高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.10 函數(shù)的最值教案

1、2.10 函數(shù)的最值知識梳理求函數(shù)最值的常用方法有：（1）配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值；（2）判別式法：若函數(shù)y=f（x）可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，則在a（y）0時，由于x、y為實數(shù)，故必須有=b2（y）4a（y）c（y）0，從而確定函數(shù)的最值，檢驗這個最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等號的條件確定函數(shù)的最值.（4）換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.（5）數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖

2、象或幾何方法求出函數(shù)的最值.（6）函數(shù)的單調(diào)性法.點擊雙基1.（2003年春季北京）函數(shù)f（x）=的最大值是A. B. C. D.解析：1x（1x）=1x+x2=（x）2+，f（x）=，f（x）max=.答案：D2.若x2+y2=1，則3x4y的最大值為A.3B.4C.5D.6解析：x2+y2=1，可設(shè)x=cos，y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin（+）5.答案：C3.（2004年春季安徽）函數(shù)y=x（x0）的最大值為_.答案：4.設(shè)x0，y0且3x+2y=12，則xy的最大值是_.解析：x0，y0，3x2y（）262xy6（當(dāng)且僅當(dāng)3x2y時等號成立）.答案：65.函數(shù)y=|x

3、1|+|x3|的最小值是_.解析：在數(shù)軸上，設(shè)1、3、x對應(yīng)的點分別是A、B、P，y=|x1|+|x3|=|PA|+|PB|AB|=2.答案：2典例剖析【例1】 （2004年上海，18）某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8 m2，問x、y分別為多少時用料最?。浚ň_到0.001 m）解：由題意得xy+x=8，y=（0x4）.于是，框架用料長度為L=2x+2y+2（）=（+）x+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)（+）x=，即x=84時，等號成立.此時，x2.343，y=22.828.故當(dāng)x為2.343 m，y為2.828

4、m時，用料最省.【例2】 設(shè)f（t）=g（t）=t+（0t40，tN*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：當(dāng)0t20時，S=（t+11）（t+）=（t+22）（t43）.=10.5，又tN，t=10或11時，Smax=176.當(dāng)20t40時，S=（t+41）（t+）=（t41）（t43）.t=20時，Smax=161.綜上所述，S的最大值是176.【例3】 設(shè)0a1，x和y滿足logax3logxalogxy3，如果y有最大值，求這時a和x的值.解：原式可化為logax3，即logayloga2x3logax3（logax）2，知當(dāng)logax時，logay有最小值.0a1，此時y有最大值a

5、.根據(jù)題意有aa.這時xa（）.評述：本題是已知函數(shù)的最值，求函數(shù)式中的字母參數(shù)的值.這類問題，也是常見題型之一.深化拓展已知f（x）=2+log3x（1x9），求函數(shù)g（x）=f（x）2+f（x2）的最大值與最小值.解：由f（x）的定義域為1，9可得g（x）的定義域為1，3.又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）23，1x3，0log3x1.當(dāng)x=1時，g（x）有最小值6；當(dāng)x=3時，g（x）有最大值13.答案：當(dāng)x=1時，g（x）有最小值6；當(dāng)x=3時，g（x）有最大值13.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.若奇函數(shù)f（x）在a，b上是增函數(shù)，且最小值是1，則f（x）

6、在b，a上是 A.增函數(shù)且最小值是1B.增函數(shù)且最大值是1C.減函數(shù)且最小值是1D.減函數(shù)且最大值是1解析：f（a）=1，f（a）=1.答案：B2.（2003年北京）將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形.要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為_.解析：設(shè)正方形周長為x，則圓的周長為1x，半徑r=.S正=（）2=，S圓=.S正+S圓=（0x1）.當(dāng)x=時有最小值.答案：3.（2005年北京海淀模擬題）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M0，使|f（x）|M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù).給出下列函數(shù)：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=（sinx

