大學(xué)物理課件：第9章 靜電場

1、第4篇,電磁學(xué),富蘭克林,歐姆,愛迪生,奧斯特,赫茲,庫侖,安培,麥克斯韋,法拉第,洛侖茲,篇序,一電磁學(xué)的研究對象,電磁學(xué)研究物質(zhì)間電磁相互作用及其運(yùn)動規(guī)律的科學(xué),二電磁場的研究方法,1.“實(shí)物物質(zhì)” 的研究方法,實(shí)物：由原子、分子等微觀粒子構(gòu)成的物質(zhì)形態(tài) 場物質(zhì)：通常將彌漫于空間、不是由原子、分子等微觀粒子構(gòu) 成的物質(zhì)形態(tài)，稱為“場” 從物理角度，場是一種彌漫于空間的物質(zhì)形態(tài)，它是相對于 “實(shí)物”的物質(zhì)形態(tài)而言的,從數(shù)學(xué)角度上，場是某一物理量的某種時(shí)空分布 “實(shí)物”的研究方法 研究實(shí)物物質(zhì)間相互作用的力的性質(zhì) 研究實(shí)物物質(zhì)間相互作用的能的性質(zhì),2.“場物質(zhì)” 的研究方法,(1). 力的本質(zhì)

2、,作用力的本質(zhì)：力的相互作用是由力的傳播子來實(shí)現(xiàn)的,(2).研究場的基本方法,標(biāo)量場：場量只與空間和時(shí)間參量有關(guān)，與方向無關(guān) 矢量場：場量不僅與空間和時(shí)間參量有關(guān)，而且與方向有關(guān),I.梯度與等值面,例：地形等高線 等值面：等高面等高線標(biāo)量 等高線的法向?qū)?shù)即梯度,結(jié)論：等值線反映標(biāo)量場分布 梯度反映標(biāo)量場變化最快的方向,II.散度與通量,A.場線與通量,例：水流場與水流線 場線的定義,場線上任意一點(diǎn)的切線，表示該點(diǎn)矢量場的方向 空間點(diǎn)上場線的疏密程度，表示該點(diǎn)場的大小 通量 ：通過與場線垂直的截面上的場線條數(shù),B.散度與通量,散度,高斯定理,例：水流場與水流量 通量：水流量 散度：水源強(qiáng)度,結(jié)

3、論：散度反映空間點(diǎn)上源(匯)的強(qiáng)度 思考題：高斯定理將封閉邊界曲面上的通量與封閉曲面內(nèi)場的 強(qiáng)度聯(lián)系了起來，如何理解其物理含義？,III.旋度與環(huán)量,旋度,環(huán)量定理,例：渦旋水流場與環(huán)量 環(huán)量：水流環(huán)量 旋度：渦旋強(qiáng)度,結(jié)論：旋度反映空間點(diǎn)上環(huán)流的強(qiáng)度 思考題 1.環(huán)量定理將封閉邊界曲線上的環(huán)量與曲面內(nèi)場的環(huán)流強(qiáng)度聯(lián) 系了起來，如何理解其物理含義？ 2.如圖，將粗糙平面上物體所受的摩察力看作平面摩察力場， 那么，摩察力場的環(huán)量有何物理含義？由此可以得到研究 場環(huán)量，實(shí)質(zhì)上對應(yīng)研究了場的哪方面性質(zhì)？ 3. 復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)“場論”一章,三篇的內(nèi)容結(jié)構(gòu),(見下頁),1.靜電場力的性質(zhì)：庫侖定 律、電場強(qiáng)度

4、、電場散度 2.靜電場能的性質(zhì)：靜電場 作功、電勢能、電場能量,第三篇電磁學(xué),麥克思維方程組,內(nèi)容結(jié)構(gòu),第九章靜電場,第九章靜電場,內(nèi)容結(jié)構(gòu),9-1電場強(qiáng)度及通量函數(shù),一預(yù)備知識,二電場強(qiáng)度矢量從力的強(qiáng)弱側(cè)面反映電場強(qiáng)弱,1.基本電荷,2.電荷守恒定律,3.研究靜電荷的物理模型點(diǎn)電荷模型,4.點(diǎn)電荷的靜電作用力庫侖實(shí)驗(yàn)定律,1. 電場強(qiáng)度的定義,2.電場強(qiáng)度的計(jì)算,三電場通量函數(shù)從通量側(cè)面反映電場強(qiáng)弱,1.場的力線與通量函數(shù)研究方法,2.高斯定理,3.高斯定理的應(yīng)用用高斯定理求解電場強(qiáng)度,內(nèi)容結(jié)構(gòu),一預(yù)備知識,1.基本電荷,基本電荷：物體攜帶電荷電量的最小單位(e=1.60210-19C)，

5、稱為基本電荷。charge quantization,說明：任何物體攜帶的電荷都是基本電荷的整數(shù)倍,2.電荷守恒定律,電荷守恒定律：當(dāng)物體攜帶電荷發(fā)生轉(zhuǎn)移時(shí)，其電荷總量守恒 說明：理論探明，電荷守恒是規(guī)范對稱的必然要求,3.研究靜電荷的物理模型點(diǎn)電荷模型,當(dāng)帶電體自身線度和與其相互作用的帶電體之間的距離相比可 以忽略不計(jì)時(shí)，可將該帶電體當(dāng)作沒有體積、但集中了所有電 量的數(shù)學(xué)點(diǎn)，該數(shù)學(xué)點(diǎn)稱為點(diǎn)電荷。,4.點(diǎn)電荷的靜電作用力庫侖實(shí)驗(yàn)定律,其中，k=9109Nm2/c2，0=8.8510-12c2/Nm2(真空介電常數(shù) 真空電容率)。,說明：A.適用條件：靜電荷的點(diǎn)電荷模型。 B.矢量性、獨(dú)立性(略

