高中數(shù)學(xué)典型例題解析第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、第二章第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.12.1映射、函數(shù)、反函數(shù)映射、函數(shù)、反函數(shù) 一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué) 1.映射：一般地，設(shè) A、B 兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則 ，對于集合 A 中的任 何一個(gè)元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做集合 A 到集 合 B 的映射，記作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的對應(yīng)法則) 2.函數(shù)： 設(shè) A，B 都是非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合 A 中每一個(gè)元 素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，且 B 中每一個(gè)元素都的原象，這樣的對應(yīng)叫 做從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函

2、數(shù)，記作 ( )yf x . 其中所有的輸入值x組成的集合 A 稱為函數(shù) ( )yf x 定義域. 對于 A 中的每一個(gè)x，都有一個(gè)輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合 稱為函數(shù)的值域. 3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)(xA)的值域是 C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中 x,y 的關(guān)系， 用 y 把 x 表示出來，得到 x=f-1(y). 若對于 y 在 C 中的任何一個(gè)值，通過 x 在 A 中都有唯 一的值和它對應(yīng)，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫 做函數(shù) y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y). 我們一般用 x 表示自變量

3、，用 y 表示函 數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù) x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改寫成 y=f-1(x) 反函數(shù) y=f-1(x)的 定義域、值域分別是函數(shù) y=f(x)的值域、定義域. 二、疑難知二、疑難知識導(dǎo)析識導(dǎo)析 1.對映射概念的認(rèn)識 (1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的， (2) 輸出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到對應(yīng)的輸入值.集 合 A 中每一個(gè)輸入值，在集合 B 中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合 B 中有剩留元 素；允許多對一，不允許一對多. (3)集合 A，B 可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它類型的集合

4、. 2.對函數(shù)概念的認(rèn)識 （1）對函數(shù)符號 ( )f x的理解知道 y=( )f x與 ( )f x的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量，( )f x是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對應(yīng). (2)注意定義中的集合 A，B 都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合； （3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法. 3.對反函數(shù)概念的認(rèn)識 （1）函數(shù)y=( )f x只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)； （2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不 能由其解析式來求，而應(yīng)該通過原函數(shù)的值域而得. （3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它

5、們的圖像關(guān)于 y=x 對稱. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11設(shè) Ma，b，c ，N2,0,2,求（1）從 M 到 N 的映射種數(shù)； （2）從 M 到 N 的映射滿足 f(a)f(b)f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù). 錯(cuò)解錯(cuò)解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結(jié)合映射的概念，有 220022 0 ,2 ,2 ,2,0 ,2 222220 aaaaaa bbbbbb cccccc ，共 6 個(gè)映射 (2)由（1）得滿足條件的映射僅有 2 0 2 a b c 一種情況 錯(cuò)因錯(cuò)因：沒有找全滿足條件的映射個(gè)數(shù)，關(guān)健是對概念認(rèn)識不清 正解正解：（1）由于 Ma，b，c ，N2

6、,0,2 ，結(jié)合映射的概念，有 一共有 27 個(gè)映射 （2）符合條件的映射共有 4 個(gè) 0222 ,2,2,0 ,0, 2220 aaaa bbbb cccc 例例 22已知函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)(1)f x 的定義域 錯(cuò)解錯(cuò)解：由于函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，即01x，112x (1)f x 的定義域是1，2 錯(cuò)因錯(cuò)因：對函數(shù)定義域理解不透，不明白( )f x與( ( )f u x定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在 這里只要明白：( )f x中x取值的范圍與( ( )f u x中式子( )u x的取值范圍一致就好了. 正解正解：由于函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，即01

7、x(1)f x 滿足011x 10 x ，(1)f x 的定義域是1，0 例例 33已知： *, xN 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，求(3)f. 錯(cuò)解錯(cuò)解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，(2)(2)53f xxx 故 5(6) ( ) 3(6) xx f x xx ，(3)f330. 錯(cuò)因錯(cuò)因：沒有理解分段函數(shù)的意義，(3)f的自變量是 3，應(yīng)代入(2)f x 中去，而不是代入 x5 中，只有將自變量化為不小于 6 的數(shù)才能代入解析式求解. 正解正解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ， (3)f(32)(5)

