重慶大學(xué)高數(shù)(下)期末試題十五

1、命題人: 組題人: 審題人: 命題時(shí)間: 教務(wù)處制學(xué)院 專(zhuān)業(yè)、班 年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 考試教室 公平競(jìng)爭(zhēng)、誠(chéng)實(shí)守信、嚴(yán)肅考紀(jì)、拒絕作弊封線密重慶大學(xué)高等數(shù)學(xué)（工學(xué)類(lèi)）課程試卷 20 20 學(xué)年 第 學(xué)期開(kāi)課學(xué)院: 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 課程號(hào): 考試日期: 考試時(shí)間: 120 分鐘題 號(hào)一二三四五六七八九十總 分得 分考試提示1.嚴(yán)禁隨身攜帶通訊工具等電子設(shè)備參加考試; 2.考試作弊,留校察看,畢業(yè)當(dāng)年不授學(xué)位;請(qǐng)人代考、替他人考試、兩次及以上作弊等,屬?lài)?yán)重作弊,開(kāi)除學(xué)籍.一、選擇題(每小題3分,共18分)1. 向量在向量上的投影為 (A) (B) (C) (D) 難度等級(jí):2;知識(shí)點(diǎn):向量代數(shù)答案:(C)

2、.分析:2. 設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),若為則必有(A) (B)(C) 難度等級(jí):2;知識(shí)點(diǎn):格林公式答案: (B).分析:積分值為積分與路徑無(wú)關(guān),只有B滿(mǎn)足.3. 若是一階非齊次線性微分方程的兩個(gè)不同特解,則該方程的通解為(A) (B) (C) (D)難度等級(jí):1;知識(shí)點(diǎn):微分方程答案: C.分析:由一階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)知,其通解應(yīng)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與原各的一個(gè)特解之和.而是齊次方程的解,因此齊次方程的通解應(yīng)為因此非齊次方程的通解應(yīng)是或故應(yīng)選(C).4. 設(shè)則(A) (B) (C) (D) 難度等級(jí):2;知識(shí)點(diǎn):三重積分答案:(D).分析:積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱(chēng),為關(guān)于的奇函數(shù),積分值為余

3、下為倍體積,球體體積為故選D.5. 曲線在點(diǎn)處的法平面方程為（ ）.(A) (B)(C) (D)答：（B）難度等級(jí)：1；知識(shí)點(diǎn)：曲線的法平面.分析 法平面的法向量就是曲線的切向量，為，所以法平面方程為： 即 與(A)、(B)、（C)、（D)比較后知，應(yīng)選（B).6. 設(shè)，則(A) (B) (C) (D) 答案：(C) 難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)分析：因?yàn)榈牡南禂?shù)為，即，故 二、填空題(每小題3分,共18分)7. 已知?jiǎng)t難度等級(jí)1; 知識(shí)點(diǎn)：全微分答案: (8. 已知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為則的收斂半徑為難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)答案:分析:由的收斂半徑為故即9.設(shè)向量場(chǎng)則旋度難度等級(jí)1; 知識(shí)點(diǎn)

4、：旋度答案:10. 若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為其中為獨(dú)立的任意常數(shù),則該方程為答案:分析:由通解可得特征方程為其對(duì)應(yīng)的二階線性常系數(shù)齊次微分方程 11. 設(shè)則難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：二重積分答案:分析:由幾何意義知,該積分為頂為底為坐標(biāo)面的四分之一園面曲頂柱體體積,即為一半徑為的球體的八分之一,得結(jié)果.12. 函數(shù)在上的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 答案: 分析: 三、計(jì)算題(每小題6分,共24分)13. 判定級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的,是絕對(duì)收斂還是條件收斂？難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)的斂散性解:由知級(jí)數(shù)發(fā)散.-3分又故所給級(jí)數(shù)收斂且條件收斂-3分14. 方程組確定隱函數(shù)求難度等級(jí)2; 知識(shí)

5、點(diǎn)：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)分析:用解出再求偏導(dǎo)數(shù).解: 15. 計(jì)算二重積分其中是頂點(diǎn)分別為和的三角形閉區(qū)域.難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：二重積分解 :積分區(qū)域可表示為 于是, 16.計(jì)算其中是球面與柱面的交線,從軸正方向看進(jìn)去為逆時(shí)針難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：第二類(lèi)曲線積分分析:用斯托克斯公式化為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,并計(jì)算此曲面積分.解: 或解:四、解答題(每小題6分,共12分)17. 設(shè)函數(shù)為已知的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，求微分方程的通解.難度等級(jí)2; 知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次線性微分方程分析: 因?yàn)槭且阎瘮?shù),故方程為一階非齊次線性微分方程.解: 由通解公式可得即18. 函數(shù)由方程所確定，其中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算

6、: 難度等級(jí)：2，知識(shí)點(diǎn)：多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).分析 由方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求出后可得，代入即可得到結(jié)論.解 五、 證明題 (每小題6分,共12分)19. 設(shè)向量,為實(shí)數(shù)，試證：其模最小的向量垂直于向量. 難度等級(jí)：2；知識(shí)點(diǎn)：向量代數(shù).分析 先計(jì)算出，再求出它的模，何時(shí)達(dá)到最小值？證 設(shè)，于是，將的坐標(biāo)代入得，當(dāng)時(shí)，模最小，這時(shí)且有.故結(jié)論正確.20. 驗(yàn)證曲線積分的被積表達(dá)式為某二元函數(shù)的全微分,并計(jì)算該曲線積分.難度等級(jí)：2；知識(shí)點(diǎn)：第二類(lèi)曲線積分.2分析:可利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)找被積函數(shù)的原函數(shù).證:顯然, 是全微分.于是六、應(yīng)用題 (每小題8分,共16分)21.求拋物面的切平面使得與該拋物面間并介于柱面內(nèi)部的部分的體積為最小.難度等級(jí)3; 知識(shí)點(diǎn)：綜合題，多元函數(shù)的幾何應(yīng)用、二重積分和多元函數(shù)的極值。分析:先給出帶參數(shù)切平面,求出幾何體體積,再利用駐點(diǎn)求極值解:由于介于拋物面柱面及平面之間的立體體積為定值,所以只要介于切平面柱面及平面之間的立體體積為最大即可.設(shè)與切于點(diǎn)則的法向量為且切平面方程為:即 于是 則由得駐點(diǎn)且由于實(shí)際問(wèn)題有解,而駐點(diǎn)唯一,所以當(dāng)切點(diǎn)為時(shí),題中所求體積為最小.此