等腰三角形難題

1、等腰三角形補(bǔ)充練習(xí)一選擇題（共3小題）1在abc中，b=30，點(diǎn)d在bc邊上，點(diǎn)e在ac邊上，ad=bd，de=ce，若ade為等腰三角形，則c的度數(shù)為（）a20b20或30c30或40d20或402如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，a、b是格點(diǎn)，以a、b、c為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)c的個(gè)數(shù)為（）a7個(gè)b8個(gè)c9個(gè)d10個(gè)3如圖所示，在abc中，ab=ac，bad=，且ae=ad，則edc=（）abcd2 填空題（共14小題）5 在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)p在等邊abc外部，且與等邊abc三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則apc的度數(shù)為 6 等腰三角形的一腰上的高與另一腰的

2、夾角為45，則這個(gè)三角形的底角為 7 有兩個(gè)等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長等于乙的腰長，甲的腰長等于乙的底長，則甲的底角是 度8如圖，bac=（090），現(xiàn)只用4根等長的小棒將bac固定，從點(diǎn)a1開始依次向右擺放，其中a1a2為第1根小棒，且a1a2=aa1，則角的取值范圍是 9如圖，在abc中，ac=bcab，點(diǎn)p為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)p與abc的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成pab，pbc，pac均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為 個(gè)10如圖所示，abc為等邊三角形，aq=pq，pr=ps，prab于r，psac于s，則四個(gè)結(jié)論正確的是 p在a的平分線上； as=a

3、r； qpar； brpqsp11如圖，在aba1中，b=20，ab=a1b，在a1b上取一點(diǎn)c，延長aa1到a2，使得a1a2=a1c；在a2c上取一點(diǎn)d，延長a1a2到a3，使得a2a3=a2d；，按此做法進(jìn)行下去，an的度數(shù)為 12 已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，則腰長為 ，底邊長為 13如圖，等邊三角形abc中，d、e分別為ab、bc邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使ad=be，ae與cd交于點(diǎn)f，agcd于點(diǎn)g，則= 14如圖所示，在abc中，ab=ac，bac=80，p在abc內(nèi)，pbc=10，pcb=30，則pab= 15線段ab和直線l在同一平面上則下列判斷可能成立

4、的有 個(gè)直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)p，使abp為等腰三角形16如圖，abc為正三角形，面積為sd1，e1，f1分別是abc三邊上的點(diǎn)，且ad1=be1=cf1=ab，可得d1e1f1，則d1e1f1的面積s1= ；如，d2，e2，f2分別是abc三邊上的點(diǎn)，且ad2=be2=cf2=ab，則d2e2f2的面積s2= ；按照這樣的思路探索下去，dn，en，fn分別是abc三

5、邊上的點(diǎn)，且adn=ben=cfn=ab，則sn= 17 已知等腰abc的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是 18如圖，一個(gè)頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2= 度2017年08月23日139*2832的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共4小題）1（2016秋資中縣期末）在abc中，b=30，點(diǎn)d在bc邊上，點(diǎn)e在ac邊上，ad=bd，de=ce，若ade為等腰三角形，則c的度數(shù)為（）a20b20或30c30或40d20或40【解答】解：如圖所示，ad=bd，b=30，adc=60，de=ce，可設(shè)c=edc=，則ade=60，aed=2，根據(jù)三角

6、形內(nèi)角和定理可得，dae=120，分三種情況：當(dāng)ae=ad時(shí)，有60=2，解得=20；當(dāng)da=de時(shí)，有120=2，解得=40；當(dāng)ea=ed時(shí)，有120=60，方程無解，綜上所述，c的度數(shù)為20或40，故選：d2（2016春乳山市期中）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，a、b是格點(diǎn)，以a、b、c為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)c的個(gè)數(shù)為（）a7個(gè)b8個(gè)c9個(gè)d10個(gè)【解答】解：如圖所示，以a為圓心，ab長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)c3、c8、c7即為點(diǎn)c的位置；以b為圓心，ab長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)c1、c2、c6、c4、c5即為點(diǎn)c的位置；作線段ab的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格

