，做到不重復(fù)不遺漏.考慮問題要周到縝密，特別是對于一些特殊情況要考慮慎重，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和思想作風(fēng).布置作業(yè)（1）已知不等式x2+5x+m0的解集為x|x-7或x2，求實(shí)數(shù)m的值.(答案：m=-14)（2）已知關(guān)于x的二次不等式px 2+px-40對任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)p的范圍.(由p0且0，得pp|-16p0)(3)若y=ax 2+bx+c經(jīng)過(0，-6)點(diǎn)，且當(dāng)-3x1時，y0，求實(shí)數(shù)a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有兩個負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：要使原方程有兩個負(fù)實(shí)根，必須-2k-1或k1.實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|-2k-1或k1.板書設(shè)計一元二次不等式的解法的應(yīng)用（二）例3例1、2例4教學(xué)反思上節(jié)課已由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不