高中數(shù)學(xué)第1講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)章末分層突破學(xué)案新人教A版選修

1、第1講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)章末分層突破自我校對平行線等分線段定理平行線分線段成比例定理判定定理相似三角形的性質(zhì)直角三角形的射影定理證明等積線段或成比例線段利用相似三角形的性質(zhì)可以得到等積式或比例式，是解決這類問題的基本方法解決這類問題一般可分為三步：(1)把等積式化為比例式，從而確定相關(guān)的兩個三角形相似(2)確定兩個相關(guān)的三角形的方法是：把比例式橫看或者豎看，將兩條線段中的相同字母消去一個，由余下的字母組成三角形. (3)設(shè)法找到證明這兩個三角形相似的條件如圖11，在ABC中，BAC90，BC邊的垂直平分線EM和AB，CA的延長線分別交于 D，E，連接AM.圖11求證：AM2DMEM.

2、【規(guī)范解答】BAC90，M是BC的中點，AMCM，MACC.EMBC，EC90.又BAMMAC90，EBAM.EMAAMD，AMDEMA，AM2DMEM.再練一題1如圖12，在ABC中，DEBC，DHGC.求證：EGBH.圖12【證明】DEBC，.DHGC，AEABACADAHAG，.EGBH.利用相似三角形證明線段相等證明兩條線段相等，一般情況下，利用等角對等邊或全等三角形的性質(zhì)來解決但有些證明兩條線段相等的幾何題利用前面的方法得不出來，或過程比較繁瑣，此時可以借助于相似三角形的有關(guān)比例線段來解決如圖13，AD，CF是ABC的兩條高線，在AB上取一點P，使APAD，再從P點引BC的平行線與A

3、C交于點Q.圖13求證：PQCF.【規(guī)范解答】AD，CF是ABC的兩條高線，ADBBFC.又BB，ABDCBF，.又PQBC，APQB，AQPACB，APQABC.，即，.又APAD，PQCF.再練一題2如圖14，已知ABCD的對角線相交于O，延長AB到F，連接OF交BC于E，若ABa，BCb，BFc，求BE的長【導(dǎo)學(xué)號：】圖14【解】過O作OGAB，交BC于G點COGCAB，CGOCBA，COGCAB，.又O是ABCD的對角線的交點，COCA.OGABa，CGBCb，BGB.又OGAF，OGBGBF，GOFF.OGEFBE，即，BE.射影定理射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，

4、斜邊及兩直角邊之間的比例關(guān)系，此定理常作為計算與證明的依據(jù)，在運用射影定理時，要特別注意弄清射影與直角邊的對應(yīng)關(guān)系，分清比例中項，否則在做題中極易出錯如圖15所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，F(xiàn)D的延長線交AC的延長線于H.求證：DF2FGFH.圖15【規(guī)范解答】BEAC，ABEBAE90，同理，HHAF90，ABEH，又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH，在RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再練一題3如圖16，在ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F.圖16求證：CE2BDDF.【證明】ACB90，DE

5、AC，DEBC，.同理CDEF，.ACB90，CDAB，AC2ADAB，CE2BDDF.轉(zhuǎn)化思想在證明一些等積式時，往往將其轉(zhuǎn)化為比例式加以證明當(dāng)證明的比例式中的線段在同一條直線上時，常轉(zhuǎn)化為用相等的線段、相等的比、相等的等積式來代換相應(yīng)的量證明比例式成立也常利用中間比來轉(zhuǎn)化證明如圖17，在銳角ABC中，AD，CE分別是BC，AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別等于18和2，且DE2，求點B到直線AC的距離圖17【規(guī)范解答】ADBC，CEAB，ADBCEB90.又BB，ADBCEB.，.又BB，BEDBCA. .又DE2，AC6，點B到AC的距離3.再練一題4如圖18，四邊形ABCD是正方形

6、，E為AD上一點，且AEAD，N是AB的中點，F(xiàn)NCE于F.求證：FN2EFCF.圖18【證明】分別連接EN，CN.設(shè)正方形的邊長為a，則AEa，DEa，ANBNa.EN2AN2AE2a2，CN2BN2BC2a2，CE2DE2CD2a2，EN2CN2CE2，CNE為直角三角形NFCE.根據(jù)直角三角形射影定理得FN2EFCF.章末綜合測評(一)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1如圖1，已知DEBC，EFAB，現(xiàn)得到下列式子：圖1；.其中正確式子的個數(shù)有()A4個B3個C2個D1個【解析】由平行線

