有限元講稿第四章等效載荷re.ppt

1、October 9, 2004,第四章-1,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,第四章彈性結構靜力分析,October 9, 2004,第四章-2,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（3）等效節(jié)點載荷的計算,有限元法是以節(jié)點處的“力平衡條件”建立求解方程的，因此當單元內(nèi)部存在體力或邊界上存在面力時，必須通過某種方式將這些載荷轉(zhuǎn)移變換到單元的節(jié)點處。 在有限元法中，采用“靜力等效原則”進行等效節(jié)點載荷計算。所謂“靜力等效原則”是指，對任意虛位移，原來載荷與轉(zhuǎn)換后的節(jié)點載荷在同一虛位移上的虛功相等。,October 9, 2004,第四章-3,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（3）等效節(jié)點載荷的計算,設

2、有一均質(zhì)、等厚度的三角形單元i,j,k受重力W的作用，其合力作用在單元的形心，試根據(jù)靜力等效原則求轉(zhuǎn)換到節(jié)點上的等效載荷。,o,x,y,i,j,m,Yi,i,b,c,c,W,1、假設單元產(chǎn)生以下幾何容許的虛位移： 節(jié)點i只沿y方向移動單位1； 而其余兩節(jié)點j,k為鉸支約束 2、由于位移模式為線性函數(shù)變化，當節(jié)點i移動后，單元內(nèi)部bi線段上各點位移均按直線移動，即變形后仍為直線bi； 3、重力W作用在形心： bc/bi=1/3 當ii=1，則形心c沿y移動： cc/ii=bc/bi=1/3,4、所以可得： -W1/3=Yi1，Yi=W/3； 同理可得： Yj=W/3，Yk=W/3；,Octobe

3、r 9, 2004,第四章-4,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（3）等效節(jié)點載荷的計算,幾種載荷的等效節(jié)點載荷計算?？紤]單元中某一點(x,y)作用有集中載荷P：,P=px, pyT 對應等效節(jié)點載荷列陣為： Re=Xi, Yi, Xj, Yj, Xk, YkT 單元內(nèi)部產(chǎn)生虛位移，集中載荷作用點(x,y)的虛位移為： f=u, vT 對應節(jié)點虛位移為： e=ui, vi, uj, vj, uk, vkT 由位移模式有： f=Ne 利用虛位移原理可得： (e)TRe=fTP=(Ne)TP 利用矩陣乘積逆序法則： (e)TRe=(e)TNTP 由于虛位移是任意的，則有： Re=NTP,Octob

4、er 9, 2004,第四章-5,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（3）等效節(jié)點載荷的計算,如果單元上有體力作用，沿x,y方向的體力分量為P=X, YT，相當于在點(x,y)處作用集中力為Ptdxdy，則等效節(jié)點載荷為：,如果單元某邊界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量為q=qx, qyT，若將微元體tds上的面力qtds當作集中載荷P，相當于在邊界點(x,y)處作用集中力為P=qtds，則等效節(jié)點載荷為：,October 9, 2004,第四章-6,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,對結構分析建立整體剛度矩陣的方法，是利用單元“節(jié)點的平衡方程”。用具體例題說明

5、如下。,a,a,a,a,1,2,3,4,5,6,X2,X1,Y1,i,j,m,i,j,m,m,i,j,j,i,m,1,2,3,4,由于該結構有6個節(jié)點，節(jié)點自由度為12，即需要確定的節(jié)點位移參量為12個，應列出12個線性方程。這樣，線性方程組的系數(shù)矩陣，也即總剛度矩陣有1212個元素，按(x, y)分塊后有66子矩陣。,October 9, 2004,第四章-7,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,按節(jié)點編號列出總剛陣結構，每一個子陣先用零表示：,如果取U1=1，其余U2=U6=0,則有： K11=F1； K21=F2； K61=F6； 則K11表示節(jié)點1作用單位1位

