概率論(計算)習題

1、概率論計算：1已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取兩次，作不施加抽樣，求下列事件的概率。（1）兩只都是正品？（2）兩只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：設(shè)A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) (2) (3) (4) 2某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的，根據(jù)以往記錄有如下數(shù)據(jù)設(shè)三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志。（1）在倉庫中隨機地取一只晶體管，求它是次品的概率。（2）在倉庫中隨機地取一只晶體管，發(fā)現(xiàn)是次品，問此次品是一廠產(chǎn)品的概率？解：設(shè)Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I廠產(chǎn)品的事件，A表示

2、任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式（2）由貝葉斯公式3房間里有10個人，分別佩戴從1號到10叼的紀念章，任選三人記錄其紀念章的號碼，求：（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率。解：由等可能概型有：（1）;（2）46件產(chǎn)品中有4件正品和2件次品，從中任取3件，求3件中恰為1件次品的概率。解：設(shè)6件產(chǎn)品編號為1，26，由等可能概型5設(shè)隨機變量X具有概率密度。（1）確定常數(shù)k；（2）求P（X0.1）解：（1）由有（2）6一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時刻t，每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至多有3個設(shè)備被使用的

3、概率是多少？（3）至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？解：由題意，以X表示任一時刻被使用的設(shè)備的臺數(shù)，則Xb(5,0.1)，于是（1）（2）（3）7設(shè)隨機變量X的概率密度為求解：8由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)=10.05，=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品。求一螺栓為不合格品的概率。解：由題意，所以為9設(shè)XN（3，22）求：（1）（2）解：（1）（2）由Pc=P(xc)，即10設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-1013P求Y=X2的分布律。解：Y=X2的全部取值為0，1，4，9且P（Y=0）=P（X=0）=，P（Y=1）=P（X=-1）+P（X=1）=，P（

4、Y=4）=P（X=-2）=，P（Y=9）=P（X=3）=故Y的分布律為X0149P11設(shè)二維隨機變量（x，y）具有概率密度（1）求分布函數(shù)F（x，y）；（2）求概率P（YX）解：（1）（2）12已知（X，Y）的聯(lián)合分律為 XY01121/81/41/43/8求X及Y的邊緣分布律。解：X的分布律為X01PY的分布律為X12P13設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為，邊緣概率密度。解：14設(shè)（X，Y）的概率密度為（1）確定常數(shù)k；（2）求P（X1，Y30），S近似服從正態(tài)分布N(，2/2n)，其中為總?cè)臉藴什?，試證：的100（r2）%的置信區(qū)間為32總體XN（，2）是來自總體區(qū)的容量n=16的樣

5、本，S2是樣本方差33已知離散型隨機變量X服從對數(shù)為2的泊松分布，即求X=3X-2的數(shù)學期望E（X）。34設(shè)隨機變量X與Y獨立，且XN（1，2）YN（0，1）試求X=2X-Y+3的概密度。35設(shè)隨機變量的分布律為P（Z=K）=，確定a。36設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為求X，Y的邊緣密度函數(shù)判別其獨立性。37設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為求：常數(shù)C及聯(lián)合分布主數(shù)F（X，Y）。38設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)求二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合（x,y）解：可驗證F（x,y）是連續(xù)型二維隨機變量的分布函數(shù)，則39測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出S=0.037%，設(shè)測定值總體為正態(tài)分布，

6、2為總體方差試在水平a=0.05下檢驗假設(shè)H0:=0.04%, H1:a0是未知參數(shù)，是來自總體X的容量為n的樣本，記。證明：。45設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求X=X-Y的概率密度函數(shù)。46設(shè)隨機變量Z的概率密度為求E（Z）及D（Z）。47對圓的直徑作挖測量，設(shè)其值均勻地分布在a,b內(nèi)，求圓面積的數(shù)學期望。解：設(shè)圓直徑為隨機變量Z，圓面積為Y。48隨機向量（X，Y）在區(qū)域D=(x,y)|0x1,|y|x|上服從均勻分布。求關(guān)于Z的邊緣分布并求Z=2Z+1的方差。49設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布為總體的一個樣本，試求的極大似然估計。50已知隨機變量Z的分布函數(shù)為求E（Z）和D（Z）。5

7、1設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為(1)確定常數(shù)K；（2）求PZ0，為未知參數(shù)，求的極大似然估計值。53設(shè)總體Z的概率密度為其中0, 為未知參數(shù)，求的矩估計量。54設(shè)隨機變量Z服從（0，2）上的均勻分布，則隨機變量Y=Z2在（0，4）內(nèi)的概率分布密度函數(shù)fy(y)，求fy(y)。55已知P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=,P(AC)=P(B),求A，B，C均不發(fā)生的概率。56甲、乙、丙三人進行投籃比賽，已知甲的命中率為0.9，乙的命中率為0.8，丙的為0.7，現(xiàn)每人各投一次，求三人中至少有兩人投中的概率。解：設(shè)A為“甲投中”，B為“乙投中”，C為“丙投中”則57某工廠生產(chǎn)的100個零

8、件中有5個次品，采用不放回抽樣，每次任取一個，求（i）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。58若AB，AC,P(A)=0.9，59對以往數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果表明，當機器調(diào)整良好時，產(chǎn)品的合格率為30%，每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為75%。設(shè)某日早上第一件產(chǎn)品是合格品，試問機器調(diào)整得主奶好的概率是多少？60房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的胸章，任選三人記錄共胸章的號，求（1）最小號碼為5；（2）最大號碼煤礦的概率。61一個工人看管12臺同一類型的機器，在一段時間內(nèi)每臺機器需工人維修的概率為，求這段時間內(nèi)至少有兩臺機器需要工人維修的概率。

9、解：設(shè)為“K臺機器需維修”，則62制帽廠生產(chǎn)帽子合格率為0.8，一盒中裝有帽子4頂。一個采購員從每盒中隨機地取出兩頂帽子進行檢驗，若兩頂帽子都合格，則買下這盒帽子，求每盒帽子被買下的概率。解：設(shè)B為“一盒帽子被買下”，Ai為“一盒帽子中有I頂帽子合格”。則63某種電子元件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布，2均未知，現(xiàn)測得16只元件的壽命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225小時（取a=0.05），已知t0.05(15)=1.7531。解：此檢驗如下：四、綜合題1