第八章理想流體有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)

1、過程裝備與控制工程教研室,1,第 八 章 理想流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng),過程裝備與控制工程教研室,2,在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。 要研究此類問題，就要用多維流動(dòng)的分析方法。 本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。,過程裝備與控制工程教研室,3,本章內(nèi)容 微分形式的連續(xù)方程 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解 理想流體運(yùn)動(dòng)方程 定解條件 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分 渦線 渦管 渦束 渦通量 速度環(huán)量 斯托克斯定理 湯姆孫定理 亥姆霍茲定理,平面渦流 速度

2、勢(shì) 流函數(shù) 流網(wǎng) 幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流 簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加 均勻等速流繞過圓柱體的平面流動(dòng) 均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng),過程裝備與控制工程教研室,4,第一節(jié) 微分形式的連續(xù)方程,過程裝備與控制工程教研室,5,當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。 對(duì)于一定的控制體，必須滿足 它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。,過程裝備與控制工程教研室,6,直角坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程 在流場(chǎng)中取出微元六面體ABCDEFG 微元六面體中心點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為vx、vy、vz 密度為 和x軸垂直的兩個(gè)平面上的

3、速度和密度,過程裝備與控制工程教研室,7,在x方向上，dt時(shí)間內(nèi)通過左面流入的流體質(zhì)量為： dt時(shí)間通過右面流出的流體質(zhì)量為： 則dt時(shí)間內(nèi)沿x軸通過微元體表面的質(zhì)量?jī)敉繛?過程裝備與控制工程教研室,8,在dt時(shí)間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的凈通量分別為： 在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 開始瞬時(shí)流體的密度為，經(jīng)過dt時(shí)間后的密度為 在dt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為,過程裝備與控制工程教研室,9,連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。 它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。,可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性

4、方程,過程裝備與控制工程教研室,10,定常 不可壓縮定常 物理意義：在同一時(shí)間內(nèi)通過流場(chǎng)中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。,過程裝備與控制工程教研室,11,柱坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程 定常 不可壓縮定常,過程裝備與控制工程教研室,12,球坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程 定常 不可壓縮定常,過程裝備與控制工程教研室,13,【例】已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度v在x，y兩個(gè)軸方向的分量為vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0處，有vz=0。試求z軸方向的速度分量vz。,過程裝備與控制工程教研室,14,第二節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解,過程裝備與控

5、制工程教研室,15,流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。 流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。 一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。,過程裝備與控制工程教研室,16,在流場(chǎng)中任取一微元平行六面體 邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz。 t瞬時(shí)A點(diǎn)的速度為 頂點(diǎn)M速度為,過程裝備與控制工程教研室,17,過程裝備與控制工程教研室,18,線速度,線變形速率,剪切變形速率,旋轉(zhuǎn)角速度,過程裝備與控制工程教研室,19,在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分： 以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)線速度 繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度 微

6、團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)線變形速率、剪切變形速率,過程裝備與控制工程教研室,20,oxy坐標(biāo)面內(nèi)，t時(shí)刻矩形ABCD的運(yùn)動(dòng),過程裝備與控制工程教研室,21,平移運(yùn)動(dòng) 矩形ABCD各角點(diǎn)具有相同的速度分量vx、vy。導(dǎo)致矩形ABCD平移vxt, 上移vyt, ABCD的形狀不變。,過程裝備與控制工程教研室,22,線變形運(yùn)動(dòng) x方向的速度差 y方向的速度差 AB、DC在t時(shí)間內(nèi)伸長(zhǎng) AD、BC在t時(shí)間內(nèi)縮短,過程裝備與控制工程教研室,23,定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)或縮短量為流體微團(tuán)的線變形速率。 沿x軸方向的線變形速率為 沿y軸、z軸方向的線變形速率為,過程裝備與控制工程教研室,24,對(duì)于不

7、可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。 三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)間的相對(duì)變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。 不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。,過程裝備與控制工程教研室,25,角變形運(yùn)動(dòng),過程裝備與控制工程教研室,26,角變形速度：兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量 剪切變形速率 該夾角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化 角變形速度的平均值,過程裝備與控制工程教研室,27,旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)只發(fā)生角變形 流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形 流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),過程裝備與控制工