7、分線段成比例定理知，正確故選B.【答案】B2如圖2，DEBC，SADES四邊形DBCE18，則ADDB的值為()【導(dǎo)學(xué)號：】圖2A14 B13C12D15【解析】由SADES四邊形DBCE18，得SADESABC19，DEBC，ADEABC.2，ADDB12.【答案】C3如圖3所示，將ABC的高AD三等分，過每一分點作底面平行線，這樣把三角形分成三部分，則這三部分的面積為S1，S2，S3，則S1S2S3等于()圖3A123 B234C135D357【解析】如圖所示，E，F(xiàn)分別為ABC高AD的三等分點，過點E作BC的平行線交AB，AC于點M，N，過點F作BC的平行線交AB，AC于點G，H.AMN

8、ABC，S1SABC.又AGHABC，SAGHS1S2，S1S2SABC，S2SABC，S3SABC，S1S2S3135，故選C.【答案】C4如圖4，在ABC中，ABAC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD3CE，DE交BC于F，則DFFE等于() 圖4A52 B21C31D41【解析】過D作DGAC，交BC于G，則DGDB3CE，即CEDG13.易知DFGEFC，DFFEDGCE，所以DFFE31.【答案】C5如圖5所示，梯形ABCD的對角線交于點O，則下列四個結(jié)論：圖5AOBCOD；AODACB；SDOCSAODCDAB；SAODSBOC.其中正確的個數(shù)為()A1B2 C3D4【解析】D

9、CAB，AOBCOD，正確由知，.SDOCSAODOCOACDAB，正確SADCSBCD，SADCSCODSBCDSCOD，SAODSBOC，正確故正確【答案】C6如圖6所示，鐵道口的欄桿短臂長1 m，長臂長16 m，當(dāng)短臂端點下降0.5 m時，長臂端點升高()圖6A11.25 m B6.6 mC8 mD10.5 m【解析】本題是一個實際問題，可抽象為如下數(shù)學(xué)問題：如圖，等腰AOC等腰BOD，OA1 m，OB16 m，高CE0.5 m，求高DF.由相似三角形的性質(zhì)可得OAOBCEDF，即1160.5DF，解得DF 8 m.【答案】C7如圖7所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形40 cm

10、2，SABESDBA15，則AE的長為()圖7A4 cm B5 cmC6 cmD7 cm【解析】BAD90，AEBD，ABEDBA.SABESDBAAB2DB2.SABESDBA15，AB2DB215，ABDB1.設(shè)ABk，DBk，則AD2k.S矩形40 cm2，k2k40，k2，BDk10，AD4，SABDBDAE20，即10AE20，AE4 cm.【答案】A8如圖8，把ABC沿AB邊平移到ABC的位置，它們的重疊部分(即圖中的陰影部分)的面積是 ABC的面積的一半，若AB，則此三角形移動的距離AA是() 【導(dǎo)學(xué)號：】圖8A.1 B.C1D.【解析】由題意可知，陰影部分與ABC相似，且等于A

11、BC面積的，ABAB1.又AB，AB1，AA1.【答案】A9如圖9所示，在RtABC中，A30，C90，CDAB于D，則BDAD()圖9A.B.C.D.【解析】設(shè)CD，則AD3，BD1，.【答案】A10已知圓的直徑AB13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，則AD的長為()A8 B9C10D11【解析】如圖，連接AC，CB.AB是O的直徑，ACB90.設(shè)ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.【答案】B11.某社區(qū)計劃在一塊上、下底邊長分別是10米，20米的梯形空地上種植花木(如圖10所

12、示)，他們想在AMD和BMC地帶種植單價為10元/米2的太陽花，當(dāng)AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請你預(yù)算一下，若繼續(xù)在BMC地帶種植同樣的太陽花，還需資金()圖10A500元 B1 500元C1 800元D2 000元【解析】在梯形ABCD中，ADBC，AMDBMC，AD10 m，BC20 m，2，SAMD5001050(m2)，SBMC200 m2，則還需要資金200102 000(元)【答案】D12如圖11所示，將一個矩形紙片BADC沿AD和BC的中點連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比應(yīng)為()圖11A1 B1C.1D.1【解析】矩形AEFB矩形ABCD

