線性代數(shù)課件.ppt

1、線性代數(shù),課程的性質(zhì),線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的基礎理論課之一。它既是學習數(shù)學的必修課，也是學習其他專業(yè)課的必修課。,內(nèi)容與任務,線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。 既有一定的理論推導、又有大量的繁雜運算。有利于培養(yǎng)學生邏輯思維能力、分析問題和動手解決問題的能力。,用途與特點,線性代數(shù)理論不僅為學習后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術中有著廣泛的應用，是理工科大學生的一門重要的數(shù)學基礎課。該課程的特點是：公式多，式子大，符號繁，但規(guī)律性強，課程內(nèi)容比較抽象，需要

2、學生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動手解決實際問題的能力。,第一章行列式,本章主要介紹n階行列式的定義， 性質(zhì)及其計算方法。此外還要介紹用 n階行列式求解n元線性方程組的克拉 默（Cramer）法則。,1 階行列式的定義,1、二元線性方程組,一、n階行列式的引出,用消元法求解，得：,當 時， 求得方程組有唯一解：,引入二階行列式,方程組的解可以寫成：,二階行列式的計算,例如,例 解二元線性方程組,求解方程,2. 三元線性方程組,用消元法可求得，當,時，,三元線性方程組有唯一解：,其中：,三階行列式的定義,例如 三階行列式的計算,-357-249-168,例 解 三元線性方

3、程組,3. n元線性方程組,構造：,提出三個問題,（1）D=？（怎么算）？,（2）當D0時，方程組是否有唯一解？,（3）若D0 時，方程組有唯一解，解的 形式是否是,二、全排列及其逆序數(shù),1、全排列 用1，2，3三個數(shù)字可以排6個不重復三位數(shù)即： 123，231，312，132，213，321,一般地，把n個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？ 這是一個全排列問題。從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法； 在從剩下的n-1個元素中任取一個元素，放在的第二個位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個元素放在最后位置上，只有一種取法； 于是：,2. 逆序數(shù),對于n個不同的元素，

4、可規(guī)定各元素之間有一個標準次序（例如，n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序）。于是，在這n個元素的任意排列中，當某兩個元素的前后次序與標準次序不同時，就說產(chǎn)生了一個逆序，一個排列中所有逆序的和叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。,3. 逆序數(shù)的計算方法,例如，設排列3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t=1+3+0+1+0=5 當我們把上面排列改為 3 1 5 2 4，相當于把3 2 5 1 4 這個排列的第2、4兩個數(shù)碼對換（將一個排列中任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換）。通過計算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)

5、為 t=1+2+0+1+0=4 可見排列 3 2 5 1 4 為奇排列，而 3 1 5 2 4 為偶排列，可見一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。,定義1 設有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表,三、n階行列式的定義,作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的 乘積，并冠以符號(-1)t，得到形如 的項，其中 為自然數(shù)1，2，n， 的一個排列，t 為這個排列的逆序數(shù)。,這樣的排列共有n!個，所有這些項的代數(shù) 和稱為n階行列式。記為:,也可記為:,行列式的其他定義,另一種定義形式為:,同理，也可以定義為:,四、幾種特殊的行列式,（1） 對角行列式,（2） 下（上）三角行列式,（3）,其中 ，,第二講

6、,2.行列式的性質(zhì) 有了n階行列式的定義，我們就可以計算n階行列式，在計算幾種特殊行列式的過程中，發(fā)現(xiàn)直接用定義計算是非常麻煩。 當行列式的階數(shù)較高時，計算是十分困難的，為了簡化n階行列式的計算，我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì)。,一. 轉(zhuǎn)置行列式,把行列式的行換成同序數(shù)的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。即,稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式,二行列式的性質(zhì),性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. 證 設,由此性質(zhì)可知，行列式的行與列具有相同的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然。,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。,證設行列式,于是,推論 如果行列式有兩行（列）完全相

7、同,則此行列式等于零. 證 把這兩行互換，有 D=D，故 D=0.,證 設 D=,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的 元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。,故,推論 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面. 例如,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零. 例如,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素 都是兩數(shù)之和，則D 等于下列兩個行列式之 和：即,例如 計算,例如,性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一個數(shù)然后加另一列（行） 對應的元素上去，行列式不變.,三、用行列式的性質(zhì)計算行列式,例1 計算,例2.計算,解：,例3 計算,解： 從倒數(shù)