8、ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函數(shù)是 1( ) fx ，如果( )f x與 1( ) fx 的圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)必在 直線yx上，判斷此命題是否正確？ 錯(cuò)解錯(cuò)解：正確 錯(cuò)因錯(cuò)因：對互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx對稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù) 1 16 1 ()log 16 x yyx與的圖像的交點(diǎn)中，點(diǎn) 1 11 1 ( , ), 2 44 2 （，）不在直線yx上，由此可以 說明說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線yx上”是不正確的. 例例 55求函數(shù) 2 ( )46yf xxx，1,5)x的值域. 錯(cuò)解錯(cuò)解： 22 (1)14 163,(5)545611ff

9、 又1,5)x，( )f x的值域是311， 錯(cuò)因錯(cuò)因: :對函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個(gè) x 值都有唯一的 y 值與之對應(yīng)，錯(cuò)誤地理解為 x 的兩端點(diǎn)時(shí)函數(shù)值就是 y 的取值范圍了. 正解正解：配方，得 22 ( )46(2)2yf xxxx 1,5)x，對稱軸是2x 當(dāng)2x 時(shí)，函數(shù)取最小值為(2)f2， ( )(5)11f xf ( )f x的值域是211， 例例 66已知( )34f xx，求函數(shù) 1( 1)fx 的解析式. 錯(cuò)解錯(cuò)解：由已知得(1)3(1)437f xxx 37,yx即 7 3 y x ， 1( 1)fx 7 3 x 錯(cuò)因錯(cuò)因：將函數(shù) 1( 1)fx 錯(cuò)誤地認(rèn)為是(

10、1)f x 的反函數(shù)，是由于對函數(shù)表達(dá)式理解不透 徹所致，實(shí)際上(1)f x 與 1( 1)fx 并不是互為反函數(shù)，一般地應(yīng)該由( )f x先求 1( ) fx ，再去得到 1( 1)fx . 正解正解：因?yàn)? )34f xx的反函數(shù)為 1( ) fx 4 3 x ， 所以 1( 1)fx (1)43 33 xx 1 1 3 x 例例 77根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式： （1）已知( )f x是二次函數(shù)，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )f x （3）若( )f x滿足 1 ( )2 ( ),f xfax x 求( )f x 解解

11、：（1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解 設(shè)( )f x 2 (0)axbxca由于(0)0f得 2 ( )f xaxbx， 又由(1)( )1f xf xx， 22 (1)(1)1a xb xaxbxx 即 22 (2)(1)1axab xabaxbx 21 1 0 2 1 abb aab ab 因此：( )f x 2 11 22 xx (2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解 設(shè) 22 ( )(1)2(1)1(1)f uuuuu ( )f x 2 1x （1x ） （3）由于( )f x為抽象函數(shù)，可以用消參法求解 用 1 x 代x可得： 11 ( )2 ( ),ff x

12、a xx 與 1 ( )2 ( )f xfax x 聯(lián)列可消去 1 ( )f x 得：( )f x 2 33 aax x . 1(0),1(1)uxxxuu 點(diǎn)評點(diǎn)評：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)( )f x的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知 ( )f g x表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 例例 88 已知xyx623 22 ，試求 22 yx 的最大值. 分析分析：要求 22 yx 的最大值，由已知條件很快將 22 yx 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) , 2 9 )3( 2 1 )( 2 xxf然后求極值點(diǎn)的x值，聯(lián)系到0 2 y，這一條件，既快又準(zhǔn)地求

13、出最大值. 解 由 xyx623 22 得 . 2 0, 03 2 3 , 0 .3 2 3 22 22 xxxy xxy 又, 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 當(dāng)2x時(shí)， 22 yx 有最大值，最大值為 . 4 2 9 )32( 2 1 2 點(diǎn)評點(diǎn)評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下： 由 xyx623 22 得 ,3 2 3 22 xxy , 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 當(dāng)3x時(shí)， 22 yx 取最大值，最大值為 2 9 這種解法由于忽略了0 2 y這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，要注意

