特殊與一般的思想方法.ppt

1、專題四 特殊與一般的思想方法,數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第一部分,考題剖析 ,規(guī)律總結(jié) ,知識概要 ,03,05,21,特殊與一般的思想方法,1.由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的基本過程之一.數(shù)學(xué)研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識過 程就是數(shù)學(xué)研究中特殊與一般的思想.,知識概要,返回目錄,特殊與一般的思想方法,2. 由特殊到一般的思想的運(yùn)用水平，能反映出考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和一般能力，所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意設(shè)計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題，突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用.如通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找

2、特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題、不確定問題等等.,返回目錄,知識概要,特殊與一般的思想方法,考 題 剖 析,返回目錄,1.（2007湖南岳陽市）數(shù)列an中，若a1= , an= (n2,nN),則a2007的值為（ ） A.1 B. C.1 D.2,考題剖析,返回目錄,A,解析 a1= ,an= (n2,nN) 則當(dāng)n時，a2= = =2，當(dāng)n時，a3= = =1， 當(dāng)n時，a4= = = ，同理a5=2,a6=1, 所以數(shù)列an是一個周期數(shù)列且T，故a2007a3=1.,特殊與一般的思想方法,點(diǎn)評 本題考查歸納、猜想思想方法.要求考生結(jié)合試題領(lǐng)悟“特

3、殊與一般”的思想，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用這一規(guī)律來解題. 對于求遞推關(guān)系給出的數(shù)列某一項(xiàng)的問題，常見解法一是直接求通項(xiàng)再用通項(xiàng)來求某一項(xiàng)，二是直接將數(shù)列按順序?qū)懗?，三是寫出部分?xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律用規(guī)律得出結(jié)論.,返回目錄,考題剖析,特殊與一般的思想方法,解析解法1：因?yàn)楹瘮?shù)f (x)sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，則f (x)=f ( x) 即sin2x+acos2xsin2( x)+acos2( x) 得sin2x+acos2xcos2xasin2x恒成立 所以（a）(sin2x+cos2x)=0恒成立， 則必有a 所以a,2.（2007江蘇常州市）如果函數(shù)ysin2

4、x+acos2x的圖象關(guān)于 直線x= 對稱，那么a .,返回目錄,考題剖析,特殊與一般的思想方法,解法2：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，所以f (x)=f ( x)，取 x0,則f()=f( ) 即有a 解法3：函數(shù)ysin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱， 則函數(shù)在x= 處取得極值， 又y=2cos2x2asin2x 所以y|x= =2cos2( )2asin2( ) 得a,返回目錄,考題剖析,點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的對稱性問題，若函數(shù)f（x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則恒有f(x)=f(2ax)成立，但作為填空題，可以取特值進(jìn)行運(yùn)算.,特殊與

5、一般的思想方法,3.（2007湖南雅禮三月模擬）某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)5個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌,現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù).f(x)=pqx；f(x)=px2+qx+1；f(x)=x(xq)2+p.（以上三式中p,q均為常數(shù)，且q1）. ()為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？ ()若f(0)=4,f(2)=6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式（注：函數(shù)的定義域是0,5，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，以此類推）； （）為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該果品在哪幾個

6、月份內(nèi)價格下跌.,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,解析 ()應(yīng)選f(x)=x(xq)2+p. 因?yàn)閒(x)=pqx是單調(diào)函數(shù)； f(x)=px2+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征； f(x)=x(xq)2+p中,f (x)=3x24qx+q2, 令f (x)=0，得x=q,x= , f (x)有兩個零點(diǎn).可以出現(xiàn)兩個 遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間.,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,() 由f(0)=4,f(2)=6得： 解之得 （其中q=1舍去）. 函數(shù)f(x)=x(x3)2+4，即f(x)=x36x2 + 9x + 4（0 x5）,考題剖析,（）由f (x) 0，解得1x3

7、 , 函數(shù)f(x)=x36x2 + 9x + 4在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減， 這種果品在5月，6月份價格下跌.,點(diǎn)評本題是一個簡單的數(shù)學(xué)建模問題，主要考查函數(shù)知識在實(shí)際生活中的運(yùn)用，也是特殊與一般思想在生 活中的運(yùn)用.,特殊與一般的思想方法,返回目錄,.（2007河北省唐山市） 設(shè)函數(shù)fn(x)=1x+ + , nN* （）研究函數(shù)f2(x)的單調(diào)性； （）判斷fn(x)=0的實(shí)數(shù)解的個數(shù)，并加以證明.,考題剖析,解析 （）f2 (x) = 1x + , f 2 (x) = 1 + xx2 = (x )2 0 所以f2(x)在(,+)單調(diào)遞減.,特殊與一般的思想方法,返回目錄,（）f1(x)=

