線性代數(shù)試題及答案.doc

1、（試卷一）一、 填空題（本題總計20分，每小題2分）1. 排列7623451的逆序數(shù)是。2. 若，則 3. 已知階矩陣、和滿足，其中為階單位矩陣，則。4. 若為矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充分要條件是_5. 設為的矩陣，已知它的秩為4，則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_2_。6. 設A為三階可逆陣，則 7.若A為矩陣，則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 8.已知五階行列式，則 9. 向量的模（范數(shù)）。10.若與正交，則 二、選擇題（本題總計10分，每小題2分）1. 向量組線性相關且秩為s，則(D)2. 若A為三階方陣，且，則(A)3設向量組A能由向量組B線性表示，則(

2、d )4. 設階矩陣的行列式等于，則等于。c 5. 設階矩陣，和，則下列說法正確的是。 則 ,則或 三、計算題（本題總計60分。1-3每小題8分,4-7每小題9分）1. 計算階行列式 。2設A為三階矩陣，為A的伴隨矩陣，且，求.3求矩陣的逆4. 討論為何值時，非齊次線性方程組 有唯一解； 有無窮多解； 無解。5. 求下非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系和此方程組的通解。 6.已知向量組、，求此向量組的一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示7. 求矩陣的特征值和特征向量四、證明題（本題總計10分）設為的一個解，為對應齊次線性方程組的基礎解系，證明線性無關。（答案一）一、

3、填空題（本題總計20分，每小題 2 分）115；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。.二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計算題（本題總計60分，1-3每小題8分，4-7他每小題9分）1、 解： -3分 -6分 -8分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）解：（1）-1分 -5分 （2）-8分3. 設A為三階矩陣，為A的伴隨矩陣，且，求. 因A，故 3分 5分 8分4、解： -3分 -6分 故-8分 （利用公式求得結果也正確。）5、解； -3分 （1）唯一解： -5分 （2）無窮多解： -7分 （3）無解： -9分

4、 （利用其他方法求得結果也正確。）6、解：-3分 基礎解系為 ，-6分 令，得一特解：-7分 故原方程組的通解為：，其中-9分（此題結果表示不唯一，只要正確可以給分。）7、解：特征方程 從而 (4分)當時，由得基礎解系，即對應于的全部特征向量為 (7分)當時，由得基礎解系，即對應于的全部特征向量為 四、證明題（本題總計10 分）證： 由為對應齊次線性方程組的基礎解系，則線性無關。(3分) 反證法：設線性相關，則可由線性表示，即： (6分)因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故必是的解。這與已知條件為的一個解相矛盾。(9分). 有上可知，線性無關。(10分)(試卷二)一、填空題（本

5、題總計 20 分，每小題 2 分）1. 排列6573412的逆序數(shù)是 2.函數(shù) 中的系數(shù)是 3設三階方陣A的行列式,則= A/3 4n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是 5設向量，=正交，則 6三階方陣A的特征值為1，2，則 7. 設，則.8. 設為的矩陣，已知它的秩為4，則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_9設A為n階方陣，且2 則 10已知相似于，則 ， 二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. 設n階矩陣A的行列式等于，則等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 階方陣與對角矩陣相似的充分必要條件是 . (A) 矩陣有個線性無關的特征向量 (B)

6、矩陣有個特征值 (C) 矩陣的行列式 (D) 矩陣的特征方程沒有重根3A為矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 (A) (B) (C) (D) 4.設向量組A能由向量組B線性表示，則( )(A) (B)(C) (D)5. 向量組線性相關且秩為r，則 (A) (B) (C) (D) 三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10 分）1. 計算n階行列式: .2已知矩陣方程，求矩陣,其中. 3. 設階方陣滿足,證明可逆，并求.4求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系:5求下列向量組的秩和一個最大無關組,并將其余向量用最大無關組線性表示6已知二次型：， 用正交變換化為