14、審題，不僅 能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知 條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解 題. 例例 99設(shè)( )f x是 R 上的函數(shù)，且滿足(0)1,f并且對任意的實(shí)數(shù), x y都有 ()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表達(dá)式. 解法一解法一：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，設(shè)xy， 得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x 2 1xx 解法二解法二：令0 x ，得(0)(0)(1)fyfyy 即()1(1)fyyy 又將y用x代換到上式中得( )f x

15、 2 1xx 點(diǎn)評點(diǎn)評：所給函數(shù)中含有兩個(gè)變量時(shí)，可對這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量 相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1. 已知函數(shù) f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素 的個(gè)數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 2.對函數(shù)baxxxf 2 3)(作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是( )A. ttg 2 1 log)(B. t tg) 2 1 ()( C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)

16、=0 的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲線是 ( ) 4.函數(shù) f(x)的最小值為 19 i1 |xn| A190 B.171 C.90 D.45 5. 若函數(shù)f(x)= 34 x mx (x 4 3 )在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( ) A.3B. 2 3 C. 2 3 D.3 6.已知函數(shù)( )f x滿足：()( )( )f abf af b，(1)2f，則 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff . 7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=) 1 ( 1 2 x x a a (其中a0,a

17、1,x0),求f(x)的表達(dá)式. ABCD 8.已知函數(shù)( )f x是函數(shù) 2 1 101 x y （xR）的反函數(shù)，函數(shù)( )g x的圖像與函數(shù) 43 1 x y x 的圖像關(guān)于直線 yx1 成軸對稱圖形，記( )F x( )f x+( )g x. （1）求函數(shù) F（x）的解析式及定義域； （2）試問在函數(shù) F（x）的圖像上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn) A、B，使直線 AB 恰好與 y 軸垂直？ 若存在，求出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 2.22.2 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)的單調(diào)性： （1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù) ( )yf x 的定義域?yàn)?I，如果定

18、義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任 意兩個(gè)自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時(shí)，都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增 函數(shù). （2）減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù) ( )yf x 的定義域?yàn)?I，如果定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任 意兩個(gè)自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時(shí),都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減 函數(shù). （3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如 y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) f(x)在 這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 2.函數(shù)的奇偶性： （1）奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)

19、 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù). （2）一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(x) =f(x)，那么 函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù). （3）如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說 f(x)具有奇偶性. 3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個(gè)值 x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x0)作為縱坐標(biāo)， 就得到平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)（x0,f(x0)） ，當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，就得到一 系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合（點(diǎn)集）組成的圖形就是函數(shù) y=f(x)的圖像. 二、疑難知識導(dǎo)析二、疑難知識導(dǎo)析 1. 對函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)

20、性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間上來討 論，函數(shù) y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù) 在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間 而言的，所以要受到區(qū)間的限制. 2.對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上， 要明確對定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)：函數(shù)的定義域關(guān)于 原點(diǎn)對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a

21、)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng) 圖像的特殊的對稱性的反映. 這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識， 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求. 3. 用列表描點(diǎn)法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點(diǎn)，就無法了解函數(shù) 圖像的特點(diǎn)，如二次函數(shù)圖像是拋物線，如果不知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和存在著對稱軸， 盲目地列表描點(diǎn)是很難將圖像的特征描繪出來的. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11判斷函數(shù) 1 ( ) 3 x y 的單調(diào)性. 錯(cuò)解錯(cuò)解： 11 01,( ) 33 x y 是減函數(shù) 錯(cuò)因錯(cuò)因：概念不清，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)

22、，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間） ， 仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化. 當(dāng)然這個(gè)函數(shù)可化為3xy ，從而可判斷出其單調(diào)性. 正解正解：令tx ，則該函數(shù)在 R 上是減函數(shù)，又 11 01,( ) 33 t y 在 R 上是減函數(shù)， 1 ( ) 3 x y 是增函數(shù) 例例 22判斷函數(shù) 1 ( )(1) 1 x f xx x 的奇偶性. 錯(cuò)解錯(cuò)解： 1 ( )(1) 1 x f xx x 22 1 (1)1 1 x xx x 22 ()1()1( )fxxxf x 1 ( )(1) 1 x f xx x 是偶函數(shù) 錯(cuò)因錯(cuò)因：對函數(shù)奇偶性定義實(shí)質(zhì)理