8、1x有唯一實(shí)數(shù)解x=1. 由 f2(0)=10, f2(2)=12+ 0，以及f2(x)在(,+) 單調(diào)遞減，知f2(x)在(0,2)有唯一實(shí)數(shù)解，從而f2(x)在 (,+)有唯一實(shí)數(shù)解. 推斷fn(x)在(,+)有唯一實(shí)數(shù)解 當(dāng)n2時，由fn(x)=1x+ + , nN*，得： f n (x) = 1 + xx2 + + x2n3x2n2,考題剖析,若x=1，則 f n (x) = f n (1) = (2n1) 0 若x=0，則 f n (x) = f n (0)=10 若x1且x0時，則 f n (x) = ,特殊與一般的思想方法,返回目錄,當(dāng)x1時，x + 1 0,x2n1 + 1 0

9、, f n (x) 0 總之f n (x) 0，fn(x)在(,+)單調(diào)遞減. fn(0)=1，又 = = 0 所以fn(x)在(0,2)有唯一實(shí)數(shù)解，從而fn(x)在(,+)有 唯一實(shí)數(shù)解. 綜上，fn(x)=0有唯一實(shí)數(shù)解.,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,點(diǎn)評本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及連續(xù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)問題.用特殊的函數(shù)開路尋找到解題方法,即判斷函數(shù)是單調(diào)的且圖象與x軸有交點(diǎn)，然后用一般方法來解題.,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,.（2007全國第二次大聯(lián)考)已知函數(shù)y=f (x)對于任意實(shí)數(shù) x，y都有f (x+y) =f (x)+f(y)+2x

10、y . (1)求f(0)的值； (2) 若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表達(dá)式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論(nN*)； (3) 若f(1)1，求證：f ( )0 (nN*).,考題剖析,解析 (1)令x=y=0，則 f(0)=2 f (0)，f (0)=0,特殊與一般的思想方法,返回目錄,(2) f (1)=1，f(2)=2f(1)+2=4， f(3)=f(2)+f(1)+4=9， f(4)=f(3)+f(1)+6=16， 猜想：f(n)=n2 (nN*)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n=1時，顯然成立. 假設(shè)n=k(kN*)時成立，則有f(k)=k2 當(dāng)n=k

11、+1時， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k= k2+1+2k=(k+1)2，結(jié)論也成立. 故f(n)=n2 (nN*)成立,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,(3)證明：f (1)1，f (1)=2f( )+ 1， f ( ) = 0 可以證明f ( ) 0 假設(shè)n=k(kN*)時結(jié)論成立.即f ( ) 0，則： 即n=k+1時也成立，,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,點(diǎn)評本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)知識和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用. 對于抽象函數(shù)求值通常是對抽象函數(shù)表達(dá)式賦特殊的值來求解，但 對于常見的抽象函數(shù)表達(dá)形式可以類比熟悉的函數(shù)進(jìn)行思考，如f(x) 恒有關(guān)系式f(x+y)

12、=f(x)f(y)成立可類比指數(shù)函數(shù)，f(x)恒有關(guān)系式 f(xy)=f(x)f(y)成立可類比對數(shù)函數(shù)等. 數(shù)學(xué)歸納法往往用于一些與自然數(shù)有關(guān)問題的解答，觀察歸 納猜想證明是一個從特殊到一般的思考過程，也是一個嚴(yán)格而 科學(xué)的探索問題和解決問題的過程，是思考問題的通常方法，對這 種方法在高考中考查十分常見.,考題剖析,特殊與一般的思想方法,返回目錄,規(guī) 律 總 結(jié),返回目錄,1.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題和不確定問題都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑. 2.對于遞推數(shù)列問題，采用“歸納猜想證明”的方法去解決問題，首先通過特例探索、發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后再用這個規(guī)律來解決其他特殊問題，這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一. 3.對于某些特殊的問題，如求值、比較大小等，要注意研究其數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)一般模型，再由一般解決特殊.,返回目錄,規(guī)