八年級下冊數(shù)學(xué)--二次根式知識點整理

1、二次根式1、 算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。的解集為-2x5。X-2X52、 解不等式（組）：尤其注意當(dāng)不等式兩邊乘(除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變。如：-2x4，不等式兩邊同除以-2得x-2。不等式組的解集是兩個不等式解集的公共部分。如3、 分式有意義的條件：分母04、 絕對值：a=a （a0）；a= - a （a0）一、 二次根式的概念一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。 正確理解二次根式的概念，要把握以下五點：（1） 二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有二次根號“”，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們

2、一般省略根指數(shù)2，寫作“”。如可以寫作。（2） 二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子。（3） 式子表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a0，0。其中a0是有意義的前提條件。（4） 在具體問題中，如果已知二次根式，就意味著給出了a0這一隱含條件。（5） 形如b（a0）的式子也是二次根式，b與是相乘的關(guān)系。要注意當(dāng)b是分?jǐn)?shù)時不能寫成帶分?jǐn)?shù)，例如可寫成，但不能寫成2 。練習(xí)：一、判斷下列各式，哪些是二次根式？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）3； （7）（x- ）二、當(dāng)x取什么實數(shù)時，下列各式有意義？（1）； （2）二、二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)符號語言文

3、字語言應(yīng)用與拓展注意（a0）的性質(zhì)0（a0）一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)。（1）二次根式的非負(fù)性（0，a0）應(yīng)用較多，如：+=0，則a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，則x的取值范圍是x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非負(fù)性的性質(zhì)：a20；a0；0（a0）。（3）若a2+b+=0，則a=0，b=0，c=0，即若幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個非負(fù)數(shù)分別等于0。（a0）的最小值為0。（）2（a0）的性質(zhì)（）2 = a（a0）一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；逆用公式：若a0，則a=（）2如：2=（）2，=（）2逆用公式可以

4、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)的性質(zhì)=a=a（a0）或=a= - a（a0）一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。（1）正用公式：=3-=3- （2）逆用公式：3=3化簡形如的式子時，先轉(zhuǎn)化為a形式，再根據(jù)a的符號去掉絕對值號。練習(xí)：計算（1）（）2 (2) （4）2 (3) （4）- （6）+ （1x3）（）2（a0）與的區(qū)別與聯(lián)系：（）2 區(qū) 別表示的意義不同表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根取值范圍不同a0a為任意實數(shù)讀法不同讀作“根號a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作“根號a2”或“a的平方的算術(shù)平方根”被開方數(shù)不同被開方

5、數(shù)是a被開方數(shù)是a2運算順序不同先開放后平方先平方后開方運算結(jié)果，運算依據(jù)不同（）2 =a，依據(jù)平方與開平方互為逆運算得到依據(jù)算術(shù)平方根的定義得到作用不同（）2 = a（a0），正向運用可化簡二次根式，逆向運用可以將任意一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式=a，正向運用可以將根號內(nèi)的非負(fù)因式取算術(shù)平方根移到根號外，逆用運用可以將根號外的非負(fù)因式平方后移到根號內(nèi)聯(lián) 系含有兩種相同的運算，都要進(jìn)行平方與開方結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；a0時，（）2=三、代數(shù)式用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式。例：3，x，x+y，（x0），-ab，（t0，x3都是代數(shù)

6、式注（1）單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式；（2）代數(shù)式中不能含有關(guān)系符號（，=等）（1） 將兩個代數(shù)式用關(guān)系符號（，=等）連接起來的式子叫關(guān)系式，方程和不等式都是關(guān)系式。如2x+33x-5是關(guān)系式。練習(xí)：下列式子：0；22+x=4；1；2a+3b；(x2)，其中是代數(shù)式的有（ ） 列代數(shù)式的常用方法：（1） 直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式。（2） 公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式。（3） 探究規(guī)律法：將蘊含在一組數(shù)或一組圖形中的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來。練習(xí)：列代數(shù)式（1）把a本書平均分給若干名學(xué)生，若每人分5本，還余3本，則學(xué)生人數(shù)為（ ）（2）若圓A的半徑r是圓B的半徑的5倍，則這兩個圓的

7、周長之和為（ ）典型例題剖析題型一：二次根式有意義的條件當(dāng)x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）-； （2）； （3）+題型二：利用二次根式的非負(fù)性化簡求值已知a2+=4a-4，求的值。題型三：二次根式非負(fù)性的簡單應(yīng)用已知實數(shù)x，y滿足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ ）題型四：利用=a并結(jié)合數(shù)軸化簡求值已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示。試化簡：+-題型五：=a與三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用在ABC中，a，b，c是三角形的三邊長，化簡-2c-a-b題型六：逆用（）2 = a（a0）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x4-4； （2）x4-4x2+