23、解不全面.對定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x) =-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件. 正解正解： 1 ( )(1) 1 x f xx x 有意義時(shí)必須滿足 1 011 1 x x x 即函數(shù)的定義域是x11x ，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以該函數(shù)既不是奇 函數(shù)也不是偶函數(shù) 例 3 判斷 2 2 ( )log (1)f xxx的奇偶性. 錯(cuò)解錯(cuò)解：)1(log)1)(log)( 2 2 2 2 xxxxxf )()(xfxf且)()(xfxf 所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 錯(cuò)因錯(cuò)因：對數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別

24、方法不靈活.定義中 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改為研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立. 正解正解：方法一：)1(log)1)(log)( 2 2 2 2 xxxxxf 1 1 log 2 2 xx )1(log 2 2 xx)(xf )(xf是奇函數(shù) 方法二：)1(log)1(log)()( 2 2 2 2 xxxxxfxf 01log)1()1(log 2 22 2 xxxx )()(xfxf)(xf是奇函數(shù) 例例 44函數(shù) y= 2 45xx 的單調(diào)增區(qū)間是_. 錯(cuò)解錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù) 2 ( )54g xxx的對稱軸是2x ，圖像是拋

25、物線，開口向下，由圖 可知 2 ( )54g xxx在(, 2 上是增函數(shù)，所以 y= 2 45xx 的增區(qū)間是 (, 2 錯(cuò)因錯(cuò)因：在求單調(diào)性的過程中注意到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究方法，但沒有考慮到函數(shù)的單 調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導(dǎo)致了解題的錯(cuò)誤. 正解正解：y= 2 45xx 的定義域是 5,1，又 2 ( )54g xxx在區(qū)間 5, 2上增函數(shù)， 在區(qū)間 2,1是減函數(shù)，所以 y= 2 45xx 的增區(qū)間是 5, 2 例例 55 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23) 0,求x的取值范圍. 錯(cuò)解錯(cuò)解：f(x)

26、是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60 解得x2 或x3 又 f(x)是定義在(3，3)上的函數(shù)， 所以 2x3 錯(cuò)因錯(cuò)因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域. 正解正解：由 66 60 333 333 2 x x x x 得,故 0x6, 又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2 或x3,綜上得 2x6,即A=x|2x6, 例例 66 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2) |lg | 10 x y . 分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們 還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形.在變換函數(shù)解析式中

27、運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思 想. 解：(1)當(dāng) x2 時(shí)，即 x-20 時(shí)， 當(dāng) x2 時(shí)，即 x-20 時(shí)， 所以 )2( 4 9 ) 2 1 ( )2( 4 9 ) 2 1 ( 2 2 xx xx y 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖) (2)當(dāng) x1 時(shí)，lgx0，y=10lgx=x； 當(dāng) 0 x1 時(shí)，lgx0， 所以 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖) 點(diǎn)評：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)， 要特別注意 x，y 的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、 二次函數(shù)、

28、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像. 例例 77若 f(x)= 2 1 x ax 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍 解解：設(shè) 12 1212 12 11 2,()() 22 axax xxf xf x xx 1221 12 12121221 12 112212 1212 (1)(2)(1)(2) (2)(2) (22)(22) (2)(2) 22(21)() (2)(2)(2)(2) axxaxx xx ax xaxxax xaxx xx axxaxxaxx xxxx 由f(x)= 2 1 x ax 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得 12 ()()0f xf x210a a

29、 2 1 點(diǎn)評點(diǎn)評：有關(guān)于單調(diào)性的問題，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時(shí)，回到單調(diào)性的定義 上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺. 例例 88 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f( 2 1 )=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0x1 時(shí)f(x)0,且對任 意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f( xy yx 1 ),試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 解解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f( xy yx 1 ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f( 2 1x xx )=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).

