等邊三角形的性質(zhì)與判定

1、等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)知識梳理等腰三角形：（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； （二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論

2、2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等邊三角形：定義：三條邊都相等的三角形 性質(zhì)：三邊相等，三角相等且都為60度，加等腰三角形性質(zhì)。判定：三條邊相等的三角形，三個角都為60度的三角形，有一個角是60度的等腰三角形。等邊三角形的判定方法：（1）有 邊相等的三角形叫做等邊三角形；（2）有 角相等的三角形叫做等邊三角形；（3）有 個內(nèi)角都等于600的三角形叫做等邊三角形；（4）有 個內(nèi)角等于600的 三角形叫做等邊三角形。典型例題例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且C

3、ECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 例4. 如圖，中，BD平分。求證：。 例5. 如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，ABC和CDE都是等邊三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求證：（1）BCEACD （2） CF=CH （3）FH/BD線段的垂直平分線與角平分線專題學(xué)習(xí)【知識總結(jié)】1、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.2、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.3、線段中垂線的尺規(guī)作圖法：4、三角心的外心： 三角形三邊的中垂

4、線交于一點，它到_距離相等，這個點就叫做三角形的外心.5、角分線的性質(zhì)定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.6、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.7、角平分線的尺規(guī)作圖法：8、三角心的內(nèi)心： 三角形三邊的角平分線交于一點，它到_距離相等，這個點就叫做三角形的內(nèi)心.【例題解析】例1：如圖，在ABC中，AC=27，DE為AB的中垂線，BCE的周長等于50，求BC的長. 例2：如圖，A、B是兩個倉庫，直線CD是河，要在河上建碼頭，使碼頭到兩個倉庫的距離相等，問倉庫應(yīng)建在什么地方？(保留作圖痕跡即可) 例3：如圖，求作點P，使P到C、D的距離相等，同時到角兩邊的距離也相等. 例

5、4：如圖，已知ACB、ADB都是直角，且ACAD，P是AB上任意一點求證：CPDP例5：如圖，ABC的外角平分線DBC、ECB的平分線相交于點F.求證：點F在A的平分線上. 例6：如圖，AD是ABC的角平分線，EF是AD的中垂線，求證：(1)EAD=EDA；(2)DFAC；(3)EAC=B.例7：如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊在直線的同旁作等邊三角形ABD、BCE，連結(jié)AE交BD于M，連結(jié)CD交BE于N，連結(jié)MN，求證：BMN是等邊三角形。例8：如圖，已知在ABC中，ABAC，A120，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N求證：CM2BM題組一：1、 如圖，A

6、P平分BAC，且PEAB，PFAC，PE=，則PF=_. 第1題 第3題 第4題2、 在ABC中，C=90，BD是ABC的平分線.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，則點D到AB的距離為_.3、如圖，在RtABC中，C=90，AC=BC，AD是CAB的角平分線，DEAB.若AB=8，則DEB的周長是_.4、如圖，在ABC中，OB平分ABC，OC平分ABC，MNBC且過點O.若AB=8，AC=7，則AMN的周長是_.5、如圖，在ABC中，AB=AC，AD是中線，且DEAB，DFAC，求證：BE=DF.(要求證明過程中要用到角平分線性質(zhì)定理)6、如圖，已知：ADOB于D，BDOA于C，AD、B

7、C相交于E，且EA=EB.求證：EO為AOB的平分線.題組二：1、如圖，0P是AOB的角平分線，PCAO，PDOB，則PD與PC的大小關(guān)系為( )APCPD BPC=PD CPCPD D不能確定 第1題 第2題 第3題2、如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修一個超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在( )A在AC、BC兩邊高線的交點處 B.在AC、BC兩邊中線的交點處C在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處 D.在A、B的角平分線的交點處3、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則A等于( )A25 B.30

8、C.45 D.60 4、如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的面積是_.5、如圖，CEAB于點E，BDAC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC6、如圖，BDA、HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與 AC交于點E，請你判斷線段AC與BH有什么關(guān)系？并說明理由.課堂練習(xí)1如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與交于點DAEFBC（1）求證：； （2）求的度數(shù) 2. 已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 3如圖 ABC中，ACB=900，AC=BC，A

9、E是BC邊上的中線，過C作CFAE于F ，過B作BDBC交CF的 延長線于D.求證 ：AE=CD 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。5. 如圖，在ABC中，D在AB上，且CAD和CBE都是等邊三角形，說明：（1）DE=AB，（2）EDB=606如圖所示，在ABC中，AB=AC，ADB和ACE都是等邊三角形，且DAE=DBC，求BAC的度數(shù)。課后作業(yè)一、選擇題1正ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則BIC等于（ ） A60 B90 C120 D1502下列三角形：有兩個角等于60；有一個角等于60的等腰三角形；三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；一腰

10、上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有（ ） A B C D3RtABC中，CD是斜邊AB上的高，B=30，AD=2cm，則AB的長度是（ ）A2cm B4cm C8cm D16cm4如圖，D、E、F分別是等邊ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則DEF的形狀是（ ） A等邊三角形 B腰和底邊不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等邊三角形 第4題圖 第5題圖 第6題圖5如圖，E是等邊ABC中AC邊上的點，1=2，BE=CD，則ADE的形狀是（ ）A等腰三角形 B等邊三角形 C不等邊三角形 D不能確定形狀6. 如圖，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個7. 等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對二、填空題1ABC中，AB=AC，A=C，則B=_2已知AD是等邊ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則AFE=_3等邊三角形是軸對稱圖形，它有_條對稱軸，分別是_4