三角函數(shù)專題復(fù)習(xí) 第一講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案[9頁]

1、三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)第一講學(xué)案【知識網(wǎng)絡(luò)】一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【知識梳理】1. 角概念的推廣角可以看成平而內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位 置0A,繞著它的端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置0B,就形成角旋轉(zhuǎn)開始時的射線0A叫做角 的始邊，0叫終邊，射線的端點。叫做叫G的頂點。（1）按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角；我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒冇 做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。（2）按終邊位置不同分為象限角和軸線角。角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，

2、角的終邊（除端點外）在第兒象限，我們 就說這個角是第兒彖限角。耍特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屈于任何一個象限，稱為 軸線角或非象限角。 象限角及其集合表示：象限角象限角的集合表示第一象限和的集合71a|2k7ta2kn:+ y ,kZ第二彖限角的集合兀a|2k7t+ a2kn+ 龍,k 丘 Z第三象限角的集合3/ra|2k?t十 71 a2k;t+,k G Z第四象限角的集合3兀a|2kn+ aJa2+b2 0 .過P作x軸的垂線,垂足為M，則MPbOMaMPb線段OM 的長度為-線段MP 的長度為/?.WiJsina = = -； cosa = = -； tana = =

3、 -oOPrOPrOMa利用單位圓左義任意角的三角函數(shù)，設(shè)q是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么：(l) y叫做a的止眩，記做sin a,即sin a = y ；x叫做a的余弦，記做cosa Jl|J cos a = x；三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的齊種三角函數(shù)值的種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解 決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圜，這個圜就叫做單位圜(注意：這個單位長度不- 定就是1厘米或1米)。當(dāng)角a為第一彖限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點P(x,刃，過點P作PM丄兀軸交兀軸于點M,根

4、據(jù)三角函數(shù)的定義：丨MP kl y hl sin I ； OM 1=1兀l=lco&l。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角Q的終邊不在坐標(biāo)軸時，以0為始點、M 為終點，規(guī)定：當(dāng)線段OM與a軸同向時，的方向為正向，且有正值兀；當(dāng)線段OM與兀軸反向時，OM的方 向為負(fù)向，且有正值兀：其中兀為P點的橫坐標(biāo).這樣，無論那種情況都有：OM =x = cosa同理，當(dāng)角&的終邊不在兀軸上時，以M為始點、P為終點、,規(guī)定：當(dāng)線段A/D與y軸同向時，的方向為止向，且有止值y；當(dāng)線段MP與y軸反向時，MP的方向為負(fù)向，且有正直y：其中y為P點的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有：MP = y =

5、 snct。像MP、這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖，過點A(l,()作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸,設(shè)它與Q的終邊交丁點7請根據(jù)正切函數(shù)的定義與和似三角形的知識，借助有向線段04、人八我們有：tuna = AT = -兀(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l; (2)商數(shù)關(guān)系:sin a=tan acos a我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM AT ,分別叫做角&的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱 為三角函數(shù)線。三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么y叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosay/x叫做a的

6、正切，記作tana各象限 符號I+II+-III-+IV-+-口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦終邊相同角三 角函數(shù)值(kGZ)(公式一)sin(a+k-2 7t)=sinacos(a+k-2n)=cosatan(a+k-27t)=tana爲(wèi)三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段0M為余弦線有向線段AT為正切線注：根據(jù)三角函數(shù)的定義，尸sinx在各象限的符號與此彖限點的縱坐標(biāo)符號相同：y二cosx在各象限的符號 與此象限點的橫坐標(biāo)符號相同；y=tanx在各象限的符號與此彖限點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)商的符號相同。6.同角三角函數(shù)的基木關(guān)系【題型梳理】1. 三角函數(shù)的定義相關(guān)鏈接（1）己知角a終邊上上點

7、P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解：（2）己知角a的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊1：一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用 三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的a值。注：若角a的終邊落在莫條直線上，一般要分類討論。K例13已知角a的終邊落在直線3x+4y=0 I*.,求sina,cosa,tana的值。2. 象限角、三角函數(shù)值符號的判斷相關(guān)鏈接（1）熟記各個三角函數(shù)在每個彖限內(nèi)的符號是關(guān)鍵；（2）判斷三角函數(shù)值的符號就是耍判斷角所在的象限；（3）對丁已知三角函數(shù)式的符號判斷角所在象限，可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號確定三角函數(shù)值的