8、程教研室,28,旋轉(zhuǎn)角速度：?jiǎn)挝粫r(shí)間角平分線的旋轉(zhuǎn)量 角平分線的旋轉(zhuǎn)量 旋轉(zhuǎn)角速度 單位時(shí)間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的平均值,過程裝備與控制工程教研室,29,過程裝備與控制工程教研室,30,過程裝備與控制工程教研室,31,亥姆霍茲速度分解定理 在一般情況下微小流體質(zhì)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為三部分： （1）隨質(zhì)團(tuán)中某點(diǎn)（基點(diǎn)）一起前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)； （2）繞該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)； （3）含有線變形和角變形的變形運(yùn)動(dòng)。 微小流體質(zhì)團(tuán)的維長(zhǎng)趨于零的極限是流體微團(tuán) 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解定理,過程裝備與控制工程教研室,32,亥姆霍茲速度分解定理對(duì)于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響： 由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我

9、們有可能把運(yùn)動(dòng)分成無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)； 正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可能將流體變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)系起來，這對(duì)于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究有重大的影響。,過程裝備與控制工程教研室,33,根據(jù)流體微團(tuán)是否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動(dòng)分為兩大類 有旋流動(dòng) 流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零（數(shù)學(xué)條件） 無旋流動(dòng) 如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無旋流動(dòng)。 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零（數(shù)學(xué)條件）,過程裝備與控制工程教研室,34,無旋流動(dòng) 需要指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由

10、流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。,過程裝備與控制工程教研室,35,【例】給定直角坐標(biāo)系中速度場(chǎng)vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各變形速度，并判斷流場(chǎng)是否為不可壓縮流場(chǎng)。,過程裝備與控制工程教研室,36,【例】給定兩個(gè)流場(chǎng)： （1）vx=-y，vy=x；vz=0； （2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求這兩個(gè)流場(chǎng)的跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。,過程裝備與控制工程教研室,37,第三節(jié) 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程 定解條件,過程裝備與控制工程教研室,38,一、理想流體運(yùn)動(dòng)方程 在流場(chǎng)中取一平行六面體 邊長(zhǎng)分別為x，y，z 中心點(diǎn)

11、為(x,y,z) 中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z) 密度為=(x,y,z) 因研究的對(duì)象為理想流體，作用于六個(gè)面上的表面力只有壓力 作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為fx，fy，fz 以該六面體為控制體，應(yīng)用動(dòng)量方程,過程裝備與控制工程教研室,39,沿x方向從左面單位時(shí)間流入控制體的動(dòng)量為 從右面流出的動(dòng)量為 沿x方向單位時(shí)間流出與流入控制體的動(dòng)量差 y方向、 z方向 經(jīng)過控制面單位時(shí)間流體動(dòng)量的凈通量為,過程裝備與控制工程教研室,40,控制體內(nèi)單位時(shí)間流體動(dòng)量的變化 作用在控制體內(nèi)流體上的質(zhì)量力 沿x方向壓強(qiáng)的合力 y方向、 z方向 作用在控制面上壓強(qiáng)的合力為,過程裝備與控

12、制工程教研室,41,過程裝備與控制工程教研室,42,理想流體微分形式的運(yùn)動(dòng)方程，又稱流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程。 表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡：在流場(chǎng)的某點(diǎn)，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。 該式推導(dǎo)過程中對(duì)流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 vx=vy=vz=0，方程變?yōu)榱黧w平衡的歐拉方程。,過程裝備與控制工程教研室,43,柱坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式 球坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式,過程裝備與控制工程教研室,44,蘭姆方程（可直接從微分方程中判定流動(dòng)是否有旋）,蘭姆方程,過

