高中數(shù)學(xué)選修4-4 1.3簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.ppt

1、三簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,1.極坐標(biāo)方程的定義 一般地,在極坐標(biāo)系中,如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f(,)=0,并且坐標(biāo)適合方程f(,)=0的點(diǎn)都在曲線C上,那么方程f(,)=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程. 2.圓的極坐標(biāo)方程 (1)圓心在C(a,0)(a0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為=2acos (如圖); (2)圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為=r(如圖); (3)圓心在點(diǎn) 處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為=2asin (0)(如圖).,做一做1在極坐標(biāo)系中,以(3,0)為圓心,半徑等于3的圓的極坐標(biāo)方程為. 答案：=6cos ,3.直線的極坐標(biāo)方程 (1)若直線l經(jīng)

2、過極點(diǎn),從極軸到直線l的角為(0),則直線l的極坐標(biāo)方程為=(R)或=+(R); (2)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸時(shí),直線l的極坐標(biāo)方程為cos =a; (3)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M 且平行于極軸時(shí),直線l的極坐標(biāo)方程為sin =b; (4)若直線經(jīng)過點(diǎn)M(0,0),且從極軸到此直線的角為,則直線l的極坐標(biāo)方程為sin(-)=0sin(-0).,做一做2過點(diǎn)P 且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是.,4.若0,我們規(guī)定點(diǎn)M(,)與點(diǎn)P(-,)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱. 5.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,做一做3直角坐標(biāo)方程x2+(y-2)2=4化為極坐標(biāo)方程是. 解析：x2+(y-2)2=4可以

3、化為x2+y2=4y,把 代入,得(cos )2+(sin )2=4sin , 化簡(jiǎn)整理得2=4sin . 因?yàn)榍€經(jīng)過極點(diǎn),所以極坐標(biāo)方程可簡(jiǎn)化為=4sin . 答案：=4sin ,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是唯一的. () (2)x軸所在的直線在極坐標(biāo)系中的方程為=0. () (3)極坐標(biāo)方程=3表示的曲線是圓.() (4)圓x2+y2=1化為極坐標(biāo)方程一定是=1. () (5)極坐標(biāo)方程cos = (0)表示的曲線是兩條射線.(),探究一,探究二,探究三,思維辨析,求圓的極坐標(biāo)方程 【例1】 在極坐標(biāo)系

4、中,求半徑為r,圓心為C 的圓的極坐標(biāo)方程. 分析：根據(jù)題意畫出草圖,設(shè)出點(diǎn)M(,),建立,的方程并化簡(jiǎn),最后進(jìn)行檢驗(yàn). 解：由題意知,圓經(jīng)過極點(diǎn)O,設(shè)OA為其一條直徑,M(,)為圓上除點(diǎn)O,A以外的任意一點(diǎn),如圖,則|OA|=2r,連接OM,AM,則OMMA. 在RtOAM中,|OM|=|OA|cosAOM,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1在如圖所示的極坐標(biāo)系中,以M 為圓心,半徑r=1的圓M的極坐標(biāo)方程是.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究二求直線的極坐標(biāo)方程 【例2】 導(dǎo)學(xué)號(hào)73760008求過點(diǎn)A(1,0)且與極軸所成的角為 的直線的

5、極坐標(biāo)方程. 分析：本題可用兩種解法: (1)先根據(jù)題意畫出草圖,并設(shè)點(diǎn)M(,)是直線上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn),從而由等量關(guān)系建立關(guān)于,的方程并化簡(jiǎn),最后檢驗(yàn)是不是所求即可; (2)先由已知條件寫出直線的點(diǎn)斜式的直角坐標(biāo)方程,然后由公式 化為極坐標(biāo)方程即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法一如圖,設(shè)M(,)(0)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn),連接OM.,化簡(jiǎn),得(cos -sin )=1. 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程. 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為(cos -sin )=1.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法二以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)

6、系xOy,直線的斜率k=tan =1, 直線方程為y=x-1.將y=sin ,x=cos 代入上式,得 sin =cos -1,所以(cos -sin )=1.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 【例3】 (1)直角坐標(biāo)方程y2=4x化為極坐標(biāo)方程為; (2)直角坐標(biāo)方程y2+x2-2x-1=0化為極坐標(biāo)方程為; (3)極坐標(biāo)方程= (0)化為直角坐標(biāo)方程為; (4)極坐標(biāo)方程2cos 2=4化為直角坐標(biāo)方程為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析：根據(jù)互化公式求解. (1)將x=cos ,y=sin 代入y2=4x, 得(

7、sin )2=4cos .化簡(jiǎn),得2sin2=4cos . 因?yàn)闃O點(diǎn)在曲線上,所以極坐標(biāo)方程可簡(jiǎn)化為sin2=4cos . (2)將x=cos ,y=sin 代入y2+x2-2x-1=0,得(sin )2+(cos )2-2cos -1=0, 化簡(jiǎn),得2-2cos -1=0.,(4)2cos 2=4, 2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4. 答案：(1)sin2=4cos (2)2-2cos -1=0 (3)y= x(x0)(4)x2-y2=4,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3(1)極坐標(biāo)方程=4asin 化為直角坐標(biāo)方程為; (2)極坐標(biāo)

8、方程=9(cos +sin )化為直角坐標(biāo)方程為. (3)直角坐標(biāo)方程x+y-2=0化為極坐標(biāo)方程是; (4)直角坐標(biāo)方程2x2+2y2-3x+7=0化為極坐標(biāo)方程是. 解析：(1)兩邊同乘,得2=4asin . 2=x2+y2,sin =y, 直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4ay.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)把方程變形為2=9(cos +sin ), 2=x2+y2,cos =x,sin =y, 直角坐標(biāo)方程為x2+y2=9(x+y), 即x2+y2-9x-9y=0. (3)把x=cos ,y=sin 代入x+y-2=0, 得cos +sin -2=0. 即(cos +sin )=

9、2. (4)把x=cos ,y=sin 代入2x2+2y2-3x+7=0, 得22cos2+22sin2-3cos +7=0. 化簡(jiǎn)得22-3cos +7=0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,極坐標(biāo)表述不準(zhǔn)確致誤 典例已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為cos =3,=4cos (0),則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練極坐標(biāo)方程= (R)表示的曲線是() A.直線B.射線 C.圓D.半圓,答案：A,1 2 3 4 5,1.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn) 且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是() A.sin =-2B.cos =-

10、2 C.sin =2D.cos =2,解析：過點(diǎn) 與極軸平行的直線為y=-2, 即sin =-2. 答案：A,1 2 3 4 5,2.極坐標(biāo)方程為=2cos 的圓的半徑為() A.1B.2 C.D.3 解析：由=2cos ,得2=2cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其對(duì)應(yīng)的半徑為1. 答案：A,1 2 3 4 5,3.曲線的極坐標(biāo)方程=4cos 化成直角坐標(biāo)方程為. 解析：由已知得2=4cos ,即x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4. 答案：(x-2)2+y2=4,1 2 3 4 5,4.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn) 到直線cos =2的距離是. 解析：點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為(0,1),直線cos =2的直角坐標(biāo)方程為x=2,故點(diǎn)(0,1)到直線x=2的距離d=2. 答案：2,