8、符號, 再判斷角所在象限。K例2（1）如果點P （sin0 cosO,2cos0）位于第三象限，試判斷角8所在的象限；sin（cos）（2）若B是第二象限和，則一的符號是什么？3. 已知a所在象限，求（n 2,neN）所在象限 n相關(guān)鏈接a（1）由a所在象限，確定匚所在象限的方法a由a的范圍，求出；的范圍：a 通過分類討論把角寫成8+k360的形式，然后判斷匚所在象限。a（2）由a所在象限，確定三所在象限，也可用如下方法判斷: 畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個象限二等分，得8個區(qū)域； 標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上I , II, III, IV （如圖所示）;致的區(qū)域，即為所求。a（3）由

9、a所在象限，確定所在象限，也可用如下方法判斷： 畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個象限三等分，得到12個區(qū)域； 標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上I , II, III, IV （如圖所示）: 確定區(qū)域：找出與角a所在象限標(biāo)號一致的區(qū)域，即為所求。 例題解析K例3若a是第二象限角,a a試分別確定2a、亍的終邊所在位置4. 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用1K例4己知(X是三角形的內(nèi)角，且sina+cosa=|. (1)求uma的值(2)把cosQ sina用tana 表示出來，并求其值。注(1)對于sina+cosa. sinacosa, sina-cosa這三個式子，已知其中一個式了的值，其余二式的值

10、可求。 轉(zhuǎn)化的公式為nacosa)2=l 2 sinacosa; (2)關(guān)于sina, cosa的齊次式，往往化為關(guān)于tanx的式了。5. 扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用K例5己知一扇形的圓心角是a,所在圓半徑是R。(1) 若a=60, R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。(2) 若扇形的周長是一定值C (C0),當(dāng)a是多少弧度時，該扇形有最大面積？二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【知識梳理】2.六組誘導(dǎo)公式組數(shù)二三四五角2k n +a(kez)7i+a-a7i-a71?a71 +a2正弦sina-sina-sinasinacosacosa余弦cosa cosacosa-cosasina-sin

11、a正切tanatana-tana-tana口訣函數(shù)名不變 符號看象限函數(shù)名改變 符號看象限注：誘導(dǎo)公式可概括為 士a的各三角函數(shù)值的化簡公式。記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限。其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變, 符號看象限是指把a看成銳角時原函數(shù)值的符號作為結(jié)果的符號?！绢}型梳理】1. 三角函數(shù)式的化簡相關(guān)鏈接（1）cr + 2MeZ）, -a,a的三和函數(shù)值是化簡的主要工具。使用誘導(dǎo)公式前，要正確分析角的結(jié)構(gòu)特點，然后確定使用的誘導(dǎo)公式；（2）不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角，5,71如：龍+ & =

12、 2龍+（空+ 0）等。注：若Rtf I a出現(xiàn)時，要分&為奇數(shù)和偶數(shù)討論。（3）誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值；（4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結(jié)果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求 出值的要求出值、無根式、無分式等。sin伙兀一a)cos(k-l)-a、K例1化簡:(k g Z) sin(R +l)7r + acos 伙;r + a)2. 三角函數(shù)的求值相關(guān)鏈接(1) 六個誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系是求值的基礎(chǔ)：(2) 已知一個角的三角函數(shù)值，求其他角三角函數(shù)值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化 簡，化為同一個角的

13、三角函數(shù)，然后求值。冗兀sin(/r-a) + cos(Q + 7r)K例2已知cos(+ q) = 2sin(a), 求石 的值。225cos(-a) + 3sin(T-a)3. 誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用K例 3在4ABC 中，若 sin(2 n-A)=-V2 sin( n-p), V3cosA=-V2 cos( n-0),求 A ABC 的三內(nèi)角。注：在AABC中常用的變形結(jié)論有：A B C 兀VA+B+C=tc, 2A+2B+2C=27t, y + y + y =,sin(A +B)=sin(7r-C)=sinC;cos(A+B)=cos(7t-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2 兀-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2n-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(27i-2C)=-tan2C;AB 7i sin(y + y)=sin(yA B 7C C Ccos( y+ y )=cos( )=sin .