13、程裝備與控制工程教研室,45,質(zhì)量力有勢(shì) 正壓流場(chǎng),壓強(qiáng)函數(shù),過程裝備與控制工程教研室,46,理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下的運(yùn)動(dòng)微分關(guān)系,過程裝備與控制工程教研室,47,二、定解條件 對(duì)于不可壓縮理想流體，未知量有vx、vy、vz、p四個(gè)，除三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程外，還有連續(xù)方程，聯(lián)立可以求解； 對(duì)于正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)變化，多了未知量，需補(bǔ)充物態(tài)方程，方可求解； 對(duì)于非正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，又多了未知量T，還需補(bǔ)充能量方程，才能求解； 滿足基本方程的解有無窮多，要得到給定流動(dòng)的確定解，必須給出它的定解條件，包括起始條件和邊界條件。,過程裝備與控制工程教研室,48,1.

14、起始條件 方程組的解在起始瞬時(shí)（t=0）應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時(shí)流動(dòng)參數(shù)在流場(chǎng)中的分布規(guī)律，即 起始條件是研究非定常流動(dòng)必不可少的定解條件，但在研究定常流動(dòng)時(shí)，可以不必給出。,過程裝備與控制工程教研室,49,2. 邊界條件 方程組的解在流場(chǎng)邊界上應(yīng)滿足的條件。 邊界條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運(yùn)動(dòng)學(xué)的、動(dòng)力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。,過程裝備與控制工程教研室,50,固體壁面 理想流體沿固體壁面流動(dòng)時(shí)，既不能穿過它，也不能脫離它形成空隙，壁面上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度vln應(yīng)等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)上壁面的法向速度vbn，即vln=vbn。 如果壁面靜止不動(dòng)，則vln=0。 流體與固壁的相互作用力也必沿壁

15、面的法線方向。,過程裝備與控制工程教研室,51,流體交界面 若在交界面上兩種流體互不滲透，它們?cè)谕稽c(diǎn)上的法向速度應(yīng)相等，通常兩側(cè)的溫度也是連續(xù)的，即v1n=v2n，T1=T2 若交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)滿足p1-p2=(1/R1+1/R2) 若交界面是平面，R1=R2，則p1=p2 若交界面是自由表面，則p=pamb 若自由表面上是大氣，則p=pa,過程裝備與控制工程教研室,52,無窮遠(yuǎn)處 一般給定該處流體的流速v、壓強(qiáng)p 和密度 。 流道進(jìn)出口處 此處的條件需視具體情況而定，一般給出該處截面上的速度分布。,過程裝備與控制工程教研室,53,第四節(jié) 理想流體運(yùn)動(dòng)方程的積分,過程裝備與控制

16、工程教研室,54,一、歐拉積分 正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng) 在流場(chǎng)中任取一有向微元線段,過程裝備與控制工程教研室,55,正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2、質(zhì)量力位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能PF之和在流場(chǎng)中保持不變。,過程裝備與控制工程教研室,56,二、伯努利積分 正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。 流線與跡線重合 在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為,過程裝備與控制工程教研室,57,正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2、質(zhì)量力位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能PF之和沿同一流線

17、保持不變。 一般情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。,過程裝備與控制工程教研室,58,不可壓縮重力流體，若取坐標(biāo)軸z方向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C 如果流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能之和在流場(chǎng)中保持不變； 如果流動(dòng)有旋，這三項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。,過程裝備與控制工程教研室,59,對(duì)于完全氣體的絕熱流動(dòng)，質(zhì)量力的作用可忽略不計(jì)： 非粘性完全氣體一維定常絕熱流動(dòng)的能量方程。如果流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量氣體的動(dòng)能、壓強(qiáng)勢(shì)能之和在流場(chǎng)中保持不變；如果流動(dòng)有旋，這二項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。,過程裝備與控制工程教研室,60,【例】如圖所示為水平放置、間隙為、半徑

