數(shù)值計(jì)算課程設(shè)計(jì)報(bào)告(插值法)[文書特制]

1、數(shù) 值 計(jì) 算 方 法課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告課程設(shè)計(jì)名稱： 數(shù)值計(jì)算方法 課程設(shè)計(jì)題目： 插值算法 年 級(jí) 專 業(yè)： 信計(jì)1302班 組員姓名學(xué)號(hào)： 高育坤 1309064043 王冬妮 1309064044 韓 建 1309064046 李 婧 1309064047 指 導(dǎo) 教 師： 劉麗華 完 成 時(shí) 間： 2015年6月17日 插值算法一、問(wèn)題提出插值法是實(shí)用的數(shù)值方法，是函數(shù)逼近的重要方法。在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量x與因變量y的函數(shù)y = f(x)的關(guān)系式有時(shí)不能直接寫出表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值。當(dāng)要求知道觀測(cè)點(diǎn)之外的函數(shù)值時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)值在該點(diǎn)的值。如何根

2、據(jù)觀測(cè)點(diǎn)的值，構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)y=(x)，使函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值，進(jìn)而用簡(jiǎn)單函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x處的值來(lái)估計(jì)未知函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)的值。尋找這樣的函數(shù)(x)，辦法是很多的。(x)可以是一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式，或是三角多項(xiàng)式，也可以是有理分式；(x)可以是任意光滑（任意階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）的函數(shù)或是分段函數(shù)；函數(shù)類的不同，自然地有不同的逼近效果。二、背景分析 在許多實(shí)際問(wèn)題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，然而，這種關(guān)系經(jīng)常很難有明顯的解析表達(dá)，通常只是由觀察與測(cè)試得到一些離散數(shù)值。有時(shí)，即使給出了解析表達(dá)式，卻由于表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，不僅使用不便，而且不易于進(jìn)行計(jì)算與理論分析。

3、解決這類問(wèn)題的方法有兩種：一種是插值法插值法，另一種是一擬合法。插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐，早在一千多年前，我國(guó)科學(xué)家在研究歷法上就應(yīng)用了線性插值與二次插值，但它的基本理論卻是在微積分產(chǎn)生之后才逐漸完善的，其應(yīng)用也日益增多，特別是在計(jì)算機(jī)軟件中，許多庫(kù)函數(shù)，如 ,cos,sin ex 等的計(jì)算實(shí)際上歸結(jié)于它的逼近函數(shù)的計(jì)算。逼近函數(shù)一般為只含有算術(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單函數(shù)，如多項(xiàng)式、有理分式（即多項(xiàng)式的商）。在工程實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，我們也經(jīng)常會(huì)碰到諸如此類的函數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。被計(jì)算的函數(shù)有時(shí)不容易直接計(jì)算，如表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜或者只能通過(guò)某種手段獲取該函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值信息或者導(dǎo)數(shù)值信息等。因

4、此，我們希望能用一個(gè)“簡(jiǎn)單函數(shù)” 逼近被計(jì)算函數(shù)，然后用該簡(jiǎn)單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計(jì)算函數(shù)的函數(shù)值。這種方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求給出函數(shù)f（x）的一個(gè)函數(shù)表，然后選定一種簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，比如多項(xiàng)式、分段線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，通過(guò)已知的函數(shù)表來(lái)確定一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為f（x）的近似，概括地說(shuō)，就是用簡(jiǎn)單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。三、基本算法思想與實(shí)現(xiàn)已知個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn):構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡(jiǎn)單)函數(shù)(稱為插值函數(shù)),通過(guò)全部結(jié)點(diǎn)即（j0,1,n）再用計(jì)算插值，即數(shù)學(xué)上插值方法非常多，這里介紹幾種常用方法：1插值函數(shù)插值函數(shù)的基本思想:將待求的次插值多項(xiàng)式寫成另一種表達(dá)方,式再利用插值條件