30、 (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令 0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f( 21 12 1xx xx ) 0x1x20,1x1x20， 21 12 1xx xx 0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 0 12 12 1xx xx 1,由題意知f( 21 12 1xx xx )0， 即f(x2) 2 1 時(shí)，f(x)0. (1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證. 7.已知函數(shù)y=f(x)= cbx ax 1 2 (a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)，f(

31、x)有最小值 2， 其中bN 且f(1) 2 5 . (1)試求函數(shù)f(x)的解析式； (2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不 存在，說明理由. 2.32.3基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué) 1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì). （1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式 2 ( )(0)f xaxbxca 二次函數(shù)的頂點(diǎn)式 2 ( )()(0)f xa xmna和 二次函數(shù)的坐標(biāo)式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa （2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根 的范圍等）要充分利用

32、好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解. 2 ( )(0)f xaxbxca，當(dāng) 2 40bac 時(shí)圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn). M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|= |a . 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂 點(diǎn)處取得. 2.指數(shù)函數(shù) x ya(0,1)aa和對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa的概念和性質(zhì). （1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則： mnm n aaa ；() mnmn aa；()n nn aba b（這時(shí) m,n 是有理數(shù)） 對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式. log ()loglog;loglo

33、glog aaaaaa M M NMNMN N 1 loglog;loglog nn aaaa MnMMM n ； log log log c a c b b a （2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn). 指數(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在 x 軸上方，當(dāng) a1 時(shí)，圖像越接近 y 軸，底數(shù) a 越大；當(dāng) 0a1 時(shí)，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越大; 當(dāng) 0a1 時(shí)，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越 小. 3.冪函數(shù)yx的概念、圖像和性質(zhì). 結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x3,y= 12 ,yxyx ,y= 1 2 x的圖像，了解它們的變化情況. 0 時(shí)，圖像都過（0,0）

34、 、 （1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)； 注意1 與 01 時(shí)，指數(shù)大的圖像在上方. 二、疑難知識導(dǎo)析二、疑難知識導(dǎo)析 1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對稱 軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對稱軸的右側(cè)；（2）定義域區(qū)間在 對稱軸的左側(cè)；（3）對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi) 2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會用語言準(zhǔn)確敘述這些 運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯(cuò)誤： （1）式子 nn aa， （2）log ()loglog;log ()loglog aaaaaa MNMNM NMN 3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定

35、要注意底數(shù)的取值. 4.函數(shù) ( )f x ya的研究方法一般是先研究( )f x的性質(zhì)，再由a的情況討論 ( )f x ya的 性質(zhì). 5.對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa與指數(shù)函數(shù) x ya(0,1)aa互為反函數(shù)，會將 指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)化. 6.冪函數(shù)yx的性質(zhì)，要注意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響. （1）當(dāng) 奇 奇 時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當(dāng) 奇 偶 時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當(dāng) 偶 奇 時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11已知 18 log 9,185, b a求 36 log45 錯(cuò)解錯(cuò)解：185, b 18 log

36、5b 181818 36 18181818 log45log 5log 9 log45 log 36log4log 9log4 ba a 錯(cuò)因錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完. 正解正解：185, b 18 log 5b 181818 36 2 181818 1818 log45log 5log 9 log45 1818 log 36log4log 92 log ()2log () 99 bababa a aa 例例 22分析方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）的兩個(gè)根都大于 1 的充要條件. 錯(cuò)解錯(cuò)解：由于方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）對應(yīng)的二次函數(shù)為 2 ( )f

37、xaxbxc的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于 1 即可. 故需滿足 (1)0 1 2 f b a ，所以充要條件是 (1)0 1 2 f b a 錯(cuò)因錯(cuò)因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于 1，卻忽視了最基本的的前 題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點(diǎn)才行，即滿足0，故上述解法得到的不是充要 條件，而是必要不充分條件. 正解正解：充要條件是 2 (1)0 1 2 40 f b a bac 例例 33求函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)區(qū)間. 錯(cuò)解錯(cuò)解：令6xt，則3612 65 xx y 2 125tt 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)， 當(dāng) t6,

38、即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù) 函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,) 錯(cuò)因錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍. 正解正解：令6xt，則6xt 為增函數(shù)， 3612 65 xx y 2 125tt 2 (6)41t 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)， 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù) 函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,) 例例 44已知)2(logaxy a 在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是 錯(cuò)解錯(cuò)解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu

39、2復(fù)合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知 uy a log應(yīng)為增函數(shù)，a1 錯(cuò)因錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制， 單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在0，1上有意義. 正解正解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu 2復(fù)合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知 uy a log應(yīng)為增函數(shù)，a1 又由于x 在0，1上時(shí) )2(logaxy a 有意義，axu 2又是減函數(shù)，x1 時(shí)， axu 2取最小值是au 2 min 0 即可，a2 綜上可知所求的取值范圍是 1a2