18、為r2的二圓盤，水由上圓盤中央半徑為r1的小管以速度v1定常地流入，若不計(jì)水流入的動(dòng)量，試求圓盤間水的壓強(qiáng)沿徑向的分布規(guī)律。,過程裝備與控制工程教研室,61,第五節(jié) 渦線 渦管 渦束 渦通量,過程裝備與控制工程教研室,62,自然界中流體的流動(dòng)絕大多數(shù)是有旋的 大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)； 行進(jìn)中的船舶后的尾渦區(qū)； 充滿微小渦旋的紊流流動(dòng)； 物體表面充滿微小渦旋的邊界層流動(dòng)； 葉輪機(jī)械內(nèi)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)。,過程裝備與控制工程教研室,63,流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表示 更普遍地用渦量來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 渦量的定義 充滿渦量的流場(chǎng)稱為渦量場(chǎng),過程裝備與控制工程教研室,64,一、渦線 渦

19、管 渦束 渦線 在給定瞬時(shí)處處與渦量矢量相切的曲線。 沿該線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。 渦線方程 非定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的，積分渦線微分方程時(shí)，t作為參變量； 定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置保持不變，渦線微分方程中沒有時(shí)間變量t。,過程裝備與控制工程教研室,65,渦管 渦束 給定瞬時(shí)在渦量場(chǎng)中取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成的管狀表面稱為渦管； 截面無限小的渦管稱為微元渦管； 渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束； 微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。,過程裝備與控制工程教研室,66,二、渦通量 旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積

20、dA的乘積的兩倍稱為微元渦管的渦通量（也稱渦管強(qiáng)度）dJ 有限截面渦管的渦通量可表示為沿渦管橫截面的積分 n是微元渦管的旋轉(zhuǎn)角速度沿渦管橫截面法線方向的分量,過程裝備與控制工程教研室,67,第六節(jié) 速度環(huán)量 斯托克斯定理,過程裝備與控制工程教研室,68,一、速度環(huán)量 在流場(chǎng)的某封閉周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的標(biāo)積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào)表示 速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負(fù)不僅與速度的方向有關(guān)，還與線積分的繞行方向有關(guān)； 規(guī)定：繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即封閉周線所包圍的面積總在繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封閉周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)。,過程裝備與控

21、制工程教研室,69,二、斯托克斯定理 在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所張曲面的渦通量,過程裝備與控制工程教研室,70,微元封閉周線,過程裝備與控制工程教研室,71,任意有限封閉周線K,用互相正交的兩組直線將平面和曲面劃分成無數(shù)個(gè)微元封閉周線 微元面積視為平面 微元封閉周線 所有微元 周線K內(nèi)各微元線段速度的線積分都要計(jì)算兩次，繞行方向相反,過程裝備與控制工程教研室,72,斯托克斯定理的應(yīng)用區(qū)域限制條件 區(qū)域內(nèi)任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界單連通域 多連通域,過程裝備與控制工程教研室,73,多連通域斯托克斯定理,過程裝備與控制工程教研室,74,【例】已知二

22、維流場(chǎng)的速度分布為vx=-6y，vy=8x，試求繞圓x2+y2=R2的速度環(huán)量。,過程裝備與控制工程教研室,75,【例】在二元渦量場(chǎng)中，已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑r=0.2m的圓區(qū)域內(nèi)流體的渦通量J=0.8m2/s。若流體微團(tuán)在半徑r處的速度分量v為常數(shù)，它的值是多少？,過程裝備與控制工程教研室,76,【例】已知理想流體的速度分布為 ，試求渦線方程以及沿封閉周線 的速度環(huán)量，其中a、b為常數(shù)。,過程裝備與控制工程教研室,77,第七節(jié) 湯姆孫定理 亥姆霍茲定理,過程裝備與控制工程教研室,78,一、湯姆孫定理 正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化；

23、在流動(dòng)過程中，上述流體質(zhì)點(diǎn)線可以移動(dòng)、變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。所以速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率,過程裝備與控制工程教研室,79,過程裝備與控制工程教研室,80,湯姆孫定理和斯托克斯定理說明：正壓的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。 理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)； 既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)停止旋轉(zhuǎn)； 流場(chǎng)中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將保持有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有渦旋和速度環(huán)量； 流場(chǎng)中也會(huì)出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時(shí)渦旋是成對(duì)出現(xiàn)的，每對(duì)渦旋的強(qiáng)度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反。,過程

