高二數(shù)學(xué)《解決有關(guān)測量角度的問題》教學(xué)設(shè)計

1、1.2.3解決有關(guān)測量角度的問題一、內(nèi)容及其解析本課時是一個有關(guān)測量角度的問題，即課本上的例6.在這里，能否靈活求解問題的關(guān)鍵是正弦定理和余弦定理的選用，有些題目只選用其一，或兩者混用，這當(dāng)中有很大的靈活性，需要對原來所學(xué)知識進(jìn)行深入的整理、加工，鼓勵一題多解，訓(xùn)練發(fā)散思維借助計算機(jī)等媒體工具來進(jìn)行演示，利用動態(tài)效果，能使學(xué)生更好地明辨是非、掌握方法常用術(shù)語與相關(guān)概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡與水平面的夾角的度數(shù)（2）坡比：坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即坡角的正切值（3）仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時

2、叫俯角（4）方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（5）方位角：從指北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角二、目標(biāo)及其解析能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力除了安排課本上的例6，還針對性地選擇了既具典型性又具有啟發(fā)性的12道例題，強(qiáng)調(diào)知識的傳授更重能力的滲透課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三三、問題診斷分析解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況

3、：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神.四、教學(xué)過程問題與題例問題：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化為已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題然而在實際的生活中,人們又會遇到新的問題，仍然需要用我們學(xué)過的解三角形的知識來解決，大家身邊有什么例子嗎？ 像航海，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 飛機(jī)在天上飛行時，如何確

4、定地面上的目標(biāo).實際生活當(dāng)中像這樣的例子很多，今天我們接著來探討這方面的測量問題推進(jìn)新課【例1】（幻燈片放映）如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01 n mile)學(xué)生看圖思考要想解決這個問題，首先應(yīng)該搞懂“北偏東75的方向”這是方位角這實際上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定

5、理算出AC邊和AB邊的夾角CAB，就可以知道AC的方向和路程問題：根據(jù)大家的回答，我們已經(jīng)很清楚解題思路下面請同學(xué)寫一下解題過程.解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理， 113.15.根據(jù)正弦定理, ,0.325 5,所以CAB19.0,75-CAB=56.0.答:此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.這道題綜合運用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位 【例2】某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/時的速度沿著直

6、線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？問題：你能否根據(jù)題意畫出方位圖？（在解斜三角形這一節(jié)里有好多都要把實際問題畫出平面示意圖，圖畫的好壞有時也會影響到解題，這是建立數(shù)學(xué)模型的一個重要方面）如右圖問題：從圖上看這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，還需要什么呢?引入時間這個參變量,可以設(shè)x小時后追上走私船.如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,則由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化簡得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去).

7、所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因為sinBAC =,BAC=3813,或BAC=14147（鈍角不合題意，舍去）.3813+45=8313.答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.問題：上面是用正、余弦定理來解決的，我們能不能都用余弦定理來解決呢？同上解得BC=15,AB=21,在ABC中，由余弦定理，得0.785 7,CAB3813,3813+45=8313.巡邏艇應(yīng)沿北偏東8313的方向追趕，經(jīng)過1.4小時追趕上該走私船五、目標(biāo)檢測答案：運用余弦定理求得傾斜角約為116.23.1.如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，

8、在B處測得小島A在船的南偏東30，航行30海里到C處，在C處測得小島A在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？解：在ABC中，BC=30，B=30，ACB=180-45=135,A=15.由正弦定理知,.A到BC所在直線的距離為ACsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險答：不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險2.如圖，有兩條相交成60角的直線XX、YY，交點是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲在離O點3千米的A點，乙在離O點1千米的B點，后來兩人同時以每小時4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步

9、行，（1）起初，兩人的距離是多少？（2）用包含t的式子表示t小時后兩人的距離；（3）什么時候兩人的距離最短？解：（1）因甲、乙兩人起初的位置是A、B，則AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231=7,起初，兩人的距離是千米（2）設(shè)甲、乙兩人t小時后的位置分別是P、Q，則AP=4t,BQ=4t,當(dāng)0t時，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;當(dāng)t時,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7,所以，PQ =48t2-24t+7（3）PQ2=48t2-24t

10、+7=48(t-)2+4,當(dāng)t=時，即在第15分鐘末，PQ最短答：在第15分鐘末，兩人的距離最短六、課堂小結(jié)在實際問題（航海、測量等）的解決過程中，解題的一般步驟和方法，及正弦、余弦定理相關(guān)知識點的熟練運用應(yīng)用解三角形知識解決實際問題時，要分析和研究問題中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，應(yīng)該選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的解題步驟：根據(jù)題意作出示意圖；所涉及的三角形，搞清已知和未知；選用合適的定理進(jìn)行求解；給出答案七、目標(biāo)檢測優(yōu)化設(shè)計-角度問題自我測評與隨堂訓(xùn)練一、備用例題1.如圖所示，已知A、B兩點的距離為100海里，B在A的北偏東30處，甲船自

11、A以50海里/時的速度向B航行，同時乙船自B以30海里/時的速度沿方位角150方向航行問航行幾小時，兩船之間的距離最短？ 解：設(shè)航行x小時后甲船到達(dá)C點，乙船到達(dá)D點，在BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x海里（0x2），CBD=60，由余弦定理得CD2=(100-50x)2+(30x)2-2(100-50x)30xcos60=4 900x2-13 000x+10 000. 當(dāng)（小時）時，CD2最小，從而得CD最小.航行小時，兩船之間距離最近2我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知DC=6 000米，ACD=45,ADC=75,目標(biāo)出現(xiàn)于地面點B處時，測得BCD=30,BDC=15求炮