復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件—5-2

1、第二節(jié) 留 數(shù),一、留數(shù)的引入,二、利用留數(shù)求積分,三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),四、典型例題,五、小結(jié)與思考,2,一、留數(shù)的引入,.,的某去心鄰域,3,4,定義,5,二、利用留數(shù)求積分,說(shuō)明:,2. 留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求,被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).,1.留數(shù)定理,6,證,證畢,兩邊同時(shí)除以 且,如圖,7,2.留數(shù)的計(jì)算方法,如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那末,規(guī)則1,成洛朗級(jí)數(shù)求,8,如果 為 的 級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2,證,那末,9,+(含有 正冪的項(xiàng)),證畢,得,10,規(guī)則3,如果,證,的一級(jí)極點(diǎn),且有,11,因此,其中 在 解析且,為 的一級(jí)極點(diǎn),12,三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),注意積分路

2、線取順時(shí)針?lè)较?說(shuō)明,記作,1.定義,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，,13,證,由留數(shù)定義有:,證畢,14,說(shuō)明: 由定理得,(留數(shù)定理),計(jì)算積分,計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).,優(yōu)點(diǎn): 使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化.,(避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù)),15,3.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算,規(guī)則4,說(shuō)明: 定理二和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線,積分的又一種方法:,此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.,16,現(xiàn)取正向簡(jiǎn)單閉曲線C為半徑足夠大的,正向圓周 :,于是有,證,17,證畢,18,四、典型例題,解,19,分析,由規(guī)則3得,計(jì)算較麻煩.,20,解,21,說(shuō)明:,如 為 m 級(jí)極點(diǎn)，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),2. 在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.,級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.,1. 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.,為了計(jì)算方便一般不要將m,但有時(shí)把m取得比實(shí)際的,如上例取,22,解,23,解,為一級(jí)極點(diǎn),為二級(jí)極點(diǎn),24,25,其他奇點(diǎn).,解,根據(jù)定理 2與規(guī)則4:,26,與以下解法作比較 :,由規(guī)則3,27,可見(jiàn), 利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.,解,點(diǎn)外, 其他奇點(diǎn)為,28,則,所以,29,五、小結(jié)與思考,本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計(jì)算以及留數(shù) 定理. 應(yīng)重點(diǎn)掌握計(jì)算留數(shù)的一般方法,尤其是極 點(diǎn)處留數(shù)的求法, 并會(huì)