7、點(diǎn)故以a、b、c為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)c的個(gè)數(shù)為8個(gè)故選（b）3（2015天心區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊abc外有一點(diǎn)p，p落在bac內(nèi)，設(shè)p到bc、ca、ab的距離分別為h1，h2，h3，滿足h2+h3h1=6，那么等邊abc的面積為（）a4b8c9d12【解答】解：設(shè)等邊三角形abc的邊長為a，連接pa、pb、pc，則spab+spacspcb=scab，即ah1+ah2ah3=，a（h2+h3h1）=，h2+h3h1=6，a=4，scab=12，故選（d）4（1998杭州）如圖所示，在abc中，ab=ac，bad=，且ae=ad，則edc=（）abcd【解答】解：根據(jù)題意：在ab

8、c中，ab=acb=cae=adade=aed，即b+edc=c+edc化簡可得：=2edcedc=故選a二填空題（共14小題）5（2016江西模擬）在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)p在等邊abc外部，且與等邊abc三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則apc的度數(shù)為15或30或60或75或150【解答】解：根據(jù)點(diǎn)p在等邊abc外部，且與等邊abc三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：ap1c=15，ap2c=30，ap3c=60，ap4c=75，ap5c=150故答案為：15或30或60或75或1506（2016秋東阿縣期中）等腰三角形的一腰上的高與

9、另一腰的夾角為45，則這個(gè)三角形的底角為67.5或22.5【解答】解：有兩種情況；（1）如圖，當(dāng)abc是銳角三角形時(shí)，bdac于d，則adb=90，已知abd=45，a=9045=45，ab=ac，abc=c=（18045）=67.5；（2）如圖，當(dāng)efg是鈍角三角形時(shí)，fheg于h，則fhe=90，已知hfe=45，hef=9045=45，feg=18045=135，ef=eg，efg=g=（180135）=22.5，故答案為：67.5或22.57（2013香坊區(qū)三模）有兩個(gè)等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長等于乙的腰長，甲的腰長等于乙的底長，則甲的底角是36或60度【解答】解

10、：假設(shè)等腰三角形甲為abc，等腰三角形乙為def（如圖所示）頂角為d根據(jù)題中的條件，甲的底長等于乙的腰長，甲的底角等于乙的頂角，我們可以將d挪到b點(diǎn)，使bc與de重合，df與ab重合，如果a為銳角，則f點(diǎn)在ab邊上，由于cf=ac，由圖知是不可能的如果a為鈍角，則f點(diǎn)在ab延長線上，由于cf=ac，得知乙的底角=2倍的頂角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；當(dāng)?shù)妊切渭缀鸵叶际堑冗吶切螘r(shí)，1=2=3=60，即甲的底角是60故答案是：36或608（2013泰州一模）如圖，bac=（090），現(xiàn)只用4根等長的小棒將bac固定，從點(diǎn)a1開始依次向右擺放，其中a1a2為第1根小棒，且a1a

11、2=aa1，則角的取值范圍是1822.5【解答】解：a1a2=aa11=a2a1a3=2，2=a2a4a3=+2=3，3=a2a4a3+=4，由題意得：，1822.59（2013宜興市一模）如圖，在abc中，ac=bcab，點(diǎn)p為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)p與abc的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成pab，pbc，pac均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為6個(gè)【解答】解：如圖所示，作ab的垂直平分線，abc的外心p1為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)c為圓心，以ac長為半徑畫圓，p2、p3為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)a、b為圓心，以ac長為半徑畫圓，p4為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)a、b為圓心，以ab長為半徑畫圓，

12、p5、p6為滿足條件的點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為6故答案為：610（2013安徽模擬）如圖所示，abc為等邊三角形，aq=pq，pr=ps，prab于r，psac于s，則四個(gè)結(jié)論正確的是p在a的平分線上； as=ar； qpar； brpqsp【解答】解：pr=ps，prab，psac，p在a的平分線上，在rtarp和rtasp中，rtarprtasp（hl），as=ar，qap=par，aq=pq，par=qpa，qpa=qarqpar，abc為等邊三角形，b=c=bac=60，par=qpa=30，pqs=60，在brp和qsp中，brpqsp（aas），項(xiàng)四個(gè)結(jié)論都正確，故