6、)大小、方向、運(yùn)算法則、疊加原理。 C.庫侖定律只表明靜電作用之間的數(shù)量關(guān)系，不表明電場力 是怎樣產(chǎn)生和傳遞的。即用超距作用和場傳遞力都可以解釋 該實(shí)驗(yàn)定律。,二電場強(qiáng)度矢量從力的強(qiáng)弱側(cè)面反映電場強(qiáng)弱,1. 電場強(qiáng)度的定義,討論：A.電場強(qiáng)度是從電場力的性質(zhì)來表征電場強(qiáng)弱的物理量 B.電場強(qiáng)度的矢量性、獨(dú)立性(略)。 C. 測定電場強(qiáng)度的條件：檢驗(yàn)電荷的線度及電量都足夠小 D.點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度,2.電場強(qiáng)度的計(jì)算,例：離散電荷的電場強(qiáng)度 求：電偶極子中垂線上任意點(diǎn)p的場強(qiáng),解：電偶極子：相距l(xiāng) 很小，帶等量異號電 量的兩電荷組成的系統(tǒng),勻強(qiáng)電場：電場強(qiáng)度為常矢量時(shí)，稱該電場為勻強(qiáng)電場,其中，

7、稱為電偶極子的軸，方向由負(fù)電荷指向正電荷。建 立圖示坐標(biāo)系，由點(diǎn)電荷的場強(qiáng)計(jì)算公式：,電偶極子中垂線上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度,電偶極子的電場分布,例：連續(xù)體的電場強(qiáng)度 求：電荷均勻分布的帶電圓盤軸線上的電場強(qiáng)度,解：設(shè)圓盤半徑為a，電荷密度為,取任意微元,由電荷分布對稱性，軸線上只存在z方向的電場強(qiáng)度分量,而：,討論：A.求解連續(xù)分布電荷的電場強(qiáng)度時(shí)： 首先考慮對稱性，利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式求解連續(xù)體場強(qiáng) 其次，統(tǒng)一積分變量,B.當(dāng)za時(shí)，對應(yīng)于無限大帶電平面的空間電場強(qiáng)度,結(jié)論1：均勻帶電的無限大平面空間電場強(qiáng)度為常數(shù)值，且方 向與法線方向相同或相反。無限大平行板電容器外部場強(qiáng)為 零，內(nèi)部場強(qiáng)為,當(dāng)z

8、a時(shí)，應(yīng)當(dāng)對應(yīng)點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的場強(qiáng),例:求均勻帶電細(xì)棒中垂線上一點(diǎn)的場強(qiáng)設(shè)棒長為l， 帶電量q 電荷線密度為,解：選用圖示坐標(biāo)，由對稱性可知中垂線上一點(diǎn)的場強(qiáng)只有y 方向的分量，在z 和x 方向無分量。,取帶電微元,利用公式,討論: (1). 無限長均勻帶電細(xì)棒的場強(qiáng)方向垂直與細(xì)棒,(2). yl， 相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場強(qiáng),例：(1). 求均勻帶電圓環(huán)（電量q,半徑R）軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng) (2).若在軸線上放一很長的均勻帶電細(xì)導(dǎo)線(電荷線密度為) 求環(huán)對細(xì)線的作用力.,解：(1).由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式,由對稱性可知,電場沿x 方向,(2)在細(xì)線上取,各dF 均沿 x 方向,電子作業(yè) 繪制有限長均勻帶

9、電導(dǎo)線周圍的電場分布 討論極端情況下的電場分布情況,三電場通量函數(shù)從通量側(cè)面反映電場強(qiáng)弱,1.場的力線與通量函數(shù)研究方法,例：水流場與水流線,場線 場線上任意一點(diǎn)的切線，表示該點(diǎn)矢量場的方向 空間點(diǎn)上場線的疏密程度，表示該點(diǎn)場的大小 通量 ：通過與場線垂直的截面上的場線條數(shù),電力線：曲線簇的方向代表電場強(qiáng)度的方向，曲線簇的疏密程 度代表電場強(qiáng)度的大小。,討論：A.電力線起于正電荷，終止于負(fù)電荷或無限遠(yuǎn) B.孤立電荷產(chǎn)生的電力線既不閉合，也不相交 C.電力線的疏密程度代表電場強(qiáng)度的大小，于是：,電通量：通過某一面積的電力線條數(shù)。或,微分形式：,積分形式：,結(jié)論：力線反應(yīng)場源在空間某點(diǎn)上產(chǎn)生場的強(qiáng)

10、弱 通量反應(yīng)源的總體強(qiáng)弱；對確定的場源，總通量通常恒定,說明：對于非封閉曲面，面元的正方向可人為規(guī)定，當(dāng)曲面 為封閉曲面時(shí)，通常約定其正方向?yàn)橥夥ň€方向。,例：求以點(diǎn)電荷為球心的球面的電通量,解：,例：求點(diǎn)電荷通過任意封閉曲面的電通量,其中,因,例：封閉曲面內(nèi)含有多個(gè)點(diǎn)電荷時(shí) 通過封閉曲面的電通量,解：由電場的獨(dú)立性原理或疊加原理 并利用上例結(jié)果，有：,推廣：當(dāng)封閉曲面內(nèi)的電荷連續(xù)分布時(shí),例：封閉曲面內(nèi)外都存在點(diǎn)電荷時(shí)通過封閉曲面的電通量,解：如圖所示，設(shè)任意封閉曲面為S1、S2構(gòu)成。在封閉曲面內(nèi) 外分別有點(diǎn)電荷Q1、Q2。過Q2作待求封閉曲面的切線， 在待求封閉曲面上得到一封閉交線。以此交線