5、 確定出插值基函由基函數(shù)條件,確定多項(xiàng)式系數(shù)，進(jìn)而可得插值函數(shù).（1）已知，求滿足條件的插值函數(shù)。 由題可知表示過(guò)兩點(diǎn)的直線，這個(gè)問(wèn)題是我們所熟悉的，它的解可表為下列對(duì)稱式 此類一次插值稱為線性插值，若令（由此可得：）則有這里的可以看作是滿足條件的插值多項(xiàng)式，這兩個(gè)特殊的插值多項(xiàng)式稱作上述問(wèn)題的插值基函數(shù)。（2）求過(guò)三點(diǎn)的插值函數(shù)。 為了得到插值多項(xiàng)式先解決一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題。 求作二次式，使?jié)M足 （2-1）這個(gè)問(wèn)題是容易求解的，由式（2-1）的后兩個(gè)條件知是的兩個(gè)零點(diǎn)，因而 。再用條件確定系數(shù)c .結(jié)果得 ：類似可以分別構(gòu)造出滿足條件的插值多項(xiàng)式；其表達(dá)式分別為 ，這樣構(gòu)造出的稱作問(wèn)題（

6、2）的插值基函數(shù)。設(shè)取已知數(shù)據(jù)作為組合系數(shù)，將插值基函數(shù)組合得 驗(yàn)證可知，這樣構(gòu)造的滿足已知條件，因而它就是問(wèn)題（2）的解。 (3)推廣到一般：已知函數(shù)在n+1個(gè)不同點(diǎn)上的函數(shù)值分別為求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,使其滿足:即個(gè)不同的點(diǎn)可以決定的一個(gè)次多項(xiàng)式。過(guò)個(gè)不同的點(diǎn)分別決定個(gè)次插值基函數(shù)。每個(gè)插值基多項(xiàng)式滿足： a. 是次多項(xiàng)式; b. ,而在其它個(gè)點(diǎn)由于故有因子:因其已經(jīng)是n次多項(xiàng)式，故而僅相差一個(gè)常數(shù)因子。令:由,可以定出, 進(jìn)而得到：次拉格朗日型插值多項(xiàng)式是個(gè)次插值基本多項(xiàng)式的線性組合,相應(yīng)的組合系數(shù)是。即:從而是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,且滿足2插值函數(shù)的構(gòu)造插值法的基本思想：已知

7、節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值或一元函數(shù)代數(shù)方程，將待求的n次插值多項(xiàng)式改寫為具有承襲性的形式，然后根據(jù)插值條件或選取初值以求得待定系數(shù)，進(jìn)而求得所要的插值函數(shù)。實(shí)踐中的許多問(wèn)題歸結(jié)為求一元代數(shù)方程的根，如果是線性函數(shù)，則它的求根較容易；對(duì)非線性方程，只有不高于4次的代數(shù)方程有求根公式，經(jīng)常需求出高于4次的滿足一定精度要求的近似解。 法的簡(jiǎn)述設(shè)是的一個(gè)近似根，把在處泰勒展開(kāi) 若取前兩項(xiàng)來(lái)近似代替，則的近似線性方程設(shè)0，設(shè)其根為，則的計(jì)算公式為=- （k=0,1,2.）這即為牛頓法，上式為牛頓迭代公式，其迭代函數(shù)為 我們知道，牛頓法是解非線性方程最著名和最有效的方法之一，在單根附近它比一般的迭代格式有較快的收速

8、度，但也要注意它也有缺點(diǎn)：首先，它對(duì)迭代初值選取要求較嚴(yán)，初值選取不好，可能導(dǎo)致吧收斂；其次，它每迭代一次要計(jì)算的值，這勢(shì)必增加可計(jì)算量。為回避該問(wèn)題，常用一個(gè)固定的迭代若干步后再求。這就是下面要講的簡(jiǎn)化牛頓法的基本思想。簡(jiǎn)化牛頓法和下山牛頓法簡(jiǎn)化牛頓法的公式為 (3-1)迭代函數(shù) 若。即 在根附近成立。則迭代法（3-1）局部收斂。此法顯然化簡(jiǎn)了計(jì)算量。牛頓下山法牛頓法的收斂依賴于初值的選取，若偏離較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散。為防止迭代發(fā)散，我們對(duì)迭代過(guò)程在附加一項(xiàng)條件，即具有單調(diào)性： （3-2）保證函數(shù)值穩(wěn)定下降，然后結(jié)合牛頓法加快收斂速度，即可達(dá)目的。將牛頓法的計(jì)算結(jié)果 （3-3）于前一步的近

