點(diǎn)線(xiàn)面關(guān)系知識(shí)總結(jié)和例題

1、點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)l 知識(shí)梳理一、直線(xiàn)與平面平行1.判定方法（1）定義法：直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。（2）判定定理：（3）其他方法： 2.性質(zhì)定理： 二、平面與平面平行1.判定方法（1）定義法：兩平面無(wú)公共點(diǎn)。（2）判定定理： （3）其他方法： ; 2.性質(zhì)定理：三、直線(xiàn)與平面垂直（1）定義：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都垂直，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。（2）判定方法 用定義. 判定定理: 推論: （3）性質(zhì) 四、平面與平面垂直（1）定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線(xiàn)二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。（2）判定定理 （3）性質(zhì)性質(zhì)定理 l “轉(zhuǎn)化思想”面面平行 線(xiàn)面平行 線(xiàn)線(xiàn)平行面

2、面垂直 線(xiàn)面垂直 線(xiàn)線(xiàn)垂直l 求二面角1.找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線(xiàn),它們所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩半平面內(nèi)分別作射線(xiàn)OAl，OBl，則AOB叫做二面角的平面角1如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)。l 求線(xiàn)面夾角定義：斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線(xiàn)和平面所成的角（或斜線(xiàn)和平面的夾角）方法：作直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)，與線(xiàn)面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該線(xiàn)與平面的夾角

3、。1：在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐SABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是_2：在正方體ABCDA1B1C1D1中，BC1與平面AB1所成的角的大小是_；BD1與平面AB1所成的角的大小是_；CC1與平面BC1D所成的角的大小是_； BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是_； BD1與平面BC1D所成的角的大小是_；3：已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線(xiàn)OA、OB、OC兩兩夾角為60，試求OA與平面BOC所成的角的大小l 求線(xiàn)線(xiàn)距離說(shuō)明：求異面直線(xiàn)距離的方法有：(1)（直接法）當(dāng)公垂線(xiàn)段能直接作出時(shí)，直接求此時(shí)，作出并證明異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，是求異面直線(xiàn)距離的關(guān)鍵(2)（轉(zhuǎn)化法）把線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面

4、距離，如求異面直線(xiàn)、距離，先作出過(guò)且平行于的平面，則與距離就是、距離（線(xiàn)面轉(zhuǎn)化法）也可以轉(zhuǎn)化為過(guò)平行的平面和過(guò)平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線(xiàn)距離（面面轉(zhuǎn)化法）(3)（體積橋法）利用線(xiàn)面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來(lái)求(4)（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來(lái)解兩條異面直線(xiàn)間距離問(wèn)題，教科書(shū)要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線(xiàn)時(shí)的距離），這方面的問(wèn)題的其他解法，要適度接觸，以開(kāi)闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求1：在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線(xiàn)和之間的距離。l 線(xiàn)面平行（包括線(xiàn)面距離）1：已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、分別是、的中點(diǎn)，試判

5、斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明l 面面平行（包括面面距離）1：已知正方體 ，求證2：在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線(xiàn)和之間的距離l 面面垂直1：已知直線(xiàn)PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。 2：已知直線(xiàn)PA垂直于O所在的平面，A為垂足，AB為O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC。 參考答案l 求二面角分析:找二面角的平面角,有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線(xiàn),它們所成的角就是二面角的平面角. 解：在RtSAC中，SA=1，SC=2，ECA=30，在RtDEC中，DEC=90， EDC=60， 所求的二面角

6、為60。l 求線(xiàn)線(xiàn)距離解法1：（直接法）如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)，易證：，為異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)段，易證：小結(jié)：此法也稱(chēng)定義法，這種解法是作出異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段來(lái)解但通常尋找公垂線(xiàn)段時(shí)，難度較大解法2：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面，與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長(zhǎng)為所求距離，小結(jié)：這種解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面平面，與的距離等于平面與平面的距離平面，且被平面和平面三等分；所求距離為小結(jié)：這種解法是線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為面面距離解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，且則，故的最小值，即與的距離等于小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量

7、，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的最小值來(lái)得到二異面直線(xiàn)之間的距離解法5：（體積橋法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即與的距離等于小結(jié)：本解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離，再將線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之這種方法在后面將要學(xué)到l 線(xiàn)面平行例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線(xiàn)怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)證法1：連結(jié)交于點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，在中，是的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)是的中位線(xiàn)，又平面，平面，平面分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出證法2：為的中位線(xiàn)，平面，平面，平面同理：平面，平面平面，又平面，平面l 面面平行例一：證明：為正方體， 又 平面，故平面同理平面又， 平面平面例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：