6、移時，在節(jié)點1產(chǎn)生的載荷，其余類推。,=1 =0 =0 =0 =0 =0,October 9, 2004,第四章-8,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,建立每個單元的剛度矩陣，如對單元可表示為：,注意單元節(jié)點編號(i,j,m)與整體節(jié)點編號的對應關系： (i, j, m)=(5, 3, 2) 當許多單元共用一個節(jié)點時，作用在該節(jié)點的合力就是每個單元剛陣中具有相同下標子矩陣kij的迭加，也就是總剛陣中具有相同下標的元素，即：,October 9, 2004,第四章-9,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,建立每個單元的剛度矩陣，如對單元可表示

7、為：,注意單元節(jié)點編號(i,j,m)與整體節(jié)點編號的對應關系： (i, j, m)=(5, 3, 2),其中，kii=k55表示單元的節(jié)點5作用單位位移時在節(jié)點5產(chǎn)生的節(jié)點力；它應與總剛陣子陣K55迭加； kij=k53表示單元的節(jié)點3作用單位位移時在節(jié)點5產(chǎn)生的節(jié)點力；它應與總剛陣子陣K53迭加； kij=k52表示單元的節(jié)點2作用單位位移時在節(jié)點5產(chǎn)生的節(jié)點力；它應與總剛陣子陣K52迭加等，,October 9, 2004,第四章-10,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,即“相同下標的單元子陣元素相加”就可以得到該結構的總剛度矩陣元素為：,K11=k11(1)，

8、K12=k12(1) ，K13=k13(1)； K21=k21(1)，K22=k22(1)+ k22(2)+ k22(3)，K23=k23(1)+ k23(3)； K31=k31(1)，K32=k32(1)+ k32(3)，K33=k33(1)+ k33(3)+ k33(4)； K42=k42(2)，K44=k44(2)，K45=k45(2)； K52=k52(2)+k52(3),K53=k53(3)+k53(4),K54=k54(2)， K55=k55(2)+k55(3)+k33(4)，K56=k56(4) K63=k63(4)，K65=k65(4)，K66=k66(4)；,October

9、9, 2004,第四章-11,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,如果取泊松比=0，可得單元、的單元剛度矩陣是相同的，均為如下形式：,October 9, 2004,第四章-12,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,利用這個結果，將相應的子陣代入總剛陣計算式中，經(jīng)整理后可得該結構的總剛度矩陣為如下形式：,對稱,October 9, 2004,第四章-13,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,最后獲得的線性代數(shù)方程為：,對稱,October 9, 2004,第四章-14,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（5）代入邊界條

10、件,在建立了結構總剛度矩陣后，就可以建立節(jié)點位移所滿足的線性方程： K=R 式中，為全部節(jié)點位移列陣，R為全部節(jié)點載荷列陣。但由于沒有代入邊界條件，這個方程組的解是不確定的。 從線性代數(shù)理論上講，上述線性方程組是奇異的，即線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣的行列式的值為零detK=0，因此線性代數(shù)方程組無法求解。 這一點從力學意義上理解，是因為采用位移法求解時，如果對受載結構不引入符合實際的幾何約束條件，則該結構將產(chǎn)生沒有限制的剛體運動，顯然解是不確定的。這一點反映在數(shù)學上，總剛度矩陣K是奇異的，即它的行列式的值為零，因而其逆陣不存在。 因此對結構受力分析，要使有限元模型能夠求解，必須保證至少有一個節(jié)點

11、是完全固定的幾何約束，即整個結構不能存在剛性運動。,October 9, 2004,第四章-15,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（6）總剛度矩陣的特點,總剛度矩陣具有以下特點： 1）對稱性 很容易證明，總剛度矩陣是個對稱矩陣。利用對稱性，有限元程序只需存儲對角線元素以上的部分即可，這樣將節(jié)約一半的存儲空間。 2）稀疏性 總剛度矩陣是一個稀疏矩陣，其絕大部分元素都是零，非零元素只占總元素的很少一部分。對稀疏矩陣線性方程組，已建立了許多有效求解方法。在有限元程序中，只需存儲非零元素，這樣又可大大減少存儲量，提高計算效率。 3）帶狀分布 總剛度矩陣中的非零元素呈斜帶狀區(qū)域，對稱分布在主對角線的兩側(cè)

