高二數(shù)學(xué)《解決有關(guān)測(cè)量角度的問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1.2.3解決有關(guān)測(cè)量角度的問(wèn)題一、內(nèi)容及其解析本課時(shí)是一個(gè)有關(guān)測(cè)量角度的問(wèn)題，即課本上的例6.在這里，能否靈活求解問(wèn)題的關(guān)鍵是正弦定理和余弦定理的選用，有些題目只選用其一，或兩者混用，這當(dāng)中有很大的靈活性，需要對(duì)原來(lái)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入的整理、加工，鼓勵(lì)一題多解，訓(xùn)練發(fā)散思維借助計(jì)算機(jī)等媒體工具來(lái)進(jìn)行演示，利用動(dòng)態(tài)效果，能使學(xué)生更好地明辨是非、掌握方法常用術(shù)語(yǔ)與相關(guān)概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡與水平面的夾角的度數(shù)（2）坡比：坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即坡角的正切值（3）仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)

2、叫俯角（4）方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（5）方位角：從指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角二、目標(biāo)及其解析能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力除了安排課本上的例6，還針對(duì)性地選擇了既具典型性又具有啟發(fā)性的12道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過(guò)程，重討論，教師通過(guò)導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三三、問(wèn)題診斷分析解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況

3、：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神.四、教學(xué)過(guò)程問(wèn)題與題例問(wèn)題：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化為已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題然而在實(shí)際的生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，仍然需要用我們學(xué)過(guò)的解三角形的知識(shí)來(lái)解決，大家身邊有什么例子嗎？ 像航海，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 飛機(jī)在天上飛行時(shí)，如何確

4、定地面上的目標(biāo).實(shí)際生活當(dāng)中像這樣的例子很多，今天我們接著來(lái)探討這方面的測(cè)量問(wèn)題推進(jìn)新課【例1】（幻燈片放映）如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01 n mile)學(xué)生看圖思考要想解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)該搞懂“北偏東75的方向”這是方位角這實(shí)際上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定

5、理算出AC邊和AB邊的夾角CAB，就可以知道AC的方向和路程問(wèn)題：根據(jù)大家的回答，我們已經(jīng)很清楚解題思路下面請(qǐng)同學(xué)寫一下解題過(guò)程.解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理， 113.15.根據(jù)正弦定理, ,0.325 5,所以CAB19.0,75-CAB=56.0.答:此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.這道題綜合運(yùn)用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位 【例2】某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/時(shí)的速度沿著直

6、線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？問(wèn)題：你能否根據(jù)題意畫出方位圖？（在解斜三角形這一節(jié)里有好多都要把實(shí)際問(wèn)題畫出平面示意圖，圖畫的好壞有時(shí)也會(huì)影響到解題，這是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要方面）如右圖問(wèn)題：從圖上看這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，還需要什么呢?引入時(shí)間這個(gè)參變量,可以設(shè)x小時(shí)后追上走私船.如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,則由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化簡(jiǎn)得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去).

7、所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因?yàn)閟inBAC =,BAC=3813,或BAC=14147（鈍角不合題意，舍去）.3813+45=8313.答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.問(wèn)題：上面是用正、余弦定理來(lái)解決的，我們能不能都用余弦定理來(lái)解決呢？同上解得BC=15,AB=21,在ABC中，由余弦定理，得0.785 7,CAB3813,3813+45=8313.巡邏艇應(yīng)沿北偏東8313的方向追趕，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)追趕上該走私船五、目標(biāo)檢測(cè)答案：運(yùn)用余弦定理求得傾斜角約為116.23.1.如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，

8、在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30，航行30海里到C處，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？解：在ABC中，BC=30，B=30，ACB=180-45=135,A=15.由正弦定理知,.A到BC所在直線的距離為ACsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），不改變航向，繼續(xù)向南航行，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)答：不改變航向，繼續(xù)向南航行，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)2.如圖，有兩條相交成60角的直線XX、YY，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲在離O點(diǎn)3千米的A點(diǎn)，乙在離O點(diǎn)1千米的B點(diǎn)，后來(lái)兩人同時(shí)以每小時(shí)4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步

9、行，（1）起初，兩人的距離是多少？（2）用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？解：（1）因甲、乙兩人起初的位置是A、B，則AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231=7,起初，兩人的距離是千米（2）設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P、Q，則AP=4t,BQ=4t,當(dāng)0t時(shí)，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;當(dāng)t時(shí),PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7,所以，PQ =48t2-24t+7（3）PQ2=48t2-24t

10、+7=48(t-)2+4,當(dāng)t=時(shí)，即在第15分鐘末，PQ最短答：在第15分鐘末，兩人的距離最短六、課堂小結(jié)在實(shí)際問(wèn)題（航海、測(cè)量等）的解決過(guò)程中，解題的一般步驟和方法，及正弦、余弦定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要分析和研究問(wèn)題中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，應(yīng)該選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：根據(jù)題意作出示意圖；所涉及的三角形，搞清已知和未知；選用合適的定理進(jìn)行求解；給出答案七、目標(biāo)檢測(cè)優(yōu)化設(shè)計(jì)-角度問(wèn)題自我測(cè)評(píng)與隨堂訓(xùn)練一、備用例題1.如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)的距離為100海里，B在A的北偏東30處，甲船自

11、A以50海里/時(shí)的速度向B航行，同時(shí)乙船自B以30海里/時(shí)的速度沿方位角150方向航行問(wèn)航行幾小時(shí)，兩船之間的距離最短？ 解：設(shè)航行x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，在BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x海里（0x2），CBD=60，由余弦定理得CD2=(100-50x)2+(30x)2-2(100-50x)30xcos60=4 900x2-13 000x+10 000. 當(dāng)（小時(shí)）時(shí)，CD2最小，從而得CD最小.航行小時(shí)，兩船之間距離最近2我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知DC=6 000米，ACD=45,ADC=75,目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得BCD=30,BDC=15求炮