8、4二次根式的乘除1、 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2、 單項式與單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。一、 二次根式的乘法法則=（a0，b0）即：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變（1） 進(jìn)行二次根式的乘法運算時，一定不能忽略其被開方數(shù)a，b均為非負(fù)數(shù)這一條件。（2） 推廣=（a0，b0，c0）ac=ac乘法交換律和結(jié)合律在二次根式的乘法中任然可應(yīng)用。練習(xí)：（1）；（2）；（3）4(4)6（-2）二、二次根式乘法法則的逆用=

9、（a0，b0）即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積利用這個性質(zhì)可以把二次根式化簡，在進(jìn)行二次根式的化簡運算時，先將被開方數(shù)進(jìn)行因式分解或因數(shù)分解，然后再將能開得盡方的因式或因數(shù)開方后移到根號外。注：（1）公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0，實際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左邊，只要ab0即可，如。（2）在本章中如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：=（a0，b0，c0，d0）練習(xí)：化簡 （1）； （2）；（3）； （4）； （5）三、二次根式的除法法則=（a0，b0）即：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注：（1）a必須是非負(fù)

10、數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負(fù)數(shù)，雖然0，有意義，但，在實數(shù)范圍內(nèi)無意義；若b=0，則無意義。（2）如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如必須先化成，以免出現(xiàn)=這樣的錯誤。（3）在二次根式的計算中，最后結(jié)果應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，同時分母中不含二次根式。推廣：（m）（n）=（mn）（），其中a0，b0，n0。練習(xí)：計算（1）； （2）-（）；（3）（-； （4）四、二次根式除法法則的逆用=（a0，b0）即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左

11、邊，只要0即可。例如計算，不能寫為=，而應(yīng)寫為=。利用這個公式，同樣可以達(dá)到化簡二次根式的目的，在化簡被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（或分式）的二次根式時，先將其化為（a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個適當(dāng)?shù)囊蚴剑シ帜钢械母柤纯?。?dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)先把它化成假分?jǐn)?shù)。練習(xí)：化簡（1）； （2）； （3）五、最簡二次根式的概念滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。對于最簡二次根式的概念我們可作如下解釋：（1）被開方數(shù)中不含分母，因此被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1

12、?；喍胃降囊话惴椒?方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行開方=2，=xy2化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)=或=若被開方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)=或=被開方數(shù)是多項式的要先進(jìn)行因式分解=（x2+y2）練習(xí)：下列二次根式中哪些是最簡二次根式？哪些不是？若不是，請說明理由。（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號的方法來進(jìn)行，這種化去分母中根號的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個含有二次根式的代數(shù)式相

13、乘，如果它們的積不含二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號。分母有理化因式不唯一，但以運算最簡便為宜。常用的有理化因式有：與；與；與；+與-；a+c與a-c等。練習(xí)：把下列二次根式化成最簡二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）典型例題剖析題型一：二次根式乘除法法則成立的條件（1） 若=成立，則（ ）A、x3 B、x-3 C、-3x3 D、x為任意實數(shù)（2）如果=成立，那么（ ）A、x6 B、0x6 C、x0 D、x6題型二：二次根式的化簡化簡：（1）； （2）； （3）題型三：二次根式的乘法混合運算計算：（1）3（-5）；（2）2（）題型四：利用二次根式的性質(zhì)把根號外的

14、非負(fù)因數(shù)（式）移到根號內(nèi)把下列各式中根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)：（1）5；（2）-3；（3）-2a；（4）-a；（5）x（x0，y0）題型五：二次根式的大小比較比較大?。海?）7與3； （2）-2與-3二次根式的加減1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項，例如3ab與-4ab2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)和，且字母部分不變。3、整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（ab）2=a22ab+b

15、2 5、多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn一、可以合并的二次根式將二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項類似，把括號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如m+n=（m+n）練習(xí)：化簡下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）；（2）-；（3）；（4）（a0，b0）；（5）b；（6）2； （7）（a0，b0）； （8）3（a0，b0）；二、二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被

16、開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個二次根式化成最簡二次根式；（2）找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，可簡記為：化簡判斷合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減被開方數(shù)被開方數(shù)相乘除被開方數(shù)不變化簡結(jié)果化成最簡二次根式先化成最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式注：（1）化成最簡二次根式后被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分；（2）整式加減運算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用；（3）根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)的形式。練習(xí)：計算：（1）+6 - 2x；（2）（-+2）-（ - ）二、二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）。在二次根式的運算中，