12、?？倓傟囍忻啃邪ㄖ鲗蔷€元素的“半帶中”非零元素的個數(shù)，稱為“半帶寬”。應充分利用有效的節(jié)點編號方法，減小半帶寬度，提高有限元程序計算效率。,October 9, 2004,第四章-16,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（4）結構整體剛度矩陣的集成,最后獲得的線性代數(shù)方程為：,對稱,October 9, 2004,第四章-17,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（7）有限元數(shù)值解的收斂準則,在此我們從物理意義對位移模式的要求作一分析： 1）位移模式必須能反映單元的剛性位移 單元的剛性位移是指平移和轉(zhuǎn)動，與單元的內(nèi)部變形無關，它是由于其他單元發(fā)生了變形后而連帶發(fā)生的，因此要正確反映單元的位移形態(tài)

13、，位移模式中必須包含反映單元剛性位移的函數(shù)項，即常數(shù)項。 2）位移模式必須能反映單元的常應變項 當單元的尺寸越來越小時，每個單元內(nèi)的應變應趨于一個確定的值。因此對有限區(qū)域（元）講，所選擇位移模式必須包含能描述上述特性的函數(shù)項，即包括兩部分：一部分能給出常應變，另一部分給出與坐標有關的應變，即變量應變。由于變量應變隨單元尺寸減小逐漸變小，因此常應變項為應變的主要部分。即位移模式至少需包含線性函數(shù)項。 3）位移模式應反映實際結構位移的連續(xù)性 位移的連續(xù)性包括兩方面要求：一是每個單元在整體結構變形后仍能保持為一個連續(xù)的構件；二是相鄰單元的共同邊界在變形后仍是連續(xù)的，不會發(fā)生脫離和重疊現(xiàn)象。這就需要假

14、設位移模式必須是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。,October 9, 2004,第四章-18,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡介,如前所述，線性位移模式的單元為常應變單元，當單元尺寸較大時會產(chǎn)生明顯誤差。為減少離散化帶來的誤差，使所求得位移和應力能更好反映真實狀態(tài)，可采用具有較高階次位移插值函數(shù)的單元，即精度較高的平面單元。 對平面問題，常用的較高精度單元是矩形單元和六節(jié)點三角形單元。,October 9, 2004,第四章-19,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡介,矩形平面單元： 以矩形四個角點作為節(jié)點，節(jié)點局部標號用(i, j, k, m)表示，為

15、簡單起見，坐標系選在矩形單元的中心，如圖所示。,x,y,o,i,j,k,m,a,a,b,b,ui,um,uk,uj,vi,vj,vk,vm,其中：,形函數(shù)為：,October 9, 2004,第四章-20,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（8）精度較高的平面單元簡介,六節(jié)點三角形平面單元： 其節(jié)點布置如圖所示，由于單元存在12個自由度，就可以采用完全二次多項式位移插值函數(shù)(見第三章討論)：,x,y,o,i,j,k,m,l,這種單元也稱為二次單元。有關應變矩陣B、應力矩陣S和單元剛度矩陣與上述推導思路完全相同，但推導過程十分復雜。在此不作進一步的討論，可參見有關文獻專著。,n,October 9

16、, 2004,第四章-21,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（9）熱應力的計算,工程結構在溫度作用下的熱應力分析問題十分普遍。如何利用有限元法計算由于溫度變化所產(chǎn)生的熱應力？ 總的講有三種分析思路： 1）如果結構溫度分布已知，則可以將溫度作為體載荷直接加在離散模型的節(jié)點上進行計算； 2）間接法，用有限元法首先進行溫度計算，然后將求得節(jié)點溫度作為體載荷加在結構應力分析中，溫度和應力分開計算； 3）直接法，將溫度和應力耦合在一起進行計算，同時得到溫度和應力分布。 直接法或耦合法是最復雜得計算過程，也是最符合實際情況。對大多數(shù)結構熱應力分析，都采用第二種間接法進行分析。 我們在此僅介紹第一種溫度分布