11、為邊界， 作輔助曲面S3。在S1、S3構(gòu)成 的封閉內(nèi)有點(diǎn)電荷Q2。,(1),在S1、S2構(gòu)成的封閉內(nèi)有點(diǎn)電荷Q1,(2),同理，在S2、S3構(gòu)成的封閉內(nèi)，只考慮點(diǎn)電荷Q2,(3),將(1)乘以(-1)加上(2)和(3),即,推廣：設(shè)所有電荷在封閉曲面上 產(chǎn)生的合場強(qiáng)為E，封閉曲面 內(nèi)的電荷密度縫補(bǔ)為，那么， 通過封閉曲面的電通量為,(高斯定理),2.高斯定理,微分形式,積分形式,討論 1. 電通量的大小只與封閉曲面內(nèi)的電量代數(shù)和 2. 電通量的大小與封閉曲面內(nèi)電荷的具體分布狀態(tài)無關(guān) 3.高斯定理中的電場強(qiáng)度包含封閉 曲面內(nèi)、外所有電荷在封閉曲面 上產(chǎn)生的場強(qiáng) 4.高斯定理只反映電通量和封閉曲

12、面內(nèi)的電量之間的關(guān)系，不反映 電場強(qiáng)度與電量的關(guān)系，它是從 通量函數(shù)角度來反映電場總體的 強(qiáng)弱關(guān)系,3.高斯定理的應(yīng)用用高斯定理求解電場強(qiáng)度,應(yīng)用高斯定理解題的前提條件,注意下列命題： a.電通量為零，不能說明電場強(qiáng)度為零。 b.電場強(qiáng)度為零，不能說明封閉曲面內(nèi)沒有電荷。 5.高斯定理表明，電場為有源場，場源為電荷。 6. 適用條件：對任意電場。而庫侖定理只適用于靜電場。對 靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律等價(jià)，不相互獨(dú)立,A.電荷分布或高斯面必須具有對稱性(否則，高斯定理中的E不 能提到積分號外) B.選擇高斯面時(shí)，必須讓待求點(diǎn)在高斯面上，且能夠簡單求解 該點(diǎn)的電場強(qiáng)度與高斯面的法線之間的

13、夾角(一般是平行或 垂直關(guān)系)用高斯定理求解E只限于十分特殊而簡單情況,常見應(yīng)用高斯定理求解的問題,球?qū)ΨQ問題 選擇與帶電球體、球面、球殼同心的球面為高斯面 待求點(diǎn)應(yīng)選在高斯面上,平面對稱問題 選擇與帶電平面垂直的圓柱面為高斯面 待求點(diǎn)應(yīng)選在高斯面上,柱面對稱問題 選擇與帶電柱面同軸的柱面為高斯面,例：求解均勻帶電球體的電場分布,解：首先判斷對稱性球?qū)ΨQ,選擇同心球面作為高斯面,(1).當(dāng) 時(shí),而,于是，電場強(qiáng)度矢量可以寫為,(2).當(dāng) 時(shí),而：,于是，電場強(qiáng)度矢量可以寫為,例：如圖，在半徑為R的球體中挖去半徑為r的球體，電荷均 勻分布，電荷密度為。 求：軸線a點(diǎn)的電場強(qiáng)度。,解：本題的關(guān)鍵在

14、于利用電場的疊加 原理求解問題。,(1).將挖去的球體補(bǔ)上，a點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,(2).補(bǔ)上的球體在a點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,于是，實(shí)際電場強(qiáng)度為,例：半徑為R的球體，電荷成球?qū)ΨQ分布. (k為比例常數(shù)) r為球心到該點(diǎn)的距離. 求：球內(nèi)外各點(diǎn)的場強(qiáng)(球的介電常數(shù)設(shè)為0),解: 用高斯定理求解:,當(dāng)時(shí),對嗎? 錯(cuò)在何處?,而,與 r無關(guān),與r2成反比,例：求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布(設(shè)線電荷密度為),解:該電場分布具有軸對稱性 以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個(gè)通過P點(diǎn)高為l的圓筒形封閉 面為高斯面 S，通過S面的電通量為圓 柱側(cè)面和上下底面三部分的通量,因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行 其電通量為零。此閉合面

15、包含的電 荷總量,方向沿待求點(diǎn)到直導(dǎo)線的垂線方向。正負(fù)由電荷的符號決定,思考：均勻帶電圓柱面，柱面內(nèi)一點(diǎn) E=？柱外一點(diǎn) E=？,例：設(shè)有一無限大的均勻帶電平面,單位面積上所帶的電荷為 求：距離該平面為r處某點(diǎn)的電場強(qiáng)度.,解:由無限大均勻帶電平面的對稱性，平面兩側(cè)的電場強(qiáng)度垂 直于該平面。離平面等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等。,思考題：利用場強(qiáng)疊加原理，求如下帶電體的電場分 1. 兩平行的無限大帶電平板內(nèi)外的電場； 2. 帶小缺口的細(xì)圓環(huán)； 3. 帶圓孔的無限大平板； 4. 帶有空腔的圓柱體O處； 5. 帶有空腔的球體O處。,9-2電場能量及環(huán)量函數(shù),一電場力能的性質(zhì),二電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,1.電