9、似值適當(dāng)加權(quán)平均作為新的改進(jìn)值 （3-4）其中稱（）為下山因子，即為 （3-5）稱為牛頓下山法。選擇下山因子時(shí)，從開(kāi)始逐次將減半進(jìn)行試算。直到滿足條件（3-2）為止。 3插值法已知函數(shù)在給定個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，.上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，求一個(gè)次多項(xiàng)式滿足插值條件 （）=， . k=0,1,2.n插值基本原理通常如上條件的Hermite型插值是通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的插值基函數(shù)來(lái)完成的，為方便起見(jiàn)以n=1為例，說(shuō)明傳統(tǒng)的求解方法，設(shè)給定的，和相應(yīng)的函數(shù)值，及微商值，構(gòu)造插值函數(shù)。由構(gòu)造函數(shù)的辦法可知：對(duì)應(yīng)于和點(diǎn)函數(shù)值的插值函數(shù)分別為 及而對(duì)應(yīng)的和點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的插值基函數(shù)分別為和 ，因此所要求的插值函數(shù) （2-1）由上可

10、發(fā)現(xiàn)構(gòu)造插值基函數(shù)比較復(fù)雜，尤其對(duì)具有高階導(dǎo)數(shù)插值條件的情況，以下將基于newton插值方法提出構(gòu)造上述條件的簡(jiǎn)單格式。此時(shí)傳統(tǒng)方法可視為這里的特例。四、具體應(yīng)用實(shí)例分析1 已知,用線性插值法求的近似值.解:Matlab中有直接進(jìn)行線性插值計(jì)算的命令interp1,直接使用interp1命令即可. x=4 9; y=2 3; f=interp1(x,y,7,linear)%選項(xiàng)使用線性插值f = 2.6000故插值計(jì)算結(jié)果為2 設(shè),給出數(shù)據(jù)如下, 用Lagrange插值法求的近似值.0.40.50.70.8-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144解:求解過(guò)程描述

11、如下: format long;%輸入初始數(shù)據(jù)x0=0.4 0.5 0.7 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144;x=0.6;%插值點(diǎn)n=length(x0);s=0;%進(jìn)入迭代計(jì)算過(guò)程for j=0:(n-1) t=1; for i=0:(n-1) if i=j t=t*(x-x0(i+1)/(x0(j+1)-x0(i+1); end end s=s+t*y0(j+1);ends %顯示輸出結(jié)果format short;程序運(yùn)行結(jié)果如下:s = -0.509975500000000因此利用插值的計(jì)算結(jié)果為.3 設(shè)有如下數(shù)據(jù), 利用插值法

12、求的近似值.0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解:求解程序如下clc;format long;%顯示15位x0=0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05;%x的值y0=0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382;%y的值x=0.596;%插值點(diǎn)n=max(size(x0);y=y0(1);%迭代初始值disp(y);s=1;dx=y0;for i=1:n-1%構(gòu)造差商表 dx0=dx; for j=1:n-i dx(j)=(dx

13、0(j+1)-dx0(j)/(x0(i+j)-x0(j); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i); y=y+s*df;%計(jì)算 disp(y);end運(yùn)行上述程序結(jié)果如下:0.410750000000000 0.629486000000000 0.632010480000000 0.631914405504000 0.631917508079616 0.631917499231745因此插值結(jié)果為 4 給出的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用Hermite插值多項(xiàng)式求的近似值,并估計(jì)其誤差.0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.5

14、02.001.431.25解：先建立實(shí)現(xiàn)插值的M文件函數(shù)，源程序如下：function y=hermite(x0,y0,dy,x) %hermite.m%Hermite插值計(jì)算%x0為輸入節(jié)點(diǎn)的向量；y0為y的值向量，%dy為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)一階倒數(shù)的函數(shù)值的向量，x為所要求的插值節(jié)點(diǎn). n=length(x0); m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j=i h=h*(x(k)-x0(j)/(x0(i)-x0(j)2; a=1/(x0(i)-x0(j)+a; end end yy=yy+h*(x0(i)

