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1、高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)DCBA第二章 直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系2.1.11 平面含義:平面是無(wú)限延展的2 平面的畫(huà)法及表示(1)平面的畫(huà)法:水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,銳角畫(huà)成450,且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)(2)平面通常用希臘字母、等表示,如平面、平面等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示,如平面AC、平面ABCD等。3 三個(gè)公理:(1)公理1:如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)AALBL = L AB公理1作用:判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)CBA(2)公理2:過(guò)不在一條直線(xiàn)上
2、的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為:A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn) = 有且只有一個(gè)平面,使A、B、C。公理2作用:確定一個(gè)平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。PL符號(hào)表示為:P =L,且PL公理3作用:判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系:共面直線(xiàn) 相交直線(xiàn):同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線(xiàn):同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線(xiàn): 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為:設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)=acabcb強(qiáng)調(diào):公理4
3、實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。3 等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn): a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定,與O的選擇無(wú)關(guān),為簡(jiǎn)便,點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上; 兩條異面直線(xiàn)所成的角(0, ); 當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直,記作ab; 兩條直線(xiàn)互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形; 計(jì)算中,通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系
4、:(1)直線(xiàn)在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線(xiàn)與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)直線(xiàn)在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出:直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外,可用a 來(lái)表示a a=A a2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線(xiàn)與平面平行的判定1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理:平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行。簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行。符號(hào)表示:a b = aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示:a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種:(1)用
5、定義;(2)判定定理;(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)記為:線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。符號(hào)表示:aa ab= b作用:利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。2、定理:如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線(xiàn)平行。符號(hào)表示:= a ab = b作用:可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線(xiàn)與平面垂直的判定1、定義如果直線(xiàn)L與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直,我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面互相垂直,記作L,直線(xiàn)L叫做平面的垂線(xiàn)
6、,平面叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖,直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 L p 2、判定定理:一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,則該直線(xiàn)與此平面垂直。注意點(diǎn): a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念:表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法:二面角-l-或-AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn),則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 2.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。2性質(zhì)定理: 兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。一、直線(xiàn)與平面平行1.判定方法(1)定義法:直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。(2)判定定理:(3)其他方法: 2.性質(zhì)定理: 二、平面與平面平行1.判定方法(1)定義法:兩平面無(wú)公共點(diǎn)。(2)判定定理: (3)其他方法: ; 2.性質(zhì)定理:三、直線(xiàn)與平面垂直(1)定義:如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都垂直,則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。(2)判定方法 用定義. 判定定理: 推論: (3)性
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