圓錐曲線重要結論

1、圓錐曲線中的重要性質經典精講上性質一：橢圓中焦點三角形的內切圓圓心軌跡是以原焦點為頂點的橢圓雙曲線中焦點三角形的內切圓圓心軌跡是以過原頂點的兩平行開線段(長為2b)1已知動點P在橢圓上，為橢圓之左右焦點，點為內心，試求點的軌跡方程.2已知動點P在雙曲線上，為雙曲線之左右焦點，圓是的內切圓，探究圓是否過定點，并證明之.性質二：圓錐曲線的焦點弦的兩個焦半徑倒數之和為定值。橢圓的焦點弦的兩個焦半徑倒數之和為常數雙曲線的焦點弦的兩個焦半徑倒數之和為常數AB在同支時 AB在異支時拋物線的焦點弦的兩個焦半徑倒數之和為常數 3.已知橢圓，F為橢圓之左焦點，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，是否存在實常數，使恒

2、成立.并由此求AB的最小值.性質三：圓錐曲線相互垂直的焦點弦長倒數之和為常數橢圓互相垂直的焦點弦倒數之和為常數雙曲線互相垂直的焦點弦倒數之和為常數拋物線互相垂直的焦點弦倒數之和為常數4 已知橢圓，為橢圓之左焦點，過點的直線分別交橢圓于A，B兩點和C，D兩點，且，是否存在實常數，使恒成立.并由此求四邊形ABCD面積的最小值.性質四：橢圓、雙曲線、拋物線的焦點弦直線被曲線及對稱軸所分比之和為定值5已知橢圓，點為橢圓之左焦點，過點的直線分別交橢圓于A，B兩點，設直線AB與軸于點，試求的值.性質五：橢圓、雙曲線的焦半徑向量模的比之和為定值過橢圓或雙曲線上任點A作兩焦點的焦點弦AB，AC，其共線向量比之

3、和為定值即6已知方向向量為的直線過點和橢圓的焦點，且橢圓的中心和橢圓的右準線上的點滿足：.求橢圓的方程；設為橢圓上任一點，過焦點的弦分別為,設，求的值.圓錐曲線中的重要性質經典精講中性質一：過圓錐曲線焦點所在軸上任意一點N（t,0）的一條弦端點與對應點的連線所成角被對稱軸平分。1. 已知橢圓，點為橢圓之左焦點，過點的直線分別交橢圓于A，B兩點，問是否在x軸上存在一點P，使得斜率.2.已知雙曲線，過點的直線交雙曲線于A，B兩點，問是否在x軸上存在一點P，使得斜率.3.拋物線，直線過點P(t,0)并交拋物線于A,B兩點，點A關于x軸的對稱點A,則點A，B，P(-t,0)三點共線。性質二：過圓錐曲線

4、上一定點作傾角互補的兩直線與曲線的另兩交點的連線的傾角為定值4. 過點作拋物線的直線PA、PB，且斜率.（1） 探究直線AB的斜率是否為定值.（2） 試研究三角形PAB的面積是否有最大值.性質三：橢圓的弦的斜率與其中點和橢圓中心連線的斜率積為定值雙曲線的弦的斜率與其中點和雙曲線中心連線的斜率積為定值橢圓上動點對直徑端點的斜率積為定值雙曲線上動點對直徑端點的斜率積為定值5.已知橢圓的動弦AB的中點為M，試研究斜率是否為定值（O為原點）。6.已知定點，動點P滿足，直線PA，PB的斜率，試探求點P的軌跡.7已知橢圓的離心率為，且過點。（1）求橢圓C的方徎;（2）設橢圓的左右頂點分別為A、B，點S是橢

5、圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線L :分別交于M，N兩點，求線段MN長度的最小值。 （法1：設直線AS：x=my-2,得點S縱坐標與m的關系，同理設BS： x=ny+2得點S縱坐標與n的關系，進而易得mn=-4，成為MN最值分析的條件。法2，直接使用上述結果可得斜率之積為定值=-1/4，或轉為直接證明之得關健條件，后面過程相同，簡化了運算。）性質四：橢圓切線與切點和中心連線的斜率積為定值雙曲線切線與切點和中心連線的斜率積為定值7.已知點P為橢圓上的動點，設點P的切線斜率為，試研究斜率是否為定值（O為原點）。性質五：在圓錐曲線焦點所在軸上必存在一定點，它與焦點弦端點所張的向量數量積為

6、定值，且該定值為,此時的定點坐標為，拋物線時定點為原點。8.已知橢圓，直線過焦點交橢圓于A、B兩點，是否存在一定點P使為定值.9.已知橢圓，直線過點交橢圓于A、B兩點，是否存在一定點P使為定值.圓錐曲線中的重要性質經典精講下性質一：以圓錐曲線上一定點為頂點作直角三角形，則斜邊所在直線必過定點。1.拋物線上一點，A,B是拋物線上兩動點，且，問直線AB是否過定點？定點坐標是什么？性質二：直角三角形的直角頂點在中心，斜邊的端點在圓錐曲線上,則中心在斜邊上的射影軌跡是圓。2.若直角三角形ABO的直角頂點O在橢圓的中心，OA，OB交橢圓于A,B兩點，求證：點O在斜邊上的射影H的軌跡是圓。3.橢圓，直線l

7、交橢圓于P,Q兩點，若,試求直線l在y軸上截距的取值范圍。4. (2009山東卷理)設橢圓E： 過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。5. （2009北京理）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值。性質三：橢圓中垂直于長軸的弦的端點對長軸頂點的連線的交點軌跡為與橢圓共頂點的雙曲線 雙曲線中垂直于長軸的弦的端點對實軸頂點的連線的交點軌跡為與雙曲線共頂點的橢圓.6.已知橢圓的動弦垂直交x軸于點，橢圓的長軸端點分別為，試探求直線交點的軌跡.性質四： 橢圓、雙曲線、拋物線準線上點對焦點弦端點及焦點斜率成等差數列。（推廣：x軸上一定點Q(t，0)的直線交橢圓于兩點A，B，則