高二數(shù)學(xué) 34二項式定理培優(yōu)教案

1、二項式定理 基礎(chǔ)知識 二項展開式 二項式定理 二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1.如何掌握二項式定理？二項式定理是同學(xué)們在初中學(xué)習(xí)過的和的平方、和的立方公式的推廣,要掌握二項展開式的幾個特點:(1)項數(shù):共項;(2)系數(shù):第項的二項式系數(shù)是;(3)指數(shù):a的指數(shù)由的指數(shù)由,各項a和b的指數(shù)的和都等于n.特別對二項展開式的通項公式要注意:(1)它表示的是展開式的第項,而不是第r項.(2)公式中a和b的位置不能顛倒,它們的指數(shù)和為n.(3)對于的二項展開式的通項公式應(yīng)是.2.二項式系數(shù)和項的系數(shù)有什么不同?二項式系數(shù)僅指,個組合數(shù),與a, b無關(guān),而項的系數(shù)卻與a, b的取值密切相關(guān).例如, ,這個二項

2、展開式中，二項式系數(shù)是,項的系數(shù)是,兩者顯然不同.3.在二項式定理的應(yīng)用中,如何運用取特例的方法解決問題?書中給出二項展開式的特例,在解題中,應(yīng)用取特例的方法,找到從一個關(guān)系式得到另一個關(guān)系式的方法.令時,可得時,可設(shè)即.令時,得到.4.“楊輝三角”是什么含義?“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)的研究成果之一,它的發(fā)現(xiàn)遠早于法國數(shù)學(xué)家帕斯卡,它可直觀地看出二項式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)二項式的次數(shù)不是很大時,可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù).5.二項式定理有哪些應(yīng)用?(1)求二項展開式中的某項;(2)證明整除問題;(3)求組合數(shù)的和;(4)證明組合恒等式(或不等式)例題精析例1.(89年上海)在展開式中,如項的

3、二項式系數(shù)相等,(1)求r的值;(2)寫出展開式的項.分析由題目所給的條件, 項的二項式系數(shù)相等,列方程,求出r值并不困難,但是展開式中某項的系數(shù)和二項式系數(shù)是一個不能混淆的概念性問題.解 (1)項的二項式系數(shù)是項的二項式系數(shù)是, 由組合數(shù)性質(zhì) 解得(舍) r=4 (2)r=4 解題后的點撥求二項展開式中的某項，是二項式定理常見的題型.次數(shù)已知,則直接應(yīng)用通項公式求得,若次數(shù)或有其它量未知,則需先根據(jù)題意求出參數(shù)的值,再求二項展開式中的某項.解題時注意概念的區(qū)分和公式的正確使用,以及組合數(shù)公式和性質(zhì)的應(yīng)用.例2.當(dāng)n為自然數(shù)時,求證:能被49整除.分析要證明能被49整除,要將被除式根據(jù)除數(shù)(式

4、)的特點進行適當(dāng)變形,得=,再利用二項式定理進行證明.解 = 為整數(shù).能被49整除。解題后的點撥用二項式定理證明整除問題或求余數(shù),都需根據(jù)除數(shù)(式)的特點,對被除式進行相應(yīng)的變形,使之二項展開式,含有除數(shù)(式)的因式,便于證明.例3求證: 分析將等式左邊與二項展開式的各項對照,可以得出.解 由二項式定理:對照要證等式的左邊.令.得 原式得證.解題后的點撥組合恒等式的證明,可以利用二項式定理,在展開式中,令a, b取特定的數(shù)值,可以得到一系列有關(guān)組合數(shù)的和的公式.例4已知展開式中某連續(xù)三項系數(shù)的比是3:8:14,求展開式中系數(shù)最大的項.分析若求系數(shù)最大的項,需將指數(shù)n求出,利用已知中連續(xù)三項系數(shù)

