高中數(shù)學(xué) 3-4 第2課時(shí)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃同步導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修

1、第2課時(shí)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃知能目標(biāo)解讀1.了解線性規(guī)劃的意義，掌握目標(biāo)函數(shù)的約束條件，二元線性規(guī)劃、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.掌握用圖解法求方程及解線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法及步驟.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：線性規(guī)劃的有關(guān)概念理解及線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解方法.難點(diǎn)：線性目標(biāo)函數(shù)最值（即最優(yōu)解）求法.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的幾個(gè)概念1.目標(biāo)函數(shù)：我們把要求最大值或最小值的函數(shù)z=ax+by+c叫做目標(biāo)函數(shù).如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則又稱該目標(biāo)函數(shù)為線性目標(biāo)函數(shù).2.約束條件：目標(biāo)函數(shù)中的變量所滿足的不等式組稱為約束條件.如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（組），又稱線性約束條件.3.線性規(guī)劃問(wèn)

2、題：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，也稱為二元線性規(guī)劃問(wèn)題.4.可行解：線性規(guī)劃問(wèn)題中，滿足線性約束條件的解（x,y）稱為可行解.5.可行域:由所有可行解組成的集合稱為可行域.6.最優(yōu)解:可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的解稱為最優(yōu)解,最優(yōu)解一定在可行域里面,一般在邊界處取得,最優(yōu)解不一定只有一個(gè),它可以有無(wú)數(shù)個(gè).二、目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題在求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最值時(shí),根據(jù)y的系數(shù)的正負(fù),可分為以下兩種情形求最值. 1.求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c,b0的最值.在線性約束條件下,當(dāng)b0時(shí),求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序?yàn)?

3、(1)作出可行域；(2)作出直線l0：ax+by=0；(3)確定l0的平移方向,若把l0向上平移,則對(duì)應(yīng)的z值隨之增大；若把l0向下平移,所對(duì)應(yīng)的z值隨之減小,依可行域判定取得最優(yōu)解的點(diǎn).(4)解相關(guān)方程組,求出最優(yōu)解,從而得出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.2.求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c,b0的最值.在線性約束條件下,當(dāng)b0時(shí),求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序?yàn)?(1)作出可行域；(2)作出直線l0:ax+by=0;(3)確定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相應(yīng)z值隨之減??；若把l0向下平移,所對(duì)應(yīng)的z值隨之增大,依可行域判定取得最優(yōu)解的點(diǎn).(4)解相關(guān)方程組,求出最

4、優(yōu)解,從而得出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.注意：確定最優(yōu)解的方法:將目標(biāo)函數(shù)的直線平移,最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解；利用圍成可行域的直線的斜率來(lái)判斷,若圍成可行域的直線l1,l2,ln的斜率分別為k1k2kn,且目標(biāo)函數(shù)的斜率為k,則當(dāng)kik0,y0誤解依約束條件畫(huà)出可行域如圖所示，如先不考慮x、y為整數(shù)的條件，則當(dāng)直線5x+4y=S過(guò)點(diǎn)A()時(shí)，S=5x+4y取最大值，Smax.因?yàn)閤、y為整數(shù)，而離點(diǎn)A最近的整點(diǎn)是C(1,2)，這時(shí)S=13,所要求的最大值為13.辨析顯然整點(diǎn)B(2,1)滿足約束條件，且此時(shí)S=14,故上述解法不正確.對(duì)于整點(diǎn)解問(wèn)題，其最優(yōu)解不一定是離邊界點(diǎn)最近的整點(diǎn)

5、.而要先對(duì)邊界點(diǎn)作目標(biāo)函數(shù)t=Ax+By的圖像，則最優(yōu)解是在可行域內(nèi)離直線t=Ax+By最近的整點(diǎn).正解依約束條件畫(huà)出可行域如上述解法中的圖示，作直線l：5x+4y=0,平行移動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)B(2,1)時(shí)，Smax14.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題 x21.若x,y滿足約束條件 y2 ,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的取值范圍是（）x+y2A.2,6B.2,5C.3,6D.3,5答案A x2解析畫(huà)出不等式組 y2 表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的ABC.x+y2作直線l:x+2y=0,平行移動(dòng)直線l,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B(2,0)時(shí)z取最小值2，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A(2,2)時(shí)，z取最大值6