8、的二行開始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。,同理，可得：,例4 計算,解：把所有列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行。,3 行列式按行（列）展開,余子式和代數(shù)余子式 在n階行列式中，把元素 所在第i行和第j列劃去后，留下來的n1階行列式叫做元素 的余子式.記作 .即 的余子式記作 . 的代數(shù)余子式,第三講,中元素 的余子式和代數(shù)余子式分別為,二.行列式按行（列）展開定理,引理 設D為n階行列式，如果D的第i行所有 元素除 外，其余元素均為零，那么行列式D等 于 與其代數(shù)余子式的乘積，即,證：設,定理1 行列式等于它的任一 行（列）的各元素與其對 應

9、的代數(shù)余子式乘積之和,即,證：,類似地.若按列證明，可得,例1.計算,例2 計算,解: 按第一行展開,以此作遞推公式，即可得,例3 證明范蒙得（Vandermonde）行列式,其中記號“”表示全體同類因子的乘積.,所以當n=2時（1）成立. 現(xiàn)在假設（1）對于n1階Vandermonde行列式，即,證: 用數(shù)學歸納法.因為,我們來證明對n階Vandermonde行列式也成立.,例4.計算,三、行列式展開定理的推論,推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即,或,證: 設,把D按第j行展開,有,在上式兩端用 代替,得,同理可證,顯然,等式左端行列式有兩行

10、相同,故行列式等于零,即.,綜合定理1和推論有,其中,例5已知行列式 求 , 其中 是D 的第4行元素的代數(shù)余子式. 解：,第一章 第四節(jié),4.克拉默法則 一.非齊次線性方程組的克拉默法則,(1),設非齊次線性方程組,(3),則線性方程組(1)有唯一解,若(1)的系數(shù)行列式,(2),即證明：,等式成立,證明： 先證 是（1）的解，,要證 是（1）的解，只須證 明（3）滿足（1）即可，為此把（1）改寫成：,做n+1階行列式,顯然 . 把 按第一行展開.需要求出第一行 每個元素的代數(shù)余子式.第一行元素 的代數(shù)余子式為:,所以,即,再證唯一性.假設 也是(1)的解.在(2)兩端同時乘以,由于 , 所

11、以,故線性方程組(1)有唯一解(3).,例1.解方程組,解:,定理2.如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式D不等于0, 則(1)有唯一的解.,定理 .如果線性方程組(1)無解或有多個解，則它的 系數(shù)行列式必為0.,于是得原方程組的解為,二.齊次線性方程組的克拉默法則,設齊次線性方程組,(4),若(4)的系數(shù)行列式,(5),則(4)沒有非零解.,. 定理 .如果齊次線性方程組(4) 有非零解,則它的系數(shù)行列式必為0。,定理3.如果齊次線性方程組(4) 的系數(shù)行列式D不等于0,則齊次線性 方程組(4)沒有非零解.,例2. 問 在什么條件下,方程組,有非零解？,解：由定理 知，若方程組 有非零解，則其系

12、數(shù)行列式必為零。,所以，當 或 時，上面方程組有非零解。,例3 設非齊次線性方程組,問 為何值時，該方程組有唯一解，并求其解。,解：方程組的系數(shù)行列式為,（ +2）,顯然當 2， 1時，方程組有唯一解。,D=,行列式主要知識點網(wǎng)絡圖,概念,排列,行列式,逆序，奇排列，偶排列,一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和., 互換行列式的兩行(列)，行列式變號。 某行有公因子可以提到行列式的外面。 若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個行列式. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。,行列式知識點,性質(zhì),展開,計算,行展開,列展開,定義法 遞推法 加邊法 數(shù)學歸納

13、法 公式法 拆項法 乘積法 析因子法,齊次線性方程組有非零解的充要條件,克拉默法則,應用,第二章 矩陣及其運算,1 矩陣,一、矩陣概念,定義1.,為表示它是一個整體 , 在這數(shù) 表的兩邊用大圓括 弧把它范圍起來， 并用大寫黑體字母表示:,例1.某廠向三個商店發(fā)送四種 產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價及單件 的重量都可用矩陣來刻劃.,若用 表示為工廠向第 i 店發(fā) 送第 j 種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣,表示了工廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量.,表示了這四種產(chǎn)品的單價及單件重量.,4,2,1,3,例2. 四個城市間的單向 航線如下圖所示.,若令 從i市到j市有一條單向航線 從 i 市到 j 市沒有單向航線 則圖中

14、的航線用矩陣表示為,例3.,二、矩陣的表示方法,三.幾種特殊的矩陣,1.方陣,2.上三角矩陣,3.下三角矩陣,4.對角矩陣,5.單位矩陣,6.行矩陣,7.列矩陣,8.零矩陣,9.負矩陣,10.同型矩陣,兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱為同型矩陣.,11.對稱矩陣,12.反對稱矩陣,2.矩陣的運算,一、矩陣的加法,1、定義,定義2 設有兩個mn矩陣 A B 那末矩陣 A 與 B 的和記作 A + B , 規(guī)定為,A + B =,矩陣的 減法：A B = A + (B ),2、運算律,矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律設 A、B、C 都是 mn 矩陣:,1） A + B = B + A,2）（A +

