一元二次方程及其解法

1、第2課時 一元二次方程及其解法一基本概念理解1 一元二次方程的定義： 含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊加一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。2、一元二次方程的解法 （1）、直接開平方法:利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b0時，一元二次方程有2個不相等的實數根； II 當=0時，一元二次方程有2個相同的實數根

2、； III 當0時，一元二次方程沒有實數根4、一元二次方程根與系數的關系 如果方程的兩個實數根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。5、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項系數化為正數。 直接開平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算根的判別式的值，以便判斷方

3、程是否有解。 配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。二例題講解：例1：解一元二次方程（1） （2） （3）【例題解析】：（1）可以利用直接開方法或利用因式分解法或公式法；（2）可以利用配方法或公式法或因式分解法；（3）可以利用配方法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接開方法： b因式分解法：（2） a配方法：解： b公式法 ：使用該方法首先要將方程轉化為，再準確找出該一元二次

4、方程中的的值是做對該題的重要前提和保證。由題可知：所以 （3） 方法一：（配方法） 方法二：（公式法）由題可知： 所以：方法三：（因式分解） 注：在求一元二次方程的根之前，首先要將方程轉化成標準形式，再對它的的取值情況進行判定；最后再對求根的方法進行選取，如配方，公式，還是因式分解法，特別是配方法的知識基礎是建立在完全平方公式：之上的。例2：用直接開方法解一元二次方程（1） (2) (3) (4) 解析：（1）由題可知：（2） 由題可知：（3） 由題可知：（4）由題可知：注：求一元二次不等式的根方法中，直接開方法是最基礎的方法?！揪氁痪殹浚河弥苯娱_平方法解下列一元二次方程。（1） （2） （3

5、） （4）例3：用配方法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：（1）由題可知：（2） 由題可知： （3） 由題可知：（4） 由題可知：注解：配方法的知識基礎是建立在完全平方公式：之上的?！揪氁痪殹浚河门浞椒ń庀铝幸辉畏匠?。1、. 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例4：用公式法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析（1）由題可知： 所以：（2）由題可知： 所以：（3）由題可知： 所以：（4）由題可知： 所以：注解：使用公式法求一元二次方程的根，要將方程轉化為的形式，再準確找出對應的的值。【練一練】用公式解法解下列方程。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例

6、5：用因式分解法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結果應是乘積式”對于用因式分解法求一元二次方程根的問題，首先將方程轉化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數（式）即可。（1）由題可知： 所以以后做得非常熟練之后，其解答過程可直接寫成：從而方程的根就為（2）由題可知 所以（3）由題可知：該題符合的形式，則只需提取公因式即可，故 所以方程的根為（4）由題可知：首先將方程轉化為 所以注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先將方程轉化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數（式）即可。【練一練】用因式分解法解下列一元二次方程。1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、 9、 10、第1練 一元二次方程及其解法用適當的方法解下列一元二次方程。1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、10、 11、 12、13、 14、 15、16、 17、 18、 19、 20、 21、22、 23、