40、例例 55已知函數(shù)( )log (3) a f xax. （1）當(dāng)0,2x時(shí)( )f x恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a使得函數(shù)( )f x在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1， 如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由. 分析分析：函數(shù)( )f x為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解 題思路，是否存在性問題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明. 解：解：（1）由假設(shè)，ax30，對一切0,2x恒成立，0,1aa 顯然，函數(shù) g(x)= ax3在0，2上為減函數(shù)，從而 g(2)32a0 得到a 3 2 a的取值范圍是（0，1）（1， 3 2

41、 ） (2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，由題設(shè)知(1)1f，即(1)log (3) a fa1 a 3 2 此時(shí) 3 ( )log (3) 2 a f xx 當(dāng)2x 時(shí)，( )f x沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在. 點(diǎn)評點(diǎn)評：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的 處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成 立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決. 例例 66已知函數(shù)f(x)= 1 421 lg 2 aa a xx , 其中a為常數(shù)，若當(dāng)x(, 1時(shí), f(x)有 意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 分析分析：參數(shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的

42、表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式（組）非 常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a(bǔ)分離出來，重新認(rèn)識a與其它變元(x)的依 存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎栴}“柳暗花明”. 解： 1 421 2 aa a xx 0, 且a2a+1=(a 2 1 )2+ 4 3 0, 1+2x+4xa0, a) 2 1 4 1 ( xx , 當(dāng)x(, 1時(shí), y= x 4 1 與y= x 2 1 都是減函數(shù)， y=) 2 1 4 1 ( xx 在(, 1上是增函數(shù)，) 2 1 4 1 ( xx max= 4 3 , a 4 3 , 故a的取值范圍是( 4 3 , +). 點(diǎn)評：點(diǎn)評：發(fā)掘、提煉多變元問題

43、中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換 位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的 表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=) 2 1 4 1 ( xx 的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出 了實(shí)數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法. 例例 77若 11 33 (1)(32 )aa ，試求a的取值范圍. 解解：冪函數(shù) 1 3 yx 有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間， 根據(jù)1a 和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系 10 320. 132 a a aa 10 320. 132 a a aa 10 . 320 a a 解三個(gè)不等式組：得 2 3 a 3 2 ，無解，a1 a的取值范

44、圍是（，1）（ 2 3 ， 3 2 ） 點(diǎn)評點(diǎn)評：冪函數(shù) 1 3 yx 有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn) 為132aa ，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 例例 88 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 1 2 a a (x x 1 ) (1)求 f(x)； (2)判斷 f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (3)對于 f(x) ,當(dāng) x (1 , 1)時(shí) , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m 的集合 M . 分析分析：先用換元法求出 f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然 后利用以上結(jié)論解第三問. 解：(1)令 t=logax

45、(tR)，則 ).(),( 1 )(),( 1 )(, 22 Rxaa a a xfaa a a tfax xxttt , 101,.)(,10,)( , 0 1 ,1.)(,),()( 1 )()2( 22 aaxfaaaxu a a axfRxxfaa a a xf xx xx 或無論綜上為增函數(shù)類似可判斷時(shí)當(dāng)為增函數(shù) 時(shí)當(dāng)為奇函數(shù)且 f(x)在 R 上都是增函數(shù). ) 1 , 1( ).1()1 (,)(, 0)1 ()1 () 3( 22 x mfmfRxfmfmf 又上是增函數(shù)是奇函數(shù)且在 . 21 11 111 111 2 2 m mm m m 點(diǎn)評點(diǎn)評：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對

46、字母進(jìn)行討論.對本例的不需要代入 f（x）的表達(dá) 式可求出 m 的取值范圍，請同學(xué)們細(xì)心體會. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1. 函數(shù) bx axf )(的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A.0, 1baB.0, 1ba C.0, 10baD.0, 10ba 2、已知 2lg(x2y)=lgx+lgy,則 y x 的值為（ ） A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 8 3、方程2) 1(log 2 xx a (0a1)的解的個(gè)數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4、函數(shù) f(x)與 g(x)=( 2 1 )x的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱,則 f(4x