15、B）+ C = A +（ B + C ）,3） A +（A）= A A = 0,二、數(shù)與矩陣相乘,1、定義,定義3 數(shù) 與矩陣的乘積,記作 A 或A,規(guī)定為,A = A =,2、運算律,數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律 設 A、B 為 mn 矩陣，、為數(shù)：,2） （ ) A = A + A；,1） （）A = ( A ),3） ( A + B ) = A + B,這樣定義矩陣加法和數(shù)乘矩陣的運算，統(tǒng)稱為 矩陣的線性運算.,三、矩陣與矩陣相乘,1、定義,定義4 設 A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩陣， 那末規(guī)定矩陣 A與矩 B 的乘積是一個mn矩陣 C = ( c ij )mn

16、。其中,即 A B = C.,注意：,例1.求矩陣,A =,B =,與,的乘積AB,C AB,解：,例2. 設矩陣,A =,B =,求AB與BA。,AB =,解：,BA=,2. 運算律,1) 矩陣的乘法一般不 滿足交換律,2) （AB）C = A（BC）,3) (AB) = (A) B = A( B), ( 其中為數(shù) );,4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA,3. 設E為單位矩陣,EA = AE = A,或簡寫成,4、方陣的冪運算,設 A為 n 階方陣. k , l 為正整數(shù),如,AB,其中 是向第 i 店所發(fā)產(chǎn)品的總值 , 是向第 i

17、 店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。C 表示為向三個商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構成的矩陣。,則 A2 表示從 i 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 j 市的單向航線的條數(shù)構成的矩陣。,又如,1,2,4,3,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,1、定義,定義5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣, 叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 AT。,例如,2.運算律,這里僅證明4）,設 A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。,AB = C = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。,顯然，要證明（ AB )T = BTAT, 只須證明 cji = dij 即可。,因為,例3.已知,求 ( AB )T。,

18、解法1：因為,AB =,解法2：,有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義 后，顯然有,A為對稱矩陣， A為反對稱矩陣，,例4 試證任意n階方陣都可分解為 一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。,證 由于,A = (A + A + ATAT ),= (A + AT + AAT ),故A等于對稱矩陣 與反對稱矩陣 之和。,例5：設列矩陣,X =,滿足XTX = 1，E為 n 階的單位矩陣，H = E 2XXT, 證明 H 是對稱矩陣，且 HHT = E 。,證明:,所以H是對稱矩陣.,五、方陣的 行列式,1、定義,定義6 由n階方陣A的元素所構成的行列式 （各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式， 記作 |A| 或 de

19、tA 。,2、運算律,我們僅證明3），設A = (aij), B = (bij)。 記 2n 階行列式,D =,顯然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有,D=,其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj , 故 C = AB。,再對 D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有,從而有,D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1 )n| C | = | C | =

20、| AB |。,于是 | AB | = | A | | B |,例6：設A , B 均為 n 階方陣,且,證,例7 設 A 是 n 階反對稱矩陣， B 是 n 階對稱矩陣，則 AB + BA 是 n 階反對稱矩陣。,證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T,= BTAT + ATBT,= BAAB,= （ AB + BA ）,所以， AB + BA 為 n 階反對稱矩陣。,例 8 設,令 A = T, 求 An 及| An|。,解,An = ( T )n = TTT T,= 3n-1A,| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |,= 0,六、共軛矩陣

21、,1、定義,定義7 設A= 為復矩陣， 表示 的共軛復數(shù)，記,則 稱為A的共軛矩陣。,2.運算律,設 A 、B 為復矩陣， 為復數(shù).,七、 可換矩陣及方陣多項式,1、可換矩陣,設 A、B 均為n階方陣，若 AB = BA ，則稱是可換的。,例 9 設,若矩陣 A與 B 可交換，求 a ,b 的值 。,解 由于 AB = BA ，即,故 a = 8 , b = 6 。,例10 設,求與 A 可交換的所有矩陣。,解 設,于是,從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,即 x2 = x3 = y1 =