16、場力作功的特點(diǎn)、電勢能、電勢,2.電勢的求解方法,2.電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,1.相關(guān)概念,內(nèi)容結(jié)構(gòu),一電場力能的性質(zhì),1.電場力作功的特點(diǎn)、電勢能、電勢,作為特例，我們首先研究點(diǎn)電荷的能的性質(zhì),討論：A.點(diǎn)電荷的電場力為保守力,B.點(diǎn)電荷的電勢能,注意積分方向，在電勢能定義中，電量Q有正負(fù)之分,C.點(diǎn)電荷電勢,電勢反映電場自身能的性質(zhì),D.點(diǎn)電荷的電勢差,任意電荷分布產(chǎn)生的電場都可以看作為點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場的疊 加，因此上述關(guān)于點(diǎn)電荷的結(jié)論可以推廣到任意靜電場情形。,結(jié)論：A.靜止電荷產(chǎn)生的電場是保守力場，對應(yīng)的電場是保守 場,B.靜電場中都可以引入電勢能,2.電勢的求解方法,(1).離散體電勢

17、的求解:對離散體的電荷體系，由電場的疊加 原理可以求解,例：給出任意離散體的電勢通用求解方法,解：選擇無限遠(yuǎn)處的電勢為零，由電場的疊加原理，有,結(jié)論：離散體系在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢，等于各單元在該點(diǎn)產(chǎn) 生的電勢的代數(shù)和。,例：電偶極子在空間的電勢分布,解：由電勢的疊加原理,當(dāng)：rl 時(shí),(2).連續(xù)體電勢的求解方法,例：給出求解任意連續(xù)體空間電勢的方法,解：方法一：疊加方法,選擇無限遠(yuǎn)電勢為零點(diǎn)。將連續(xù)體在空間某點(diǎn)的電勢看作 為連續(xù)體內(nèi)部若干點(diǎn)電荷在該點(diǎn)獨(dú)自產(chǎn)生的電勢的疊加,只要能將電量微元與空間坐標(biāo)聯(lián)系起來，對電量的積分，就變 成在存在電荷分布區(qū)域內(nèi)對空間坐標(biāo)的積分，問題就轉(zhuǎn)化為空 間的積分運(yùn)

18、算了。,連續(xù)體分布,在直角坐標(biāo)系中,在球坐標(biāo)系中,連續(xù)面分布：直角坐標(biāo)系,極坐標(biāo),連續(xù)線分布：直角坐標(biāo),方法二：定義求解方法,由定義：，首先求出電場強(qiáng)度，再由定義式 沿任意路徑從待求點(diǎn)積分到無限遠(yuǎn)。由于電場力為保守力， 從待求點(diǎn)向無限遠(yuǎn)積分與積分路徑的選擇無關(guān)，因而可以依 求解的方便性選擇積分路徑。,例：一均勻帶電細(xì)桿, 長為l=15.0cm, 線電荷密度=2.0 10-7c/m 求:(1) 細(xì)桿延長線上與桿的一端相距a=5.0cm處的電勢 (2) 細(xì)桿中垂線上與細(xì)桿相距b=5.0cm處的電勢 解：(1)建立圖示坐標(biāo)系, 由電勢疊加原理, 可得待求點(diǎn)電勢,(2)中垂線上一點(diǎn) 的電勢為,解：1)

19、,環(huán)心:,例：1)求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(電量q半徑R) 2) 軸線上a，b兩點(diǎn)， 一帶電量為Q 的粒子從a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn). 求在此過程中靜電力所作的功,(2) a點(diǎn),b點(diǎn):,例：設(shè)球面半徑為R，總帶電量為Q 求：均勻帶電球面的電場中的電勢分布,解:,在球面處場強(qiáng)不連續(xù)，而電勢連續(xù),帶電球殼是等勢體,思考題: 己知：Q1， Q2， Q3 ， R1，R2， R3 求： U2 ， Up ， U1U2,解:方法一定義法求解,E1=0,方法二 : 用帶電球面疊加,例：兩同心的均勻帶電球面，半徑分別R1=5.0cm, R2=20.0cm 已知內(nèi)球面的電勢為U1=60v, 外球面的電勢 U2=-30

20、v 求: (1)內(nèi)、 外球面上所帶電量 (2) 在兩個(gè)球面之間何處的電勢為零 解：(1)以q1和q2分別表示內(nèi)外球所帶電量.,由電勢疊加原理,(2) 由設(shè)距球心為r處的P點(diǎn)電勢為零,由此可得,例：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布,解:已知場強(qiáng)為： 方向垂直于帶電直線。若仍然選取 無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，則由積分可知各點(diǎn)電勢將為無限大而失 去意義。此時(shí)，我們可以選取某一距帶電直導(dǎo)線為rB的B點(diǎn) 為電勢零點(diǎn)，則距帶電直線為r的p點(diǎn)的電勢,強(qiáng)調(diào)：當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢零點(diǎn)不能選無窮遠(yuǎn)處,例：半徑為R的均勻帶電球面, 帶電量為q, 沿矢徑方向上有一均 勻帶電細(xì)線, 電荷線密度為, 長度為 l,

21、 細(xì)線近端離球心距離 為r0. 設(shè)球和線上的電荷分布不受相互影響,解: 建立圖示坐標(biāo)系， 在x處取線元dx, 其上電量為dQ=dx, 該 線元在帶電球面的電場中所受電場力為,求：細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能 (設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零.),整個(gè)細(xì)線所受電場為,方向沿x軸正方向.,電荷元在球面電荷電場中具有電勢能為,整個(gè)線電荷在電場中具有電勢能為,例：求電偶極子在均勻外電場中 的靜電勢能：,上式表明：電偶極子取向與外電場一致時(shí)，電勢能最低；取向 相反時(shí)。電勢能最高。,電子在原子核的電場中的電勢能,上式以無限遠(yuǎn)為電勢的零點(diǎn)。,解:,二電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,1.相關(guān)概念,等勢面：a.