6、，故選A.x1,2.（2011天津文，2）設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-40, 則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的最大值x-3y+40,為（）A.4B.0C.D.4答案D解析本題考查了利用線性規(guī)劃求最值，線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域，則區(qū)域端點(diǎn)的值為目標(biāo)函數(shù)的最值，求出交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可. x1,由 x+y-40,x-3y+40,作出可行域如圖：當(dāng)直線z=3x-y過(guò)點(diǎn)A(2,2)點(diǎn)時(shí)z有最大值.z最大值=32-2=4. 0x3.(2011廣東理，5)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組 y2 給定.xy若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,1)，則z=的最大值為（）A.

7、4B.3C.4D.3答案C解析本題考查線性規(guī)劃、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.=（x,y）（,1）=x+y,做直線l0：x+y=0，將l0向右上方平移，當(dāng)l0過(guò)區(qū)域D中點(diǎn)(，2)時(shí)，=x+y取最大值+2=4.選C.二、填空題 x-y+204.設(shè)x、y滿足約束條件 5x-y-100，則z=2x+y的最大值為. x0 y0答案11 x-y+20解析不等式組 5x-y-100表示的可行域如圖陰影部分所示. x0 y0 x-y+2=0 x=3由 ，得5x-y-10=0 y=5點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，5），作直線l：2x+y=0，平行移動(dòng)直線l至過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z=2x+y取最大值11.5.某實(shí)驗(yàn)室需購(gòu)買(mǎi)某種化工原料106千克

8、，現(xiàn)在市場(chǎng)上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元，在滿足需要的條件下，最少要花費(fèi)元.答案500解析設(shè)第一種原料x(chóng)袋，第二種原料y袋，花費(fèi)為z， 由題意知，線性目標(biāo)函數(shù)z=140x+120y，線性約束條件x0y0 ，35x+24y106其可行域如圖，可得z的最優(yōu)整數(shù)解為（1，3），此時(shí)zmin=500.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題 x01.不等式組 x+3y4 ，所表示的平面區(qū)域的面積等于（）3x+y4A.B.C.D.答案C解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， x+3y=4由 ，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1). 3x+y=4又B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,4

9、）、 (0,),SABC= (4-)1=. yx,2.設(shè)變量x，y滿足約束條件： x+2y2,則z=x-3y的最小值為（）x-2.A.-2B.-4C.-6D.-8答案D解析作可行域（如圖），令z=0得x-3y=0，將其平移，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（-2，2）時(shí)，z取最小值，zmin=-2-32=-8. x+2y-503.(2011浙江理，5)設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組 2x+y-70，若x、y為整數(shù)，則3x+4yx0，y0的最小值為（）A.14B.16C.17D.19答案B解析本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)則問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，如圖， 作出不等式組表示的平面區(qū)域 ，作直線l0：3x+4y=0平移l0 與平面區(qū)域有交點(diǎn)，由于

10、x，y為整數(shù)，結(jié)合圖形可知當(dāng)x=4，y=1時(shí)，3x+4y取最小值為16，選B. x-14.若變量x、y滿足約束條件 yx , 則z=2x+y的最大值為（）3x+2y5A.1B.2C.3D.4答案C解析如圖所示，由約束條件作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,由圖知在A點(diǎn)z取最大值. y=x聯(lián)立 得A（1，1）.3x+2y=5zmax=21+1=3. 2x+y45.設(shè)x，y滿足 x-y-1 ，則z=x+y（）x-2y2A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值答案B解析如右圖作出不等式組表示的可行域，由于z=x+y 的斜率大