22、y3 = z1 = z2= 0 ,所以，與可交換的任一矩陣是,其中 a ，b，c 為任意實數(shù)。,2、方陣多項式,設有 n 階矩陣 A 和多項式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0 規(guī)定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0 稱 f ( A ) 為方陣 A 的矩陣多項式。,例11 設有多項式 f () = 2 3 + 2和矩陣,求矩陣多項式 f (A) 。,解 因為,則,f (A) = A2 3A + 2E,練習：,1.計算下列矩陣的乘積.,2.,第七講,3.逆矩陣,一.逆矩陣,定義8. 設 A 為 n 階方陣，如果有一

23、個 n 階方陣 B，使 AB = BA = E, 則稱矩陣 A 是可逆的，并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣.A的 逆記之為A-1.,二. 逆矩陣是唯一的.,證明：設 B 和 C 都是 A 的逆矩陣，則 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C,所以A的逆矩陣是唯一的.,三. 逆矩陣的有關定理,定理1. 方陣 A 可逆的充分必要條件是 |A| 0 ,且,其中,稱為 A 的伴隨矩陣. A*中元素是A 的所有元素的代數(shù)余子式.,證明：,必要性: 因為A可逆， 則有 ,使,充分性: 由于,同理,所以,因為,所以,由定義，知,推論：若 AB = E (或 BA = E），

24、,證明：,故,因而,存在，于是,運算律,1）若A可逆，則 亦可逆，且,2）若A可逆，數(shù) ，則A可逆，且,3）若 A,B 為同階的可逆矩陣，則 AB 也可逆，且,證明：,由推論，即有,( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1,4) 若A可逆，則 也可逆，,證明：,所以,注1：當 |A| 0 時，k為正 整數(shù)，為整數(shù)，有,A為可逆矩陣，也稱為非奇異矩陣，,A為不可逆矩陣，也稱為奇異矩陣.,4 ) ( A ) = A,四. 逆矩陣的應用,例1. 解矩陣方程,解：設,則上式變成:,AXB = C,例2. 設,求（ E + B ）1,解: 由,即 ( E + A )( E + B

25、 ) = 2E,例3. 設 A，B 均為 n 階方矩 陣， 若 EAB 可逆，則 EBA 也可 逆，并求:,證明：AABA = AABA ( EAB ) A= A( EBA ) 所以,又因為,E = E BA + BA,所以 EBA 可逆,且,= E B ( E AB )-1A ( E BA ),五、幾個常用的公式,1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1| = |A|-1 |A| = n|A| 5) (A)-1 = -1A-1,例4 若 |A| 0, 試證（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (A-1)* (3) (A*)T =

26、(AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。,證 （1） |A*| =,(2) (A*)-1=,(3) (A*)T =,|A|A-1| =,|A|n|A-1| =,|A|n-1;,(|A|A-1)-1 =,|A-1|(A-1)-1 =,(A-1)*;,( |A|A-1)T =,|AT|(A-1)T =,|AT|(AT)-1 =,(AT )*,(A*)* =,|A*|(A*)-1,= |A|n-1(|A|A-1)-1,= |A|n-2A,(5) (kA)* = |kA|(kA)-1,= kn|A|k-1A-1,= kn-1|A|A-1,= kn-1A*

27、,例5 設矩陣 A、B 滿足,A*BA = 2BA 8E, 其中,求B。,解 由于|A|0，所以A可逆，在,A*BA = 2BA 8E,的兩邊分別左乘A，右乘A-1得,|A|B = 2AB 8E,即 2AB + 2B 8E,從而有,AB + B 4E,故,B = 4 ( A + E )-1,作業(yè):,1.解矩陣方程,2.設方陣A滿足,證明 A 及 A + 2E 都可逆,并求 A-1 及 ( A +2E )-1,3.設,AB = A + 2B ,求 B.,4.分塊矩陣,第 八 講,一、分塊矩陣的定義,把一個階數(shù)較高的矩陣,用若干條橫線和豎線分成 若干小塊 , 每一小塊都叫做矩陣的子塊 ,以子塊為元素 的矩陣稱為分塊矩陣.,例如：將34矩陣,分塊形式如下：,二、分塊矩陣的運算 1、分塊矩陣的加法： 同型矩陣,分法相同,對應 子塊相加. 設 A 和 B 均為 mn矩陣,分法下:,其運算律與矩陣的加法相同.,2.分塊矩陣的數(shù)乘,設分塊矩陣,為數(shù)，那末,其運算律與數(shù)乘矩陣相同.,3.分塊矩陣的乘法.,設A為 ml 矩陣，B為 ln矩陣，分塊成,其中,例1.設,求AB.,解：把A,B分塊成,所以,AB,其中,于是,4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置,設分塊矩陣,則,5.分塊對角矩陣（準對角矩陣）.,設,其中,顯然,若,則, 所以,例2. 設,解：,所以