15、-x(k)*(2*a*y0(i)-dy(i)+y0(i); end y(k)=yy;end在Matlab命令窗口中，進(jìn)行以下步驟：輸入數(shù)據(jù)：x0=0.4 0.5 0.7 0.8 x0 =0.40000 0.50000 0.70000 0.80000 y0=log(x0) y0 = -0.916290731874155 -0.693147180559945 -0.356674943938732 -0.223143551314210 dy=1./x0 %一階導(dǎo)數(shù)的值dy = 2.500000000000000 2.000000000000000 1.428571428571429 1.250000

16、000000000 x=0.6 %插值點(diǎn)x = 0.600000000000000 H=hermite(x0,y0,dy,x) H = -0.510824121030042 由插值計(jì)算結(jié)果有，準(zhǔn)確值為：log(0.6) ans = -0.510825623765991可見(jiàn)精度是比較高的.5 給出的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用三次Hermite插值多項(xiàng)式求的近似值,精確到6位小數(shù),并估計(jì)其誤差.(精確值.)0.5000000.7071070.8660250.8660250.7071070.500000解:對(duì)于分段三次插值,Matlab里已有現(xiàn)成命令可用,這個(gè)命令就是interp1(),只要在選項(xiàng)中選用chip

17、(或cubic)即可,它是用分段三次多項(xiàng)式插值曲線依次連接相鄰樣本點(diǎn)的意思,整體上具有函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性.我們先用這個(gè)命令來(lái)解本題.輸入數(shù)據(jù):x0=pi/6,pi/4,pi/3 x0 = 0.523598775598299 0.785398163397448 1.047197551196598 y0=sin(x0) y0 = 0.500000000000000 0.707106781186547 0.866025403784439 x=2*pi/9 x = 0.698131700797732 y=interp1(x0,y0,x,pchip) y = 0.643895359999574 y1

18、=interp1(x0,y0,x,cubic) y1 = 0.643895359999574 可見(jiàn)集成命令的插值結(jié)果為: ,精確值為:sin(x) ans = 0.642787609686539由于題目要求用兩點(diǎn)三次插值公式和三點(diǎn)三次公式求解,直接按課本公式代入運(yùn)算即可.兩點(diǎn)三次插值結(jié)果(選用點(diǎn)和的數(shù)據(jù)):x0=pi/6,pi/4,pi/3 x0 = 0.523598775598299 0.785398163397448 1.047197551196598 y0=sin(x0) y0 = 0.500000000000000 0.707106781186547 0.866025403784439

19、 dy=cos(x0) dy = 0.866025403784439 0.707106781186548 0.500000000000000 x=2*pi/9 x = 0.698131700797732 H2=(1+2*(x-x0(1)/(x0(2)-x0(1)*(x-x0(2)/(x0(1)-x0(2)2*y0(1)+. (1+2*(x-x0(2)/(x0(1)-x0(2)*(x-x0(1)/(x0(2)-x0(1)2*y0(2)+. (x-x0(1)*(x-x0(2)/(x0(1)-x0(2)2*dy(1)+. (x-x0(2)*(x-x0(1)/(x0(2)-x0(1)2*dy(2) H

20、2 = 0.642781665744313三點(diǎn)三次插值結(jié)果:h0=(x-x0(2)/(x0(1)-x0(2)2*(x-x0(3)/(x0(1)-x0(3);h1=(1-(x-x0(2)*(1/(x0(2)-x0(1)+1/(x0(2)-x0(3)*(x-x0(1)*(x-x0(3)/(x0(2)-x0(1)*(x0(2)-x0(3);h2=(x-x0(1)/(x0(3)-x0(1)*(x-x0(2)/(x0(3)-x0(2)2;dh=(x-x0(2)*(x-x0(1)*(x-x0(3)/(x0(2)-x0(1)*(x0(2)-x0(3);H3=h0*y0(1)+h1*y0(2)+h2*y0(3