11、于2x+y=4的斜率，因此當(dāng)z=x+y過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，z有最小值2，但z沒(méi)有最大值. x+3y-306.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式 2x-y-30，且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=（）x-my+10A.-2B.-1C.1D.2答案C解析如圖，作出可行域. x-my+1=0由 ，得A（,）,2x-y-3=0平移y=-x,當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，x+y取最大值，即+=9.解得m=1. x07.若不等式組 x+3y4所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分，則k3x+y4的值是（）A.B. C. D. 答案A解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由于直線y=kx+過(guò)定點(diǎn)（0，）.因此只有直線過(guò)AB中

12、點(diǎn)時(shí)，直線y=kx+能平分平面區(qū)域.因?yàn)锳（1，1），B(0,4)，所以AB中點(diǎn)M(，).當(dāng)y=kx+過(guò)點(diǎn)（，）時(shí)，=+,k=.8.設(shè)G是平面上以A(2，1)、B(-1，-4)、C(-2,2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界點(diǎn)），點(diǎn)（x,y）在G上變動(dòng)，f(x,y)4x-3y的最大值為a,最小值為b,則a+b的值為（）A.-1 B.-9 C.13 D.-6答案D解析設(shè)4x-3y=c,則3y=4x-c,y=x-,-表示直線l:4x-3y=c在y軸上的截距，kAB=,而kl=,l過(guò)C(-2,2)時(shí)，-有最大值；-=2-（-2），cmin=b=-14,l過(guò)B(-1,-4)時(shí)，-有最小值;-=-4-（

13、-1）-，cmax=a=8,a+b=-6.二、填空題 0x49.已知x、y滿足條件 0y3 ，則z=2x+5y的最大值為.x+2y8答案19解析可行域如圖.當(dāng)直線y=-x+經(jīng)過(guò)直線y=3與x+2y=8交點(diǎn)（2，3）時(shí),z取最大值z(mì)max=19. 32x+y9,10.(2011新課標(biāo)理，13)若變量x,y滿足約束條件 則z=x+2y的最小值為6x-y9,.答案-6解析本題主要考查了線性規(guī)劃求最值.依題意，可行域?yàn)槿鐖D陰影部分，則最優(yōu)解為A(4,-5),zmin=4+2(-5)=-6. x-y+2011.不等式組 x+y+20，所確定的平面區(qū)域記為D.若點(diǎn)（x,y）是區(qū)域D上的點(diǎn)，則2x+y2x-

14、y-20的最大值是；若圓O:x2+y2=r2上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D內(nèi)，則圓O面積的最大值是答案14解析如圖，令z=2x+y可知，直線z=2x+y經(jīng)過(guò)（4,6）時(shí)z最大，此時(shí)z=14;當(dāng)圓O：x2+y2=r2和直線2x-y-2=0相切時(shí)半徑最大.此時(shí)半徑r=,面積S=. x112.已知 x-y+10，則x2+y2的最小值為.2x-y-20答案5解析畫(huà)出可行域如下圖所示,可見(jiàn)可行域中的點(diǎn)A(1,2)到原點(diǎn)的距離最小為d=,x2+y25.三、解答題 x-y+2013.已知變量x,y滿足約束條件 x1 ，求的最大值和最小值.x+y-70解析由約束條件作出可行域（如圖所示），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），目標(biāo)函數(shù)

15、z=表示坐標(biāo)是（x,y）與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率.由圖可知，點(diǎn)A與O連線斜率最大為3;當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，斜率最小為0.故的最大值為3，最小值為0. x-4y-314.設(shè)x,y滿足約束條件 3x+5y25，分別求： x1（1）z=6x+10y的最大值、最小值;（2）z=2x-y的最大值、最小值;（3）z=2x-y(x,y均為整數(shù)）的最大值、最小值.解析（1）先作出可行域，如圖所示中ABC表示的區(qū)域，且求得A（5,2）、B（1，1）、C（1，）.作出直線l0：6x+10y=0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使z=6x+10y達(dá)到最小值，當(dāng)l0的平行線l2過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可使z=6x+10y達(dá)到最大值.zmin=61+101=16；zmax=65+102=50. (2)同上，作出直線l0:2x-y=0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可