22、由電勢相等的面構(gòu)成的曲面。 b.相鄰等勢面間的電勢差相等,2.電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,數(shù)學(xué)預(yù)備知識方向?qū)?shù),取極限，得,函數(shù)的方向?qū)?shù)等于該函數(shù)的梯度與方向矢量之內(nèi)積。,對任意曲面：Fx(t),y(t),z(t)=0，坐標(biāo)是 t 的參數(shù)方程。曲面在 t0點(diǎn)的切線的方向矢量為：,切線的方向矢量,由全導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式,等勢面與電力線處處正交，且電力線的方向總是指向電勢降 低的方向。并是電勢降低最快的方向,(1).等勢面與電場間的關(guān)系,電場力沿電力線方向?qū)﹄姾勺髡Γ?電勢能降低，于是,考慮到曲面方程的梯度方向是曲面的法向方向 上述結(jié)論成立，類似地，容易得到下列結(jié)論： 等勢面分布較密的地方，電場強(qiáng)度愈大

23、 電荷沿等勢面移動時(shí)，電場力不作功 電場強(qiáng)度與電勢的梯度相關(guān)，而與電勢本身沒有直接關(guān)系。,分量式,(2).利用電勢求解電場強(qiáng)度,例：將半徑為R2的圓盤，在盤心處挖去半徑R1的小孔，并使盤 均勻帶電。試用電勢梯度求場強(qiáng)的方法，計(jì)算這個(gè)中空帶電 圓盤軸線上任一點(diǎn)P處的場強(qiáng)。,解: 設(shè)圓盤上的電荷面密度為，軸線上任一點(diǎn)P離中空圓盤中 心的距離為x，在圓盤上取半徑為r寬度為dr的圓環(huán)，環(huán)上所帶 電荷量為,它在P點(diǎn)的電勢為,整個(gè)中空帶電圓盤在P點(diǎn)的電勢為,由于電荷相對x軸對稱分布，故x軸上任一點(diǎn)的場強(qiáng)方向沿x軸,例：用電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系,求均勻帶 電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度.,解:我們已求得在x軸上

24、點(diǎn)P的電勢為,一導(dǎo)體的靜電平衡條件,靜電感應(yīng)：導(dǎo)體內(nèi)部的自由電子在外電場作用下發(fā)生定向移動 的現(xiàn)象，稱為靜電感應(yīng)現(xiàn)象。,說明：靜電感應(yīng)現(xiàn)象持續(xù)的時(shí)間十分短暫，通常在10-1410-13s,靜電平衡,表述一：導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零；導(dǎo)體表面的場強(qiáng)方向垂直于 該點(diǎn)所在的導(dǎo)體切面。,表述二：靜電平衡的導(dǎo)體是一等勢體，表面是一等勢面。,二靜電平衡導(dǎo)體的電荷分布,1.靜電平衡導(dǎo)體體內(nèi)沒有凈電荷分布,故：,2.導(dǎo)體空腔的電荷分布,當(dāng)導(dǎo)體空腔內(nèi)沒有電荷分布時(shí)，帶電導(dǎo)體空腔的電荷只 分布在導(dǎo)體外表面。,當(dāng)帶電Q導(dǎo)體空腔內(nèi)有電荷q分布時(shí)，如果外表面不接地，則腔內(nèi)電場將影響腔外電場，且腔的內(nèi)表面有-q的電荷分布，腔

25、外表面有q+Q的電荷分布。導(dǎo)體仍為等勢體。,如果外表面接地，則腔的內(nèi)表面有-q的電荷分布，腔外表 面無電荷分布。此時(shí)腔內(nèi)電荷不影響腔外電場靜電屏蔽,當(dāng)帶電Q導(dǎo)體空腔內(nèi)無電荷分布時(shí)，如果外表面不接地，腔的 內(nèi)表面處處無凈電荷分布，腔外電場不影響腔內(nèi)電場靜 電屏蔽。腔外表面有Q的電荷分布。導(dǎo)體仍為等勢體。如果外 表面接地，則腔的內(nèi)表面無凈電荷分布，腔外表面有凈電荷,在靜電平衡的導(dǎo)體表面，電荷分布在曲率較大的地方。,三導(dǎo)體表面的場強(qiáng)分布,考慮到導(dǎo)體表面應(yīng)是一個(gè)等勢面，而電力線與等勢面垂 直。如圖，在導(dǎo)體表面取一圓柱狀高斯面，有,討論：A.適用條件：靜電平衡導(dǎo)體、導(dǎo)體表面附近。 B.尖端放電現(xiàn)象(po

26、int charge)的解釋(略)。,例：A、B面積為S，相距d，分別帶電QA、QB，忽略邊緣效應(yīng) 求：兩板各表面的面電荷密度及兩板間的電勢差,解：(1).電荷守恒定律,在A、B金屬板內(nèi)分別取p1、p2兩點(diǎn)，一方 面，兩點(diǎn)均在金屬導(dǎo)體內(nèi)，場強(qiáng)為0；另一 方面，兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度是各面電荷產(chǎn)生電場的疊加，再考慮到 忽略邊緣效應(yīng)。有：,聯(lián)立求解上述方程，得：,(2).兩金屬板間的電場：,討論：A.在涉及由金屬導(dǎo)體表面電荷分布求解空間電場分布時(shí) 常常用到金屬導(dǎo)體內(nèi)部電場為零的這一結(jié)論(自然條件)，金屬 導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零實(shí)際上是各導(dǎo)體表面電荷分布在該點(diǎn)的合 場強(qiáng)為零。常常用電場的疊加原理求解,B.思考下列