21、)+dh*dy(2) H3 = 0.6428010064027956 根據(jù)函數(shù)的數(shù)據(jù)(如下表所示),分別用兩點(diǎn)一次插值、帶導(dǎo)數(shù)的二次插值、兩點(diǎn)三次插值計(jì)算的近似值，比較其精度.149161234解:先輸入數(shù)據(jù):x0=1 4 9 16 x0 = 1 4 9 16 y0=sqrt(x0) y0 = 1 2 3 4 dy=1./2*1./sqrt(x0) dy = 0.500000000000000 0.250000000000000 0.166666666666667 0.125000000000000x=5 %插值點(diǎn)x = 5(1)兩點(diǎn)一次插值,選取最靠近5的點(diǎn)和兩組數(shù)據(jù)計(jì)算:%兩點(diǎn)一次插值%找

22、到兩組最靠近插值點(diǎn)的數(shù)據(jù)for i=1:length(x0) if x0(i)x break; endendy1=(x-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)*y0(i)+(x-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i)*y0(i+1) %計(jì)算插值點(diǎn)的插值結(jié)果y1 = 2.200000000000000(2)帶導(dǎo)數(shù)的二次插值 因?yàn)?因此利用(1)中找到的兩組數(shù)據(jù)即可,不同之處在于要附加利用上導(dǎo)數(shù)的值.y2=(1-(x-x0(i)/(x0(i)-x0(i+1)*(x-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)*y0(i)+power(x-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i),2)*y0

23、(i+1)+(x-x0(i)*(x-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)*dy(i) y2 = 2.240000000000000(3)兩點(diǎn)三次插值,直接代入計(jì)算即可,與(2)不同在于多了一個(gè)導(dǎo)數(shù)條件.y3=(1-2*(x-x0(i)/(x0(i)-x0(i+1)*power(x-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1),2)*y0(i)+. (1-2*(x-x0(i+1)/(x0(i+1)-x0(i)*power(x-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i),2)*y0(i+1)+. (x-x0(i)*power(x-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1),2)*dy(i)

24、+. (x-x0(i+1)*power(x-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i),2)*dy(i+1) y3 = 2.237333333333333此外,由于Matlab中已集成有分段三次插值函數(shù),直接利用該命令也可解答此題. y=interp1(4 9,2 3,5,pchip)y = 2.200000000000000五、設(shè)計(jì)總結(jié) 總結(jié)：在條件有限情況下，構(gòu)造固定的階數(shù)的插值多項(xiàng)式可能會(huì)是一種簡(jiǎn)單的方案，當(dāng)要反復(fù)計(jì)算逼近值時(shí)，最好用牛頓插值多項(xiàng)式；對(duì)于表格數(shù)據(jù)的常規(guī)插值，最好使用分段線性插值；如果插值總體平滑很重要，應(yīng)該考慮運(yùn)用三次樣條插值或三次Hermite插值，同時(shí)表格數(shù)據(jù)構(gòu)成函數(shù)的

25、導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，最好使用三次樣條插值.六、參考文獻(xiàn)1 計(jì)算方法引論 徐萃薇,孫繩武 高等教育出版社 2001.4 2 數(shù)值分析 (美)David Kincaid & Ward Cheney 機(jī)械工業(yè)出版社 2005.9 (譯)王國(guó)榮,俞耀明,徐兆亮 3 數(shù)值計(jì)算原理 李慶揚(yáng),關(guān)冶,白峰杉 清華大學(xué)出版社 2000.9 4 數(shù)值計(jì)算方法 鄭慧嬈,陳紹林,莫忠良,黃象鼎 武漢大學(xué)出版社 2002.10 5 現(xiàn)代數(shù)值分析 蔣耀林 國(guó)防工業(yè)出版社 2004.9 6 現(xiàn)代數(shù)值數(shù)學(xué)和計(jì)算 同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室 同濟(jì)大學(xué)出版社 2004.7 7 數(shù)值計(jì)算方法及其應(yīng)用 朱長(zhǎng)青 科學(xué)出版社 2006.1 8 數(shù)