13、答案為11（2012貴陽）如圖，在aba1中，b=20，ab=a1b，在a1b上取一點(diǎn)c，延長aa1到a2，使得a1a2=a1c；在a2c上取一點(diǎn)d，延長a1a2到a3，使得a2a3=a2d；，按此做法進(jìn)行下去，an的度數(shù)為【解答】解：在aba1中，b=20，ab=a1b，ba1a=80，a1a2=a1c，ba1a是a1a2c的外角，ca2a1=40；同理可得，da3a2=20，ea4a3=10，an=故答案為：12（2012棗陽市校級模擬）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，則腰長為8或6，底邊長為5或9【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長ab=ac

14、=2x，bc=y，bd是腰上的中線，ad=dc=x，若ab+ad的長為12，則2x+x=12，解得x=4，則x+y=9，即4+y=9，解得y=5；若ab+ad的長為9，則2x+x=9，解得x=3，則x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底邊為5時(shí)，腰長為8；等腰三角形的底邊為9時(shí)，腰長為6；故答案為：8或6；5或913（2011濟(jì)寧）如圖，等邊三角形abc中，d、e分別為ab、bc邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使ad=be，ae與cd交于點(diǎn)f，agcd于點(diǎn)g，則=【解答】解：ad=be，ce=bd，等邊三角形abc，caedcb，dcb=cae，afg=caf+acf=acf+dcb=

15、60，agcd，fag=30，fg：af=故答案為：14（2011鄂州校級模擬）如圖所示，在abc中，ab=ac，bac=80，p在abc內(nèi)，pbc=10，pcb=30，則pab=70【解答】解：在bc下方取一點(diǎn)d，使得三角形abd為等邊三角形，連接dp、dcad=ab=ac，dac=bacbad=20，acd=adc=80，ab=ac，bac=80，abc=acb=50，cdb=140=bpc，又dcb=30=pcb，bc=cb，bdcbpc，pc=dc，又pcd=60，dpc是等邊三角形，apdapc，dap=cap=dac=20=10，pab=dap+dab=10+60=70或由bdcb

16、pc，bp=bd=babap=bpa又abp=abcpbc=40bap=（18040）/2=70故答案為：7015（2011海曙區(qū)模擬）線段ab和直線l在同一平面上則下列判斷可能成立的有5個(gè)直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)p，使abp為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)p，使abp為等腰三角形【解答】解：要使apb是等腰三角形，分為三種情況：ap=bp（即作ab的垂直平分線于直線的交點(diǎn)，即有一個(gè)點(diǎn)）直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)p，

17、使abp為等腰三角形正確；ab=ap（以a為圓心，以ab為半徑畫弧，交直線于兩點(diǎn)），即直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)p，使abp為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)p，使abp為等腰三角形正確；ab=bp（以b為圓心，以ab為半徑畫弧，交直線于兩點(diǎn)）即直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)p，使abp為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)p，使abp為等腰三角形正確；1+2+2=5，直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)p，使abp為等腰三角形錯(cuò)誤；故答案為：516（2011拱墅區(qū)校級模擬）如圖，abc為正三角形，面積為sd1，e1，f1分別是abc三邊上的點(diǎn)，且ad1=be1=cf1=ab，可得d1e1f1，則d1e1f1的

18、面積s1=s；如，d2，e2，f2分別是abc三邊上的點(diǎn)，且ad2=be2=cf2=ab，則d2e2f2的面積s2=s；按照這樣的思路探索下去，dn，en，fn分別是abc三邊上的點(diǎn)，且adn=ben=cfn=ab，則sn=s【解答】解：abc為正三角形，ab=bc=ac，a=b=c=60，ad1=be1=cf1=ab，bd1=ce1=af1=ab，ad1f1bd1e1ce1f1，設(shè)等邊abc的邊長為a，則s=a2sin60，ad1f1的面積=aasin60=s，d1e1f1的面積s1=s3s=s；同理，ad2=be2=cf2=ab時(shí)，bd2=ce2=af2=ab，ad2f2的面積s2=aasin60=s，d2