7、標準形，并求出其正交變換矩陣Q四、證明題（本題總計 10 分，每小題 10 分）設, , , , 且向量組線性無關，證明向量組線性無關.(答案二)一、填空題（本題總計 20 分，每小題2 分）1. 17 2. -2 3456-27或8 29、10、二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10分）1、 解： -4分 -7分 -10分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）2求解，其中 解：由得 (3分) (6分) (8分)所以 (10分)3解：利用由可得： -5分 即 -7分 故可逆且-10分4求下列非齊次線

8、性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系 解： (2分) (4分)則有 (6分)取為自由未知量，令，則通解為： (8分)對應齊次線性方程組的基礎解系為： (10分)5求下列向量組的秩和一個最大無關組,并將其余向量用最大無關組線性表示 解：= (2分) 為一個極大無關組. (4分) 設 ， 解得 ， . (8分) 則有 ， 6 解 的矩陣 (2分)的特征多項式 (4分) 的兩個正交的特征向量 , 的特征向量 正交矩陣 8分) 正交變換：標準形 四、證明題（本題總計 10分）若設且向量組線性無關，證明向量組線性無關. 證明：設存在，使得 也即 化簡得 又因為線性無關，則 (8分)解得 所以

9、，線性無關.（試卷三）一、填空題（本題總計20分，每小題2分）1、 按自然數(shù)從小到大為標準次序，則排列的逆序數(shù)為 2、 設4階行列式，則 3、 已知，則 4、 已知n階矩陣A、B滿足，則 5、 若A為矩陣，則齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是 6、 若A為矩陣，且，則齊次線性方程組的基礎解系中包含解向量的個數(shù)為 7、 若向量與向量正交，則 8、 若三階方陣A的特征多項式為，則 9、設三階方陣、，已知，則 10、設向量組線性無關，則當常數(shù)滿足 時，向量組線性無關.二、選擇題（本題總計10分，每小題2分）1、 以下等式正確的是( ) 2、 4階行列式中的項和的符號分別為（ ）正、正正、負負、負

10、負、正3、 設A是矩陣，C是n階可逆陣，滿足BAC. 若A和B的秩分別為和 ，則有( )以上都不正確 4、 設A是矩陣，且，則非齊次線性方程組( )有無窮多解有唯一解無解無法判斷解的情況5、已知向量組線性無關，則以下線性無關的向量組是（ ）三、計算題（本題總計60分，每小題10分）1 求矩陣的特征值和特征向量2 計算階行列式3 已知矩陣，且滿足，求矩陣X.4 求下列非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系及此方程組的通解5 已知矩陣，求矩陣A的列向量組的一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示6 已知A為三階矩陣，且，求四、證明題（本題總計10分）設向量組中前個向量線性相關，

11、后個向量線性無關，試證：（1）可由向量組線性表示；（2）不能由向量組線性表示.（試卷四）一、填空題（本題總計16分，每小題2分）1、 按自然數(shù)從小到大為標準次序，則排列的逆序數(shù)為 2、 4階行列式 3、 已知，為A的伴隨矩陣，則 4、 已知n階方陣A和B滿足，則 5、 已知A為矩陣，且，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的基礎解系中包含解向量的個數(shù)為 6、 已知四維列向量、，且，則 7、 把向量單位化得 8、 若三階方陣A的特征多項式為，則 二、選擇題（本題總計14分，每小題2分）1、 已知，則以下等式正確的是( ) 2、 設A和B為n階方陣，下列說法正確的是（ ）若，則 若，則或若，則或 若，則3、 設A是矩陣，且，則非齊次線性方程組( )有唯一解有無窮多解無解無法判斷解的情況4、 向量組的秩就是向量組的（ ）極大無關組中的向量線性無關組中的向量極大無關組中的向量的個數(shù)線性無關組中的向量的個數(shù)5、 已知n階方陣A、B和C滿足ABC=E，其中E為n階單位矩陣，則( )6、 設A為三階方陣，為A的伴隨矩陣，且，則（ ）7、 已知n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于n-3，且是的三個線性無關的解向量，則的基礎解系可為（ ）三、計算題（本題總計60分，1-3每小題8分，4-7每小題9分