17、已知的最簡單情況。,October 9, 2004,第四章-22,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（9）熱應力的計算,對于平面熱應力問題，溫度T僅是坐標x,y的函數(shù)T=T(x,y)，溫度產(chǎn)生的體積膨脹或收縮只影響彈性體的正應變，此時材料的應力-應變關系變?yōu)?,將上式移項有：,溫度產(chǎn)生 的正應變,October 9, 2004,第四章-23,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（9）熱應力的計算,再改寫成應力得形式，有：,引進記號：,溫度產(chǎn)生 的正應力,October 9, 2004,第四章-24,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（9）熱應力的計算,代入單元剛度矩陣計算公式有：,上式中第二項表示由于

18、溫度作用而產(chǎn)生的節(jié)點力，對上式進行移項：,可以看出，當結構不受力時節(jié)點實際載荷并不存在，而包含溫度的項就相當于作用在單元節(jié)點的“等效節(jié)點載荷”。,0=,October 9, 2004,第四章-25,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,軸對稱問題的單元分析,在工程實際中，如果結構的幾何形狀、約束條件及所受的外載都繞某一軸對稱，則所有的應力、應變和位移也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱問題。如各種壓力容器、宇航結構、圓柱（筒）等都是軸對稱問題。,在描述軸對稱問題時，采用圓柱坐標(r,z)比較方便。 用相距dr的兩個圓柱面，互成d角的兩個垂直面，和兩個相距dz的水平面，從彈性體中分離出一個小的微元體，用r

19、r表示徑向正應力，表示環(huán)向正應力，zz表示軸向正應力，剪應力分量rz=zr。,October 9, 2004,第四章-26,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,軸對稱問題的單元分析,任何一點只有兩個位移分量：即沿r方向的徑向位移u，和沿z方向的軸向位移w。由于對稱性，垂直對稱面的方向環(huán)向位移為零；剪應力分量r=r=0，z=z=0。 這樣在軸對稱問題中，所求解的未知參量有： 位移分量：f=u，wT； 應力分量：=rr，zz，rzT； 應變分量：=rr，zz，rzT； 共計10未知參量。軸對稱問題分析就是在確定約束和載荷邊界條件下，求解結構中上述10未知參量的分布規(guī)律。,October 9, 2004

20、,第四章-27,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（1）軸對稱問題基本方程,根據(jù)圖所示微元體的在r和z方向的平衡條件Rr=0, Rz=0，可推導出軸對稱問題的平衡方程為：,由幾何關系，可導出幾何方程為：,October 9, 2004,第四章-28,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（1）軸對稱問題基本方程,由廣義Hookes Law可得物理方程（應力-應變關系）為：,對稱,October 9, 2004,第四章-29,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（2）位移模式,在軸對稱問題中，以任一對稱面(r, z)為研究對象。采用的單元是一些軸對稱環(huán)形單元，其橫截面（與rz面相交的截面）可以是各種平面形狀，就像平面問題在xy面上進行離散化。,r, (x),z,o,y, (),r,o,z,m,j,i,ui,uj,um,wi,wj,wm,October 9, 2004,第四章-30,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（2）位移模式,采用三角形單元對軸對稱截面進行離散化，仿照平面問題，選擇線性位移模式：,可以得到與平面問題類似的關系式，即：,其中，Ni=(ai+bir+ciz)/2A, (i,j,m)。,October 9, 2004,第四章-31,工程數(shù)值模擬技術有限元分析方法,（2）位移模式,在軸對稱問題中，每個節(jié)點有四個應變分量，沿r方向