24、裝備與控制工程教研室,81,二、亥姆霍茲定理 亥姆霍茲第一定理：在同一瞬時(shí)渦管各截面上的渦通量相同。 沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等,過程裝備與控制工程教研室,82,沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等,斯托克斯定理：速度環(huán)量等于穿過封閉周線所包圍截面的渦通量 渦管各截面上渦通量相等 渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是自成封閉的管圈，或在邊界上開始、終止。,過程裝備與控制工程教研室,83,亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理） 在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。,渦管表面上任意由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K 開始時(shí)沒有渦線穿過周線K所包圍的面積 沿

25、周線K的速度環(huán)量等于零 速度環(huán)量不能自生自滅，沿周線K的速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零 渦管表面上任何封閉周線所包圍的面積中永遠(yuǎn)沒有渦線通過 在某一時(shí)刻構(gòu)成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)在渦管上 渦管永遠(yuǎn)為渦管，但渦管的現(xiàn)狀隨時(shí)間可能有變化,過程裝備與控制工程教研室,84,亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理） 在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。,圍繞渦管表面A取一封閉的流體質(zhì)點(diǎn)周線K 渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成 沿渦管表面周線K的速度環(huán)量保持不變 通過渦管的渦通量也保持不變 渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化,過程裝備與控制工程教研室,85,第八節(jié) 平 面 渦 流,過程裝備與控制工程教研室,86,設(shè)在重力

26、作用下的不可壓縮理想流體中，有一無限長(zhǎng)的渦通量為J的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)； 渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對(duì)應(yīng)的等速圓周運(yùn)動(dòng)； 由于直線渦束無限長(zhǎng)，與渦束軸垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣，可只研究其中一個(gè)平面的流動(dòng)。,過程裝備與控制工程教研室,87,渦束內(nèi)的流動(dòng)區(qū)域，稱為渦核區(qū)。 有旋流動(dòng)，其半徑為rb。 渦束外的流動(dòng)區(qū)域稱為環(huán)流區(qū) 。 由于速度環(huán)量和旋渦都不能自行產(chǎn)生，故為無旋流動(dòng)。,過程裝備與控制工程教研室,88,環(huán)流區(qū) 沿任何圓周線的速度環(huán)量 環(huán)流區(qū)速度分布 環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，流速升高。,過程裝備與控制工程教研室,89,環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)分布 環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑

27、的減小，壓強(qiáng)降低。 在與渦核交界處，流速達(dá)到該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值。,過程裝備與控制工程教研室,90,渦核區(qū) 渦核區(qū)的速度分布,過程裝備與控制工程教研室,91,渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布 渦核區(qū)為有旋流動(dòng)，伯努利方程的積分常數(shù)隨流線而變，其壓強(qiáng)分布由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程推出：,過程裝備與控制工程教研室,92,過程裝備與控制工程教研室,93,渦核中心的流速為零，壓強(qiáng)最低 渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)降 渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)降相等，都等于以它們交界處的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭； 由于渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的低，而渦核區(qū)又很小，徑向壓強(qiáng)梯度很大，故有向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，這種作用越大，如龍卷風(fēng)，具有極

28、強(qiáng)的渦旋，有很大的破壞力； 在工程實(shí)際中，也有許多與渦流有關(guān)的裝置。,過程裝備與控制工程教研室,94,第九節(jié) 速度勢(shì) 流函數(shù) 流網(wǎng),過程裝備與控制工程教研室,95,自然界中無旋流動(dòng)是很少的 有許多有旋流動(dòng)可以近似地視為無旋流動(dòng) 可以使繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算得到簡(jiǎn)化，解決工程實(shí)際問題； 此類分析、計(jì)算方法已經(jīng)很成熟。,過程裝備與控制工程教研室,96,一、速度勢(shì) 無旋流動(dòng) 是vxdx+vydy+vzdz成為某函數(shù)(x,y,z)的全微分的充要條件 d=vxdx+vydy+vzdz 流場(chǎng)的速度等于勢(shì)函數(shù)的梯度， 為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)； 稱無旋流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。,過程裝備與控制工程教研室,97,速度