26、值計(jì)算方法 曾金平 湖南大學(xué)出版社 2004.8 9 數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ) 沈劍華 同濟(jì)大學(xué)出版社 2004.5 10 數(shù)值分析算法描述 徐士良 機(jī)械工業(yè)出版社 2003.4 11 數(shù)值分析 李慶揚(yáng),王能超,易大義 清華大學(xué)出版社&施普林格出版社 2001.8七、心得體會(huì)（1）韓建：通過(guò)此次課程設(shè)計(jì)我們可以知道計(jì)算機(jī)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用已經(jīng)如此普及，尤其是在數(shù)學(xué)計(jì)算當(dāng)中，Matlab軟件更是發(fā)揮了不可替代的作用Matlab以其強(qiáng)大的功能，方便了當(dāng)今數(shù)值計(jì)算，數(shù)學(xué)教程，及工程計(jì)算等眾多領(lǐng)域拉格朗日插值的優(yōu)點(diǎn)：它的形式是對(duì)稱的，這樣很容易編程上機(jī)實(shí)現(xiàn)。它在理論上十分重要。 牛頓插值的優(yōu)點(diǎn)：在計(jì)算插值多項(xiàng)式及

27、求解函數(shù)近似值都比較方便且計(jì)算量相對(duì)較小。從公式中可以看出：每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，因此便于遞推運(yùn)算，所以其具有靈活增加節(jié)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)。（2）高育坤： 深入了解matlab運(yùn)行環(huán)境和操作環(huán)境，初步學(xué)會(huì)調(diào)試程序，運(yùn)用繪圖命令制作函數(shù)圖象；了解常見(jiàn)幾種插值法，以及數(shù)值分析的解決方案；懂得如何運(yùn)用已有的知識(shí)更進(jìn)一步了解未知的問(wèn)題；獨(dú)立解決和思考問(wèn)題的能力有了一定的提高。（3）李婧：通過(guò)自己動(dòng)手作實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)如何用插值方法解決實(shí)際問(wèn)題，提高探索和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，促使自己提煉思想，按邏輯順序進(jìn)行整理，并以他人能領(lǐng)會(huì)的方式表達(dá)自己思想形成的過(guò)程和理由。提高了寫作、文字處理、排版等方

28、面的能力。（4）王冬妮：各種插值法都有自己的利與弊，拉格朗日插值法運(yùn)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，但當(dāng)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)，組成拋物插值的時(shí)候，精度就可以提高很多。牛頓插值法、拉格朗日插值法等線性插值法只能適合在已知點(diǎn)不多的情況下使用，當(dāng)已知的坐標(biāo)點(diǎn)很多時(shí)候應(yīng)該將區(qū)間分成小段進(jìn)行分段線性插值或者分段拋物插值。采用組合的思想是數(shù)值分析常用的思想和技巧之一，單個(gè)的方法得到的結(jié)果雖然不是很理想，但將多個(gè)方法按照某種方式結(jié)合在一起就能改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法，我們應(yīng)該觸類旁通，在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)使用這種思想。 八、附錄1分段插值的MATLAB實(shí)現(xiàn) 在MATLAB編輯窗口中輸入 x=0:10; y=1./(1+x.2); xi=0:1

29、:10; yi=interp1(x,y,xi,linear); t=0:0.1:10; z=1./(1+t.2); plot(x,y,p,xi,yi,t,z) 2 Hermite插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB編輯窗口中輸入 x=1,2; y=2,3; y1=0,-1; f=Hermite(x,y,y1,1.5) f= 2.625運(yùn)行程序時(shí)調(diào)用的Hermite函數(shù)如下： function f=Hermite(x,y,y_1,x0) syms t; f=0.0; if(length(x)=length(y) if(length(y)=length(y_1) n=length(x); else disp(y和y的導(dǎo)數(shù)的維數(shù)不相等！); return; end end else disp(x和y的維數(shù)不相等！); return; end for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if(j=i) h=h*(t-x(j)2/(x(i)-x(j)2); a=a+1/(x(i)-x(j); end end f=f+h*(x(i)-t)*(2*a*y(i)-y(i)-y_1(i)+y(i); if(i=n) if(nargin=4) f=subs(f,t,x0); e