27、高斯定理解法過程中的問題,如圖，取柱狀高斯面。由高斯定理,考慮到用高斯定理求解得到的電場E是高斯面內(nèi)和高斯面外所 有電荷產(chǎn)生的電場，因而，求解所得的E就是兩板所有電荷產(chǎn) 生的場強(qiáng)分布。(錯(cuò)在：如果將E看作所有面電荷分布產(chǎn)生的場 強(qiáng)，就不能認(rèn)為圖中高斯面的兩底面上的場強(qiáng)相等，因?yàn)檫@時(shí) 題目中電荷分布沒有對稱性),C.求兩板間p點(diǎn)的場強(qiáng)，方法是,方法一：在解法B中，考慮金屬內(nèi)部場強(qiáng)為0,由高斯定理,方法二：如右圖選取高斯面，考慮金屬導(dǎo)體兩個(gè)表面電荷分布 滿足電荷守恒，同時(shí)對兩板利用高斯定理，聯(lián)立求解方程組即 可。實(shí)際上，這與用疊加方法是同一方法。,D.當(dāng)QA=QB時(shí)，題目裝置構(gòu)成平行板電 容器，此

28、時(shí)，電荷只分布在導(dǎo)體內(nèi)表面。,思考：若第二板接地，情況又怎樣？,電荷守恒,由高斯定理得：,聯(lián)立解出：,思考:一球形導(dǎo)體A含有兩個(gè)球形空腔， 這導(dǎo)體本身的總電荷為零，但在兩空腔中心分別有一點(diǎn)電 荷qb和qc,導(dǎo)體球外距導(dǎo)體球很遠(yuǎn)的r處有另一點(diǎn)電荷qd 求：qb, qc和qd各受到多大的力?,答:,例:一個(gè)帶電金屬球半徑R1，帶電量q ，放在另一個(gè)帶電球殼 內(nèi)，其內(nèi)外半徑分別為R2、R3，球殼帶電量為Q 。 求：(1)此系統(tǒng)的電荷、電場分布以及球與球殼間的電勢差。 (2)如果用導(dǎo)線將球殼和球接一下又將如何？ (3)若外球殼接地，求兩球電勢及電勢差.,解:利用高斯定律、電荷守恒、靜電平衡條件、帶電體

29、相接后 等電勢的概念。球殼內(nèi)外表面電量：q，q+Q，由高斯定律得,內(nèi)球及球殼的電勢分別為,金屬球與金屬殼之間的電勢差為,2) 用導(dǎo)線將球和球殼接一下，則金 屬球殼的內(nèi)表面和金屬球面的電荷 會完全中和，重新達(dá)到靜電平衡， 二者之間的電勢差為零。球殼外表 面仍保持有Q+q的電量，而且均勻分布，它外面的電場仍為:,3)若外球殼接地 U2=0,4)若內(nèi)球接地，外球殼離地很遠(yuǎn) U1=0,此時(shí)要求內(nèi)外球上電荷重新分布，設(shè) 分別為：q1，q1，Q-q1,解出,例：一個(gè)不帶電金屬球(半徑為R)旁距球心為 r 處有一點(diǎn)電荷+q,解： (1) 感應(yīng)電荷+q,，-q,分布于球表面,求: (1) 金屬球上感應(yīng)電荷在球

30、心處產(chǎn)生的場強(qiáng) (2) 球心的電勢(3) 若將金屬球接地，球上的凈電荷為多少,(2),(3).若將金屬殼接地，設(shè)球上有凈電荷q1,U球=0，由疊加原理金 屬球的電勢為兩部分,解得,思考:為什么可用球心的電勢?,9-4電介質(zhì)中靜電場的庫侖定理和高斯定理,一電介質(zhì)的極化過程及物理模型,二電介質(zhì)中的庫侖定理與高斯定理,1.介質(zhì)模型,內(nèi)容結(jié)構(gòu),2.電介質(zhì)的極化過程,3.電介質(zhì)極化程度參量極化強(qiáng)度矢量,1.電介質(zhì)中的庫侖定理實(shí)驗(yàn)定律,2.電介質(zhì)的電場強(qiáng)度矢量實(shí)驗(yàn)定律,3.電介質(zhì)中的高斯定理,4.介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用,一電介質(zhì)的極化過程及物理模型,理想電介質(zhì)：介質(zhì)中沒有自由電荷，介質(zhì)不導(dǎo)電,1.介質(zhì)模型,

31、電介質(zhì)分子的電荷重心模型：將介質(zhì)分子的正、負(fù)電荷分布 分別集中于一點(diǎn)得到的抽象物理模型點(diǎn)，稱該點(diǎn)為正、負(fù) 電荷的重心。,無極分子介質(zhì)模型：將電荷正、負(fù)中心重合的一類介質(zhì)，看 作為由沒有極性的中性分子構(gòu)成的介質(zhì)，這種介質(zhì)模型，稱 為無極分子介質(zhì)模型。,有極分子介質(zhì)模型：將電荷正、負(fù)中心不重合的一類介質(zhì)， 看作為由有極性的極性分子構(gòu)成的介質(zhì)，這種介質(zhì)模型，稱 為有極分子介質(zhì)模型?；螂娕紭O子介質(zhì)模型。,2.電介質(zhì)的極化過程,極化電荷(束縛電荷)：在外電場作用下，介質(zhì)表面出現(xiàn)的電荷，稱為極化電荷或束縛電荷。束縛電荷概念是相對于自由電 荷概念提出的。一般地，將自由電子所帶電荷稱為自由電荷。,電介質(zhì)的極化