29、勢(shì)對(duì)任意方向s的偏導(dǎo)數(shù) 速度勢(shì)函數(shù)對(duì)任意方向s的偏導(dǎo)數(shù)等于速度矢量在該方向上的投影 在柱坐標(biāo)系中的速度分量,過程裝備與控制工程教研室,98,在勢(shì)流中任取一曲線AB，沿AB切向速度的線積分為 沿任意曲線切向速度的線積分等于曲線兩端的速度勢(shì)之差； 若曲線為封閉周線，速度勢(shì)又是單值連續(xù)函數(shù)，則沿該周線的速度環(huán)量等于零。,過程裝備與控制工程教研室,99,不可壓縮流體 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)。 柱坐標(biāo)系中,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,過程裝備與控制工程教研室,100,二、流函數(shù) 不可壓縮流體的平面流動(dòng) 連續(xù)方程 流線方程 是-vydx+vxdy成為某函數(shù)(x,y)全微分的充要

30、條件,過程裝備與控制工程教研室,101,流線上 d=-vydx+vxdy=0 =const 每條流線都有各自的常數(shù)值，故稱(x,y)為流函數(shù)。 流函數(shù)總滿足連續(xù)方程。 不可壓縮流體的二維流動(dòng)，必然存在流函數(shù)，不管它是理想流體還是粘性流體，是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)。 極坐標(biāo)系中,過程裝備與控制工程教研室,102,等流函數(shù)線為流線,過程裝備與控制工程教研室,103,流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差 流函數(shù)的物理意義,過程裝備與控制工程教研室,104,不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。,過程裝備與控制工程教研室,105,三、流網(wǎng) 在不可壓縮流體的平

31、面無旋流動(dòng)中，同時(shí)存在速度勢(shì)和流函數(shù)。 流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系： 等勢(shì)線族和流線族互相正交。 在平面上等勢(shì)線和流線構(gòu)成處處正交的網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。,兩簇曲線正交的條件,過程裝備與控制工程教研室,106,【例】已知不可壓縮流體平面勢(shì)流的速度勢(shì)=xy，試求速度投影和流函數(shù)。,過程裝備與控制工程教研室,107,【例】已知平面流動(dòng)的流函數(shù)=3x2y-y3。 求勢(shì)函數(shù)； 若在流場(chǎng)中A(1m,1m)處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.5105Pa，流體的密度為1.2kg/m3，則B(3m,5m)處的壓強(qiáng)是多少？,過程裝備與控制工程教研室,108,第十節(jié) 幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流,過程裝備與控制工程教研室,109,一、均勻等速流 流速

32、的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱為均勻等速流。 勢(shì)函數(shù) 等勢(shì)線 流函數(shù) 流線 流線與等勢(shì)線垂直,過程裝備與控制工程教研室,110,流場(chǎng)中各點(diǎn)的流速相同，流動(dòng)無旋，所以 流場(chǎng)中流體的總勢(shì)能不變 水平面上的均勻等速流 壓強(qiáng)在流場(chǎng)中處處相等,過程裝備與控制工程教研室,111,二、源流和匯流 在無限平面上，若流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，稱為源流，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，稱為匯流，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。 流動(dòng)只有徑向速度vr 通過任一單位高度圓柱面的體積流量qV,過程裝備與控制工程教研室,112,勢(shì)函數(shù) 源點(diǎn)和匯點(diǎn)是奇點(diǎn) 等勢(shì)線 不同半徑