13、，BFABABAD.BFAD，AB2AD2，ADAB1.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在題中橫線上)13如圖12，已知DEBC，且BFEF43，則ACAE_.圖12【解析】DEBC，同理，.【答案】4314如圖13，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于_米. 【導(dǎo)學(xué)號：】圖13【解析】如圖，GCBC，ABBC，GCAB.GCDABD，.設(shè)BCx，則，同理，得.，x3，AB6(米)【答案】615如圖14所示，在ABC中，AD是BC邊上

14、的中線，BE是AC邊上的中線，且AD，BE交于點G，那么_.圖14【解析】AD，BE是ABC的中線，且AD交BE于G，G是ABC的重心，又D為BC的中點，.【答案】16如圖15，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則DE_.圖15【解析】法一：因為AB，BC3，所以AC2，tan BAC，所以BAC.在RtBAE中，AEABcos ，則CE2.在ECD中，DE2CE2CD22CECDcos ECD2()22，故DE.法二：如圖，作EMAB交AB于點M，作ENAD交AD于點N.因為AB，BC3，所以tan BAC，則BAC，AEABcos ，NEAMAEcos，ANMEAEsin

15、 ，ND3.在RtDNE中，DE.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖16，點E是四邊形ABCD的對角線上一點，且BACBDCDAE.圖16(1)求證：BEADCDAE；(2)根據(jù)圖形的特點，猜想可能等于哪兩條線段的比(只寫出圖中一組比即可)？并證明你的猜想【解】(1)證明：BACDAE，BAEDAC.DAEBDC，AEBADC，ABEACD，即BEADCDAE.(2)猜想：.證明：由(1)ABEACD，又BACEAD，BACEAD，.18(本小題滿分12分)如圖17，已知正方形ABCD的邊長為4，P為AB上的一點，

16、且APPB13，PQPC，試求PQ的長圖17【解】PQPC，APQBPC90，APQBCP，RtAPQRtBCP.AB4，APPB13，PB3，AP1，即AQ，PQ .19(本小題滿分12分)在ABC中，B25，AD是BC邊上的高，并且AD2BDDC，求BCA的度數(shù)【解】(1)當(dāng)AD在ABC內(nèi)部時，如圖(1)，由AD2BDDC，可得ABDCAD.BCABAD65；(2)當(dāng)AD在ABC外部時，如圖(2)，由AD2BDDC，得ABDCAD，BCAD25，BCACADADC2590115.故BCA等于65或115.20(本小題滿分12分)如圖18所示，CD為RtABC斜邊AB邊上的中線，CECD，C

17、E，連接DE交BC于點F，AC4，BC3.求證：圖18(1)ABCEDC；(2)DFEF.【證明】(1)在RtABC中，AC4，BC3，則AB5.D為斜邊AB的中點，ADBDCDAB2.5，ABCEDC.(2)由(1)知，BCDF，BDCD，BDCF，CDFDCF.DFCF.由(1)知，ACEF，ACDDCF90，ECFDCF90，ACDECF.由ADCD，得AACD.ECFCEF，CFEF.由，知DFEF.21(本小題滿分12分)已知在等腰梯形ABCD中，ADBC，直線MN是梯形的對稱軸，P是MN上的一點，直線BP交直線DC于F，交CE于E，且CEAB.(1)若點P在梯形內(nèi)部，如圖19(1)

18、求證：BP2PEPF.(2)若點P在梯形的外部，如圖19(2)，那么(1)的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由(1)(2)圖19【解】(1)證明：連接PC，因為MN是梯形ABCD的對稱軸，所以PBPC，PBCPCB.因為梯形ABCD是等腰梯形，所以ABCDCB，即ABPPBCPCBDCP，所以ABPDCP.又因為CEAB，所以EABPDCP，而CPEFPC，所以CPEFPC.所以，即PC2PEPF，又因為PCBP，所以BP2PEPF.(2)結(jié)論成立證明如下：連接PC，由對稱性知PBPC，所以PBCPCB.因為梯形ABCD是等腰梯形，所以ABCDCB，所以ABCPBCDCBPCB，即ABPDCP.因為CEAB，所以ABPPEC180，而DCPPCF180，所以PECPCF.又因為EPCCPF，所以EPCCPF.所以，即PC2PEPF，所以BP2PEPF.22(本小題滿分12分)如圖20，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上的一點，(m，n0)取CF的中點D，連