32、：在外電場作用下，介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷(束 縛電荷)的現(xiàn)象，稱電介質(zhì)的極化,3.電介質(zhì)極化程度參量極化強(qiáng)度矢量,極化強(qiáng)度矢量：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和,二電介質(zhì)中的庫侖定理與高斯定理,1.電介質(zhì)中的庫侖定理實(shí)驗(yàn)定律,2.電介質(zhì)的電場強(qiáng)度矢量實(shí)驗(yàn)定律,對點(diǎn)電荷,3.電介質(zhì)中的高斯定理,討論電介質(zhì)中高斯定理的思路：將電介質(zhì)中的電量考慮為原自由電荷和自由電荷激發(fā)的束縛點(diǎn)電荷的代數(shù)和，對應(yīng)地， 介質(zhì)中的電場強(qiáng)度或電通量就成為兩種電荷的總貢獻(xiàn)。這樣，就把電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度或電通量問題轉(zhuǎn)化為討論真空中的對應(yīng)問題了,這一思路包含兩個(gè)邏輯步驟： A.定量討論電介質(zhì)中自由電荷產(chǎn)生的束縛電荷問題。 B.將電

33、介質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為真空電場強(qiáng)度分布或電通量問題,i.關(guān)于束縛電荷的定量討論,ii.束縛體電荷分布,如圖，在介質(zhì)中取一長方體微元， 長方體微元的高很小。 定義電介質(zhì)極化電荷的體密度：電介質(zhì)極化電荷的體密度等 于單位體積內(nèi)極化電荷的電量。 長方體微元內(nèi)通過圖示表面的極化電荷電量,表示電偶極子電荷間的間距(只有距微元表面為l的偶極子才 對體極化電荷密度有貢獻(xiàn)),長方體微元內(nèi)的總極化電荷為,在上式中，用到了曲面積分與體積分的奧高公式。,結(jié)論1：介質(zhì)中極化電荷的體分布為：,體積微元的極化電荷總量為：,b.束縛面電荷分布,如圖，在兩種介質(zhì)交界面的薄層內(nèi)，存在極化電荷，介質(zhì)1對 薄層的極化電荷電量貢獻(xiàn)為：,介質(zhì)

34、2對薄層的極化電荷電 量貢獻(xiàn)：,這里，考慮了留在薄層內(nèi)極化電荷的正負(fù)。,薄層內(nèi)的極化電荷電量總量：,結(jié)論2：在兩種介質(zhì)的交界面上的極化面電荷密度：,或交界面的薄層內(nèi)的總極化電荷為：,B.介質(zhì)中的高斯定理,如上所述，介質(zhì)中的電場強(qiáng)度等效于,在真空中同時(shí)考慮極化電荷和自由電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。于是，由 真空中的高斯定理： ，可得到介質(zhì)中的高斯定理,因,同時(shí)，令,定義電位移矢量：,介質(zhì)中的高斯定理,討論：A.關(guān)于介質(zhì)中的高斯定理,介質(zhì)中的高斯定理右邊，只含自由電荷電量的代數(shù)和， 不包含極化電荷的電量。,電介質(zhì)中的高斯定理只是電位移矢量通量與電量的關(guān)系， 不直接反映電位移矢量與電量的關(guān)系。 高斯定理左邊的電

35、位移矢量是高斯面內(nèi)、外自由電荷和極 化電荷產(chǎn)生的矢量和，而不只是高斯面內(nèi)的自由電荷、極化電 荷產(chǎn)生的電位移矢量。,B.關(guān)于電位移矢量 電位移矢量沒有明確的物理意義，只是一個(gè)中間代換量。 電位移矢量也可以用電位移矢量力線加以形象表述，但不一定與電力線方向一致。 電位移矢量與由自由電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度、極化強(qiáng)度有關(guān)，但其通量函數(shù)只與自由電荷電量有關(guān)。,C.關(guān)于極化強(qiáng)度,極化強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)定律,幾個(gè)重要關(guān)系,4.介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用,例8-17，p279 說明：如果系統(tǒng)有多種介質(zhì)，那么，選取的高斯面處于什么 介質(zhì)，電位移矢量中的介電常數(shù)就帶這種介質(zhì)的介電常數(shù) 求束縛面電荷，一般先由求解束縛 面電荷密度，再

36、求解束縛面電荷。對于金屬或真空，極化強(qiáng) 度矢量為0。極化強(qiáng)度矢量由計(jì)算,復(fù)習(xí),1. 物理模型,理想介質(zhì)模型 分子電荷重心模型 無極分子模型 有極分子模型,2. 介質(zhì)極化的物理機(jī)制與描述參量,極化強(qiáng)度矢量：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和,極化強(qiáng)度矢量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,3. 關(guān)于介質(zhì)中電場的實(shí)驗(yàn)定律,介質(zhì)中的庫侖實(shí)驗(yàn)定律,關(guān)于極化強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)定律,4. 介質(zhì)極化的束縛電荷密度,極化體電荷分布,極化面電荷分布,5. 介質(zhì)中的高斯定理,討論,A.關(guān)于介質(zhì)中的高斯定理 反映D與Qf 的關(guān)系，且只反映數(shù)量關(guān)系 D為所有電荷所產(chǎn)生 高斯定理中的重要關(guān)系式,B.關(guān)于電位移矢量 D與Qf 的關(guān)系 D與E 的關(guān)系,C.關(guān)