47、2)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ） A., 0 B. 0 , C.2 , 0 D.0 , 2 5、圖中曲線是冪函數(shù) yxn在第一象限的圖像，已知 n 可取2， 1 2 四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線 c1、c2、c3、c4的 n 依次為( ) A.2， 1 2 ， 1 2 ，2 B2， 1 2 ， 1 2 ，2 C. 1 2 ，2,2， 1 2 D. 2， 1 2 ，2, 1 2 6. 求函數(shù) y = log 2 (x2 5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間. 7. 若 x 滿足03log14)(log2 4 2 2 1 xx ,求 f(x)= 2 log 2 log 2 2 xx 最大值和最小值. 8.已知定

48、義在 R 上的函數(shù)( )2, 2 x x a f x a為常數(shù) （1）如果( )f x()fx，求a的值； （2）當(dāng)( )f x滿足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義討論( )f x的單調(diào)性. 2.42.4函數(shù)與方程函數(shù)與方程 一、知識導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系： 一般地，對于函數(shù)( )yf x（xD）我們稱方程( )0f x 的實(shí)數(shù)根x也叫做函數(shù) 的零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根 的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)( )( )yf xg x的零點(diǎn). 2.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系： 一般地，函數(shù)( )yf x（xD）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是( )0f

49、x 的根.綜 合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或求方 程( )( )yf xg x的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 3.判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法： 如果函數(shù)( )yf x在區(qū)間a,b上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有( )( )0f af b， 那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)數(shù)( , )ca b使得 ( )0f c ，這個(gè) c 也就是方程( )0f x 的一個(gè)根.對于我們學(xué)習(xí)的簡單函數(shù)，可以借助 ( )yf x圖像判斷解的個(gè)數(shù)，或者把( )f x寫成( )( )g xh x，然后借助( )yg x、 (

50、 )yh x的圖像的交點(diǎn)去判斷函數(shù)( )f x的零點(diǎn)情況. 4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系： 二次函數(shù) 2 yaxbxc的零點(diǎn)，就是二次方程 2 0axbxc的根，也是二次函 數(shù) 2 yaxbxc的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 5. 二分法： 對于區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷，且( )( )0f af b的函數(shù)( )yf x，通過不斷地把函 數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的 方法叫做二分法. 二、疑難知識導(dǎo)析 1.關(guān)于函數(shù)( )( )yf xg x的零點(diǎn)，就是方程( )( )f xg x的實(shí)數(shù)根，也就是 ( )yf x與函數(shù)( )y

51、g x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運(yùn)用. 2.如果二次函數(shù) 2 ( )yf xaxbxc，在閉區(qū)間m,n上滿足( )( )0f mf n，那么方 程 2 0axbxc在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 1 ( , )xm n，使 1 ()0f x， 方程 2 0axbxc另一解 2 (,)( ,)xmn . 3. 二次方程 2 0axbxc的根在某一區(qū)間時(shí)，滿足的條件應(yīng)據(jù)具體情形而定.如二次方 程( )f x 2 0axbxc的根都在區(qū)間( , )m n時(shí) 應(yīng)滿足： 0 2 ( )0 ( )0 b mn a f m f n 4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是 （1）

52、取一個(gè)區(qū)間（, a b）使( )( )0f af b （2）取區(qū)間的中點(diǎn)， 0 2 ab x （3）計(jì)算 0 ()f x，若 0 ()0f x，則 0 x就是( )0f x 的解，計(jì)算終止；若 0 ( )()0f af x，則解位于區(qū)間（ 0 ,a x）中，令 110 ,aa bx；若 0 ()( )0f xf b則解 位于區(qū)間（ 0, x b）令 101 ,ax bb （4）取區(qū)間是（ 11 ,a b）的中點(diǎn)， 11 1 2 ab x 重服第二步、第三驟直到第 n 步，方程的解 總位于區(qū)間（, nn a b）內(nèi) （5）當(dāng), nn a b精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時(shí)，那么這個(gè)值就是所求的近

