高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示知識導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修

1、1.2 函數(shù)及其表示知識導(dǎo)學(xué) 函數(shù)實質(zhì)上是從集合A到集合B的一個特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空數(shù)集.自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域,函數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域.這里應(yīng)該注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能說C是B的一個子集. 構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域A,對應(yīng)法則f,值域B.其中核心是對應(yīng)法則f,它是聯(lián)系x和y的紐帶,是對應(yīng)得以實現(xiàn)的關(guān)鍵.對應(yīng)法則可以由多種形式給出,可以是解析法,可以是列表法和圖象法,不管是哪種形式,都必須是確定的,且使集合A中的每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng).當(dāng)一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定之后,值域也就唯一的確定了.因此,要確定一個函數(shù),只要定

2、義域與對應(yīng)法則確定即可. 函數(shù)的定義域是函數(shù)研究的重要內(nèi)容,在給定函數(shù)的同時應(yīng)該給定函數(shù)的定義域. 一般地,如果不加說明,函數(shù)的定義域就是使函數(shù)的解析式有意義的實數(shù)的集合.據(jù)此,就可以“求出”函數(shù)的定義域了. 值域是全體函數(shù)值組成的集合,一般地,函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定,值域就隨之確定了. 求函數(shù)值域是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題,常見的方法有(1)圖象法;(2)反解x;(3)配方法;(4)換元法.以后還可用單調(diào)性、判別式法等. 所謂函數(shù)y=f(x)的圖象,就是將自變量的一個值x0作為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo),就得到坐標(biāo)平面上的一個點(x0,f(x0).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一

3、個值時,就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的集合(點集)為(x0,f(x0)|xA,即(x,y)|y=f(x),xA,所有這些點組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的圖象. 函數(shù)圖象是函數(shù)部分運用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ).函數(shù)圖象部分應(yīng)解決好畫圖、識圖、用圖這三個基本問題,即對函數(shù)的圖象有三點要求:(1)會畫各種簡單函數(shù)的圖象;(2)能以函數(shù)的圖象識別相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì);(3)能用數(shù)形結(jié)合思想以圖輔助解題. 根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系,求出它的解析式,一是要求出對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域. 求函數(shù)的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系數(shù)法、換元法、配方法、方程或方程組法等.根

4、據(jù)實際問題求函數(shù)表達式,是應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的基礎(chǔ),但要注意函數(shù)定義域還應(yīng)由實際意義來確定. 函數(shù)是特殊的映射,即當(dāng)兩個集合A、B均為非空數(shù)集時,則從A到B的映射就是函數(shù).所以函數(shù)一定是映射,而映射不一定是函數(shù).疑難導(dǎo)析 1.兩個函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域與對應(yīng)關(guān)系分別相同,例如函數(shù)f(x)=|x|,與f(x)=是同一個函數(shù). 2.函數(shù)的核心是對應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)符號y=f(x)中,f是表示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,等式y(tǒng)=f(x)表明,對于定義域中的任意x,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下,可得到y(tǒng),因此,f是使“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑. 函數(shù)符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示,它不表

5、示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式,也可以是圖象或數(shù)表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系.f(a)表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)f(x)的值,是一個常量;而f(x)是自變量x的函數(shù),在一般情況下,它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值. 3.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下,一旦定義域和對應(yīng)關(guān)系確定,函數(shù)的值域也就隨之確定. 映射作為函數(shù)概念的推廣,只是把函數(shù)中的兩個數(shù)集推廣為兩個任意的集合.所以說一個映射關(guān)系必為函數(shù)關(guān)系,反之不然. 映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考慮.問題導(dǎo)思 關(guān)于函數(shù)的兩個定義實質(zhì)上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化的觀點,而高

6、中定義卻是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā). 初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點是:直觀,生動. 高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點:更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達式是不是函數(shù): f(x)= 現(xiàn)在用高中學(xué)的函數(shù)概念來判斷則是沒有問題的. 有些表達式中的自變量和函數(shù)值所用的字母不同,但也是同一個函數(shù).比如:y=3x+2與s=3t+2就是同一個函數(shù). 由于函數(shù)關(guān)系的三種表示方法各具特色,優(yōu)點突出,但大都存在著缺點,不盡人意,所以在應(yīng)用中本著物盡其用、揚長避短、優(yōu)勢互補的精神,通常表示函數(shù)關(guān)系是把這三種方法結(jié)合起來運用,先確定函數(shù)的解析式,即用解析法表示函數(shù);再根據(jù)函數(shù)解析式,計算自變量與函數(shù)的各組