33、的同心圓 流函數(shù) 流線 不同極角的徑線 流線與等勢(shì)線正交,過程裝備與控制工程教研室,113,水平面內(nèi)流動(dòng)的壓強(qiáng)分布 對(duì)半徑r處和無窮遠(yuǎn)列伯努利方程 壓強(qiáng)隨半徑的減小而降低 零壓強(qiáng)處 絕對(duì)壓強(qiáng)不能等于零，上述各式適用范圍：rr0,過程裝備與控制工程教研室,114,三、勢(shì)渦 若二維渦流的渦束半徑rb0，則渦束變?yōu)橐粭l渦線，平面上的渦核區(qū)縮為一點(diǎn)，稱為渦點(diǎn)，這樣的流動(dòng)稱為勢(shì)渦或自由渦流。 渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的速度分布 r0 v 渦點(diǎn)為奇點(diǎn),過程裝備與控制工程教研室,115,勢(shì)函數(shù) 等勢(shì)線 不同極角的徑線 流函數(shù) 流線 不同半徑的同心圓 0，環(huán)流逆時(shí)針方向；0，環(huán)流順時(shí)針方向。 流線與等勢(shì)線正交,過程裝備

34、與控制工程教研室,116,渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的壓強(qiáng)分布 零壓強(qiáng)處,過程裝備與控制工程教研室,117,對(duì)于以上幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流，重要的不是它們能代表怎樣的實(shí)際流動(dòng)，而在它們是勢(shì)流的基本單元； 把幾種基本單元組合在一起，可以形成許多有重要意義的復(fù)雜流動(dòng)。,過程裝備與控制工程教研室,118,第十一節(jié) 簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加,過程裝備與控制工程教研室,119,若1,2,3,n是調(diào)和函數(shù)，將它們相加組成的新函數(shù)也必是滿足拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)： 調(diào)和函數(shù)可以疊加，疊加成的新函數(shù)仍是調(diào)和函數(shù)，流動(dòng)仍然無旋；它們的速度矢量可以疊加。,過程裝備與控制工程教研室,120,一、匯流與勢(shì)渦疊加螺旋流 匯流 勢(shì)渦 螺旋流

35、等勢(shì)線 流線 流線和等勢(shì)線是兩組相互正交的螺旋線,過程裝備與控制工程教研室,121,匯流和勢(shì)流疊加的流動(dòng)為螺旋流 速度分布 壓強(qiáng)分布 上述各式的實(shí)際的適用范圍應(yīng)為,過程裝備與控制工程教研室,122,旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式噴油嘴 流體沿圓周切向流入，從中心流出匯流和勢(shì)渦的疊加。 離心泵、風(fēng)機(jī) 外殼中的流體由葉輪螺旋流入，沿外殼切向流出源流和勢(shì)渦的疊加。,過程裝備與控制工程教研室,123,二、源流和匯流疊加偶極子流 兩個(gè)流量相等的位于A(-a,0)的源流和位于B(a,0)的匯流疊加,過程裝備與控制工程教研室,124,流線 流線是經(jīng)過源點(diǎn)和匯點(diǎn)的圓線族 當(dāng)源點(diǎn)和匯點(diǎn)無限接近，a0時(shí)，流量必

36、須同時(shí)無限增大，使 趨于有限值，這樣流動(dòng)才能形成偶極子流。 M為偶極子矩，也稱偶極子流強(qiáng)度，方向由源點(diǎn)指向匯點(diǎn)。,過程裝備與控制工程教研室,125,偶極子流 勢(shì)函數(shù) 等勢(shì)線,過程裝備與控制工程教研室,126,流函數(shù) 流線 速度分布,過程裝備與控制工程教研室,127,第十二節(jié) 均勻等速流繞過圓柱體的平面流動(dòng),過程裝備與控制工程教研室,128,速度為v沿x軸正向的均勻等速流與強(qiáng)度為M沿x軸正向的偶極子流 勢(shì)函數(shù) 流函數(shù),過程裝備與控制工程教研室,129,速度為v沿x軸正向的均勻等速流與強(qiáng)度為M沿x軸正向的偶極子流疊加 勢(shì)函數(shù) 流函數(shù) 流線 零流線,過程裝備與控制工程教研室,130,零流線 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r0的圓 點(diǎn)B、A以外的x軸 由于流體不能穿過流線，零流線的圓可以代之以圓柱面,過程裝備與控制工程教研室,131,均勻等速流,符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的繞流條件，且按正弦規(guī)律分布。,過程裝備與控制工程教研室,132,圓柱面 A點(diǎn) B點(diǎn) C、D點(diǎn) 圓柱面速