數(shù)學(xué)物理方法課件：5_1 奇點(diǎn)零點(diǎn)

1、第五章 留 數(shù),孤立奇點(diǎn) 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)領(lǐng)域的討論 留數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù) 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,留數(shù)是復(fù)變函數(shù)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)的主要理論； 奇點(diǎn)是留數(shù)的基礎(chǔ)； 要求：理解奇點(diǎn)的概念；掌握奇點(diǎn)的分類,孤立奇點(diǎn) 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)領(lǐng)域的討論,奇點(diǎn)分類：孤立和非孤立奇點(diǎn),例1：討論下列函數(shù)在0點(diǎn)及其附近的解析性以及奇點(diǎn)的類型。,奇點(diǎn)z=0是孤立奇點(diǎn)； 存在0，當(dāng)0|z|時(shí)，函數(shù)解析,奇點(diǎn)z=0是非孤立奇點(diǎn)； 對(duì)任意的0，在0|z|圓環(huán)內(nèi)，總存在奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn)的分類,將下列函數(shù)在環(huán)域0|z|內(nèi)展開為羅朗級(jí)數(shù),觀察z的負(fù)冪項(xiàng),孤立奇點(diǎn)的類型是通過(guò)羅

2、朗級(jí)數(shù)的負(fù)冪項(xiàng)來(lái)定義的！,思考：為什么采用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)？ 一個(gè)前提是，在孤立奇點(diǎn)的去心圓域，函數(shù)總可以展開為羅朗級(jí)數(shù)。,孤立奇點(diǎn)的分類,討論：函數(shù)在三類孤立奇點(diǎn)處的極限分別取什么值？,結(jié)論：可去奇點(diǎn)（常數(shù)），極點(diǎn)（無(wú)窮大），本性奇點(diǎn)（無(wú)極限）,無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),R可以任意大,無(wú)窮遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)的分類,注意：對(duì)于任意函數(shù)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)都被認(rèn)為是奇點(diǎn)！,判斷：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是否為孤立奇點(diǎn)？,無(wú)窮遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)的分類標(biāo)準(zhǔn)是函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限。,例：判斷下列函數(shù)奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）的類型： 孤立奇點(diǎn)（可去、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)），非孤立奇點(diǎn),方法一：根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)判斷,方法二：根據(jù)極限判斷,奇點(diǎn),非孤立奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),可去奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),判斷孤立奇點(diǎn)類型的方法,零 點(diǎn),例：函數(shù)f(z)=z(z-1)3的零點(diǎn)有哪些？,例：函數(shù)f(z)=sin(z)+cos(z)的零點(diǎn)有哪些？并判斷它們是幾級(jí)零點(diǎn)。,零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系,簡(jiǎn)而言之：f(z)的m級(jí)極點(diǎn)是1/f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。,例：指出下列函數(shù)的極點(diǎn)，說(shuō)明它們是幾級(jí)的？,小結(jié): 奇點(diǎn)的分類與判別,方法三：f(z)的m級(jí)極點(diǎn)是1/f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。,方法一：根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)判斷,方法二：根據(jù)極限判斷,奇點(diǎn),非孤立奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),可去奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn)的分類方