5、比3:8:14解出.解 由已知可設(shè)連續(xù)三項系數(shù)比為,則=3:8:14. 即 由組合數(shù)公式化簡可得 解出. 的展開式共有11項,其中最大項為第6項,即解題后的點撥在求二項展開式的二項式系數(shù)的最大值時,若指數(shù)n為偶數(shù),第項最大,若n為奇數(shù),中間第項,第項相等,且最大.鞏固提高 一.選擇題.1.的展開式中,二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是( )(A)(B)(C)(D)(n為偶數(shù))，或+1(n為奇數(shù))2.多項式的展開式中,含x3項的系數(shù)為( )(A)-100 (B)100 (C)-120 (D)1203.展開式中所有奇次項系數(shù)的和為( )(A)2n (B) 2n+1 (C) 2n-1 (D) 2n-24

6、.設(shè),則的值為( )(A)128 (B)129 (C)47 (D)05.按x升冪排列的展開式的項數(shù)為奇數(shù),且第5,6,7項的系數(shù)成等差數(shù)列,則n等于( )(A)7 (B)7或14 (C)14 (D)7和14以外的數(shù)6.已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)比為56:3, 則展開式中的常數(shù)項是( )(A)第2項 (B)第3項 (C)第5項 (D)第10項二填空題.7.在恒等式中,若,則正整數(shù)n的值為_.8.在展開式中,第_項的二項式系數(shù)最小,共_個有理項.9.展開式中含項的系數(shù)與展開式中含項的系數(shù)的比是_.10.數(shù)除以8的余數(shù)是_.11.若的展開式中含x的項為第6項, 若設(shè)則_.三.解答題12

7、.設(shè),求的值.13.已知展開式中含項的系數(shù)與展開式中含項的系數(shù)相等,求的值.14.已知展開式中x的系數(shù)為N*）求: (1)展開式中的系數(shù)的最小值; (2)當(dāng)?shù)南禂?shù)為最小時,求的系數(shù).15.已知成等差數(shù)列. 求證:16.在的展開式中, 含項的系數(shù)是144, 求k的值并求出含項的系數(shù)等于多少?自我反饋一.選擇題 1. D. n為偶數(shù)時,系數(shù)最大的項為中間項;當(dāng)n為奇數(shù)時,系數(shù)最大的項為中間的兩項. 2. C. 展開式中含項的系數(shù)為 3. C.對于的展開式中所有奇次項系數(shù)的和為.所以題中所有奇次項系數(shù)的和為. 4. A.= 5. C. 的展開式的項數(shù)n+1為奇數(shù), n為偶數(shù),由第5,6,7項的系數(shù)成

8、等差數(shù)列, n6, 化簡 , n為偶數(shù), n=14 6. B 解得(舍) 又 即常數(shù)項是第三項.二.填空題.7. 15. 由二項式系數(shù)的對稱性,8. 50,17.兩中間項的系數(shù)為, 第50項的二項式系數(shù)最小. k必須為3的奇數(shù)倍,且m為奇數(shù).由0k99,知0m33,則m取奇數(shù)有1,3,533共17個,所以有理項有17項.9. 2:1 展開式中含的系數(shù)為,展開式中含的系數(shù)為, :=2:1 10. 6. 余數(shù)為6.11. 225由令 三.解答題12.解: 現(xiàn)取. (1) 再取. (2) (1)-(2)得 13.解: 展開式中含項的系數(shù)為;展開式中含的系數(shù)為 14.解: (1), 即 的系數(shù)為 令 N* , . (2)當(dāng) 的系數(shù)為15. 16.依題意,含項的系數(shù)來自三部分:的展開式中, 含項的系數(shù);展開式中, 含項的系數(shù); 展開式中,含項的系數(shù), 得解得.含項的系數(shù)等于展開式中, 含項的系數(shù)與展開式中常數(shù)項之和, 解出這兩項系數(shù)和為-3, 含項系數(shù)是-3.走向高考1.(99全國高考)若；則的值為( )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)22.(96全國高考)某地現(xiàn)有耕地10000公頃,規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長率為1%,那么