37、于高斯定理的應(yīng)用 利用介質(zhì)中高斯定理求解電場分布問題 利用介質(zhì)中高斯定理求解束縛電荷密度問題,解：導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零。由球?qū)ΨQ性,例：一個(gè)金屬球半徑為R，帶電量 q0 ，放在均勻的介電常數(shù) 為 電介質(zhì)中。 求：任一點(diǎn)場強(qiáng)及界面處=?,因?yàn)?注意到:,上例也說明當(dāng)均勻電介質(zhì)充滿電場的全部空間時(shí)，或當(dāng)均勻電 介質(zhì)的表面正好是等勢面時(shí)，有：,解:(1) 球?qū)ΨQ.,rR1. D1=0. E1=0,R1rR2,2),9-5電容器及其電容,一電容器及其電容,1.相關(guān)概念,2.幾種特殊電容器及其電容,二電容器的串聯(lián)與并聯(lián),1. 串聯(lián)電容器的總電容,2. 并聯(lián)電容器的總電容,三電容器儲能,內(nèi)容結(jié)構(gòu),一電容器及其電

38、容,1.相關(guān)概念,電容：帶電體系增加單位電勢所增加的電量,討論：A.電容反映帶電體系儲存電荷的能力 B.影響帶電體系電容的因素 帶電體系自身形狀、尺寸等結(jié)構(gòu)特征 與帶電體系具體所帶電量或某時(shí)刻電勢無關(guān)。,例：真空中孤立球狀導(dǎo)體的電容,C.電容的單位,電容器：由兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體組。一般地，兩個(gè)導(dǎo)體所帶電 量相等且異號。,電容器的電容：，其中，V是兩導(dǎo)體的電勢差,2.幾種特殊電容器及其電容,平行板電容器：由兩塊相互平行，中間充滿 介質(zhì)的導(dǎo)體板組成的電容器。,平行板電容器的電容,當(dāng)導(dǎo)體板間的介質(zhì)為真空時(shí)：，可以看出,圓柱形電容器：由兩個(gè)中間充滿介質(zhì)的同軸圓柱面組成電容器,如圖取柱狀高斯面：,柱狀電

39、容器的電容,介質(zhì)為真空時(shí),球狀電容器：由兩個(gè)同心球面組成的電容器,如圖取高斯面：,球狀電容器的電容：,介質(zhì)為真空時(shí),分布電容：在實(shí)際電路中，由于分布線路間存在相互作用， 因而，在這些分布電路間存在電容，稱為分布電容。,結(jié)論：電容器的電容與電容器形狀和其中所充滿的電介質(zhì)有 關(guān)，與別的因素?zé)o關(guān)。電容器的電容與電介質(zhì)的介電常數(shù) 成正比。,二電容器的串聯(lián)與并聯(lián),1. 串聯(lián)電容器的總電容,電容器串聯(lián)的特征,由電壓關(guān)系得,串聯(lián)電容器的總電容,2. 并聯(lián)電容器的總電容,電容器并聯(lián)的特征：,由電量關(guān)系得：,串聯(lián)電容器的總電容：,結(jié)論：串聯(lián)電容器等效于增加電容器極板間的距離；并聯(lián)電 容器等效于增加電容器極板的正

40、對面積,三電容器儲能,求解思路：電容器的充電過程實(shí)際上就是電容器的儲能過程， 其儲存的能量等于將總電荷Q從一個(gè)板極依次移動到另一個(gè) 板中，非靜電作用力所作的總功。,設(shè)某一瞬時(shí)，電容器兩板極的電量分別為q和-q，電容器兩 板極的電壓為U，非靜電力將dq電荷從電容器負(fù)板極移動到正 板極過程中所作的功,于是，將Q依次從負(fù)板極移到正板極過程中非靜電作用力所 作的總功為：,這即是電容器的儲能,討論：非靜電作用力搬運(yùn)電荷的過程也是電場建立的過程。因 而，電容器儲能，實(shí)際上是儲存在這一過程建立起來的電場中。因此，電容器儲存的能量實(shí)際上是電場的能量。,例：平行板電容器極板面積為S,相距為d.充電后，極板上面電

41、荷 密度為 , 將兩板與電源斷開以后,再插入相對電容率為 的 電介質(zhì)板(厚度為t). 計(jì)算空隙和電介質(zhì)中的 和電容器電容.,解:斷電后插入介質(zhì)，極板上電荷面密度不變。 電位移線垂直與極板，根據(jù)高斯定律,而 D1=0,方法二: 用電容器串聯(lián),若插入同樣尺寸的導(dǎo)體板,相當(dāng)于極板間面積減小 ,電容為,例：平行平板電容器 (s , d), 充電后斷開電源,充介質(zhì)(r) 問: (1) E1是否等于E2? (2) D1是否等于D2? (3) 兩部分所對應(yīng)極板上自由電荷面密度是否相等? (4)此電容器的電容.,解: (1) 極板為導(dǎo)體，等勢體. V=E1d=E2d 所以 E1=E2,(4),(2) D1=0 rE1 D2=0E2 所以,例 ：半徑都是R的兩根平行長直導(dǎo)線，相距d(dR). 求：單位長度的電客.,解 : 設(shè)分別帶電+和-. 坐標(biāo)如圖，x軸上任一點(diǎn)的場強(qiáng)為,(dR),單位長度的電容,一電場的能量及能量密度,1.電場的能量,2.電場的能量密度,由上述討論可知,能量密度：電場中單位體積的能量，稱為電場的能量密度。 推導(dǎo)思路：從平行板電容器的特例出發(fā)，然后作推廣,對平行板電容器，有,因