7、+cosx）；f（x）=；f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x1、x2，均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|.其中是F函數(shù)的序號為_.答案：4.函數(shù)y=（x0）的值域是_.解析：由y=（x0），得x=0.y3.答案：（，35.求函數(shù)y=|x|的最值.解：三角代換.設(shè)x=cos，0，（f（x）是偶函數(shù)，不必取0，）則y=sin2.ymax=，ymin=0.培養(yǎng)能力6.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x+的定義域是n，n+1（nN），問f（x）的值域中有多少個整數(shù)？解：f（x）=（x+）2+的圖象是以（，）為頂點，開口向上的拋物線，而自然數(shù)n，f（x）的值域是f（n），f（n+1），即n2

8、+n+，n2+3n+.其中最小的整數(shù)是n2+n+1，最大的整數(shù)是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）（n2+n+1）+1=2n+2個整數(shù).7.已知函數(shù)g（x）=lga（a+1）x2（3a+1）x+3的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍.解：由題意知，應(yīng)使h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3能取到一切正實數(shù).a=0時，h（x）=x+3，顯然能取到一切正實數(shù)；a=1時，h（x）=2x+3，也能取到一切正實數(shù)；a0且a1時，h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3是二次函數(shù)，必須有解得a1或0a.綜上所述，a的取值范圍是，10，.探究創(chuàng)新8.已知函數(shù)f（x）=x（1x2），xR.（1）當(dāng)x0

9、時，求f（x）的最大值；（2）當(dāng)x0時，指出f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；（3）試作出函數(shù)f（x）（xR）的簡圖.解：（1）x0，欲求f（x）的最大值，必有1x20，y2=x2（1x2）2=2x2（1x2）（1x2）3=，y=.當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1x2，即x=時，取“=”，即f（x）max=f（）=.（2）由（1）知，當(dāng)x（0，時，f（x）單調(diào)遞增，x，+）時，f（x）單調(diào)遞減.設(shè)x2x10，則f（x2）f（x1）=x23+x2（x13+x1）=（x2x1）（x2x1）（x22+x1x2+x12）=（x2x1）1（x22+x1x2+x12）.當(dāng)0x1x2時，x2x10，1（x22+x1x2+x

10、12）0.f（x2）f（x1）.f（x）在（0，上遞增.當(dāng)x1x2時，x2x10，1（x22+x1x2+x12）0，f（x2）f（x1）.f（x）在，+）上遞減.（3）注：圖象過點（1，0）、（0，0）、（1，0），關(guān)于原點對稱.評述：第（1）題也可用導(dǎo)數(shù)解決.（x）=13x2，令（x）=0，x=.又x0，x=.通過檢驗單調(diào)性知，當(dāng)x=時，f（x）取得最大值，其最大值為，以下解法同上.思悟小結(jié)1.求函數(shù)的最值與求函數(shù)的值域是同一類問題，都必須熟練掌握本文開頭列出的六種方法.2.利用判別式法及不等式法求最值時，都需檢驗等號能否取到.另外，利用判別式法解決問題時，一定要考慮二次項系數(shù)可否為零.當(dāng)二

11、次項系數(shù)為零時，不能用判別式法解決問題.教師下載中心教學(xué)點睛利用導(dǎo)數(shù)先求極大值和極小值，然后確定最值，也是求函數(shù)最值的常用方法.復(fù)習(xí)本節(jié)時應(yīng)適當(dāng)滲透導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識.拓展題例【例1】 已知二次函數(shù)y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（1）=5，求f（x）的解析式.解：f（3）=f（1），拋物線y=f（x）有對稱軸x=1.故可設(shè)f（x）=a（x1）2+13，將點（3，5）代入，求得a=2.f（x）=2（x1）2+13=2x2+4x+11.【例2】 已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對一切xR，都有f（x+2）=f（2x），f（x+7）=f（7x）.（1）若f（5）=9，求f（5）的值；（2）已知x2，7時，f（x）=（x2）2，求當(dāng)x16，20時，函數(shù)g（x）=2xf（x）的表達式，并求出g（x）的最大值和最小值.解：（1）由f（x+2）=f（2x），f（x+7）=f（7x）可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2，x=7對稱，且f（x）=f（x2）+2=f2（x2）=f（4x）=f7（