7、對應(yīng)值,列表;最后是畫出函數(shù)的圖象.典題導(dǎo)考綠色通道 判斷兩個函數(shù)或幾個函數(shù)是不是同一個函數(shù),有時是用定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同來加以判別,但有時判別值域更方便些.比如本題中的第(4)小題.黑色陷阱 對于函數(shù)是不是相同的判別,容易發(fā)生只看三要素中的其中之一的思維誤區(qū),從而造成解答錯誤.所以說認(rèn)識函數(shù)對應(yīng)法則必須認(rèn)清它的本質(zhì),否則容易發(fā)生從表面上進行判別的錯誤.典題變式 試判斷以下各組函數(shù)中,是否表示同一函數(shù)?(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)=,g(x)=(3)f(x)=,g(x)=() 2n-1(nN);(4)f(x)=,g(x)=.答案:(1)不是;(2)不是;(3)是;(4)不是

8、.綠色通道 在求函數(shù)的解析式時,有時技巧上的變換對解題起到一定的作用,但通法更重要,因為通法是程式化的東西,解法二就是一種通法,這種變量替換在解數(shù)學(xué)題中占有重要的地位.黑色陷阱 在進行變量替換時,易忽略替換變量后函數(shù)定義域的變化.所以解此類問題一定要細心縝密,不要慌張.典題變式1.求實系數(shù)的一次函數(shù)y=f(x),使ff(x)=4x+3.答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.2.已知f(x)滿足2f(x)+3f()=4x,求函數(shù)f(x)的解析式.答案:f(x)=-x+.綠色通道 這里的函數(shù)對于所給的解析式,要進行化簡才能看出所給的函數(shù)都是分段函數(shù),然后再畫圖象.黑色陷阱 一是容易將圖(

9、1)畫成直線,主要原因是沒有認(rèn)清定義域為Z和定義域為R的區(qū)別.二是容易只畫出圖象的某一段,從而造成整個圖象的缺失.典題變式 作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=|x+1|+|x-2|;(2)y=解:(1)y=|x+1|+|x-2|=作出函數(shù)的圖象如圖1-2-1所示:圖1-2-1(2)作二次函數(shù)y=x2的圖象取x-1的部分,再作y=x+1的圖象取x-1的部分,就得到函數(shù)y=的圖象,如圖1-2-6所示.圖1-2-6綠色通道 給定兩集合A、B及對應(yīng)法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定義.用通俗的語言講:AB的對應(yīng)有“多對一”“一對一”及“一對多”,前兩種對應(yīng)是AB的映射,而后

10、一種不是AB的映射.典題變式 給出下列關(guān)于從集合A到集合B的映射的論述,其中正確的有_.(1)B中任何一個元素在A中必有原象;(2)A中不同元素在B中的象也不同;(3)A中任何一個元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一個元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一個;(6)集合A與B一定是數(shù)集;(7)符號f:AB與f:BA的含義是一樣的.答案:(1)不對;(2)不對;(3)對;(4)不對;(5)對;(6)不對;(7)不對.綠色通道 本題考查的是分段函數(shù),這是一個實際問題,解題時要用到分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想,這是多年的高考熱點,也是今后高考命題的方向.(1)畫出草圖幫

11、助分析時,要明確哪些是關(guān)鍵量,以及這些量的特點(變與不變);(2)對分段函數(shù)要選準(zhǔn)線段的各端點.(3)可以通過畫圖判斷函數(shù)的值域,這也是一種數(shù)形結(jié)合的解題思想.黑色陷阱 在分段函數(shù)的轉(zhuǎn)折點上易發(fā)生取舍不當(dāng)?shù)膯栴}.比如本題如把區(qū)間分成0x4,4x10,10x14,則是不對的.典題變式如圖1-2-9,某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形,底寬2 m,渠深1.8 m,邊坡的傾角是45.圖1-2-9(1)試用解析表達式將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域和值域;(3)畫出函數(shù)的圖象.答案:(1)A= =h2+2h.(2)定義域為h|0h1.8.值域為A|0A6.84.(3

12、)函數(shù)圖象如圖1-2-10.圖1-2-10黑色陷阱 對這類建模方面的問題,一是要經(jīng)常留心生活中的人和事,不至于遇到類似的情景感到無從下手;二是遇到這類問題不要著急,要理清脈絡(luò),找到所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.典題變式1.如圖1-2-12,有一塊邊長為a的正方形鐵皮,將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形,然后折成一個無蓋的盒子,寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_,這個函數(shù)的定義域為_.圖1-2-12答案:V=x(a-2x) 2 x|0x2.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤氣用量和支付費用如下表所示:月 份用氣量煤氣費一月份4米34元二月份25米314元三月份35米319元 該市煤氣收費的方法是:煤氣費=基本費+超額費+保險費.若每月用