53、似解. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11已知函數(shù) 2 ( )3f xxaxa 若 2,2x 時(shí)，( )f x0 恒成立，求a的取值范 圍. 錯(cuò)解錯(cuò)解：（一）( )0f x 恒成立， 2 4(3)aa0 恒成立 解得a的取值范圍為62a 錯(cuò)解錯(cuò)解：（二） 2 ( )3f xxaxa 若 2,2x 時(shí)，( )f x0 恒成立 ( 2)0 (2)0 f f 即 2 2 ( 2)230 2230 aa aa 解得a的取值范圍為 7 7 3 a 錯(cuò)因錯(cuò)因：對二次函數(shù)( )f x 2 axbxc當(dāng)xR上( )f x0 恒成立時(shí)，0 片面理解為， 2 axbxc0， 2,2x 恒成立時(shí)，0 ；或者理解為 ( 2

54、)0 (2)0 f f 這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對 對稱軸進(jìn)行分類討論；“軸定區(qū)間變”要對區(qū)間進(jìn)行討論. 正解正解：設(shè)( )f x的最小值為( )g a （1）當(dāng)2 2 a 即a4 時(shí)，( )g a( 2)f 73a0，得 7 3 a 故此時(shí)a不存在； (2) 當(dāng) 2,2 2 a 即4a4 時(shí)，( )g a3a 2 4 a 0，得6a2 又4a4，故4a2； （3）2 2 a 即a4 時(shí)，( )g a(2)f7a0，得a7，又a4 故7a4 綜上，得7a2 例例 22已知 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍. 錯(cuò)

55、解錯(cuò)解：設(shè) 2 ( )1f xmxx 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) (0)(1)0ff得m2 錯(cuò)因錯(cuò)因：對于一般( )f x，若( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有 一個(gè)零點(diǎn)，但不一定唯一.對于二次函數(shù)( )f x，若( )( )0f af b則在區(qū)間（a,b）上存在 唯一的零點(diǎn)，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立. 但方程( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時(shí)，不僅是( )( )0f af b，也有 可能( )( )0f af b.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時(shí)，就是這種情況. 由圖可知( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，

56、但是 ( )( )0f af b 正解正解：設(shè) 2 ( )1f xmxx， （1）當(dāng)m0 時(shí)方程的根為1，不滿足條件. （2）當(dāng)m0 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) 又(0)f10 有兩種可能情形(1)0f得m2 或者 1 (1)0 2 f m 且00 即)(xfx )1)( )1)()()()( 21 21111 axxx axaxxxxFxxxFxxxfx 0 21 xxx a 1 .01 , 0 21 axxx 0)( 1 xfx 綜合得 1 )(xxfx （2）依題意知 a b x 2 0 ，又 a b xx 1 21 a axax a xxa a b x 2 1 2

57、1)( 2 2121 0 , 01 2 ax 22 11 0 x a ax x 點(diǎn)評點(diǎn)評：解決本題的關(guān)健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表 達(dá)式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，此直線為二次函 數(shù)的對稱軸，即 a b x 2 0 例例 88 已知函數(shù)0) 1 (),1(2)( 2 fbccbxxxf，且方程01)(xf有實(shí)根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若 m 是方程01)(xf的一個(gè)實(shí)根，判斷)4(mf的正負(fù)并加以證明 分析：（1）題中條件涉及不等關(guān)系的有1 bc和方程01)(xf有實(shí)根. 及一個(gè)等式0) 1 (f，通過適當(dāng)代換及

58、不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷 )4(mf的符號，因而只要研究出4m值的范圍即可定出)4(mf符號. (1)證明：由0) 1 (f，得 1+2b+c=0,解得 2 1 c b，又1 bc， 1c c 2 1 解得 3 1 3c， 又由于方程01)(xf有實(shí)根，即012 2 cbxx有實(shí)根， 故0) 1(44 2 cb即0) 1(4) 1( 2 cc解得3c或1c 13c，由 2 1 c b，得b0. （2）cbxxxf2)( 2 =) 1)() 1( 2 xcxcxcx 01)(mf，cm1（如圖） c4m43bc 且 f(1)=0，證明：f(x)的圖像與 X 軸相交； (2)證明：若對 x1、x2R ，且 f(x1) f(x2),則方程 2 )()( )( 21 xfxf xf 必有