幾何畫板在代數(shù)及解析幾何中的應(yīng)用案例

1、幾何畫板在代數(shù)及解析幾何中的應(yīng)用案例幾何畫板是從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件，目前已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一，因?yàn)槠鋵W(xué)習(xí)入門容易并且操作簡(jiǎn)單，而且有著強(qiáng)大的圖形、圖象和動(dòng)畫功能，能在“形”與“數(shù)”之間自由轉(zhuǎn)換，能方便地建立“可見形式”與“抽象形式”之間的關(guān)系，增大了數(shù)學(xué)被直接感知的可能，從而為改善數(shù)學(xué)的教學(xué)方式提供了極大的便利，本文我將結(jié)合具體教學(xué)案例重點(diǎn)介紹幾何畫板在高中數(shù)學(xué)代數(shù)、解析幾何兩方面的應(yīng)用。一、幾何畫板在代數(shù)中的應(yīng)用。幾何畫板在代數(shù)中的應(yīng)用，主要通過必修一第二章基本初等函數(shù)來予以演示。(一)、對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)實(shí)例本節(jié)課，新課標(biāo)要求我們先通過描點(diǎn)法探究 和 兩個(gè)函數(shù)，再探究“對(duì)于選

2、取不同的底數(shù)a，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的函數(shù)圖像，觀察圖像，發(fā)現(xiàn)它們的共同特征”。如果我們采取過去“一黑到底”的教學(xué)模式，估計(jì)一節(jié)課的時(shí)間就只能夠畫圖了，而且還不能清晰的展示出對(duì)數(shù)函數(shù)的特征?；蛟S老師索性不探究，直接給出對(duì)數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)，但這樣就喪失了新課改的精神，使學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究問題的能力。我們利用描點(diǎn)法畫出 和 的函數(shù)圖像（圖表1） （圖表 1）圖表2：改變 中a的值，讓學(xué)生觀察當(dāng)a值改變時(shí)，圖像的變化情況，并提出相關(guān)問題，讓學(xué)生帶著問題思考。1、當(dāng)0a1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎？2、不管a取何值，圖像是否經(jīng)過同一點(diǎn)？3、在a的值不斷增大的過程中，函數(shù)圖像是如何變化的呢？帶

3、著問題，學(xué)生觀看圖表2的演示，從圖像的變化痕跡中整體把握對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。（圖表2）本節(jié)課，學(xué)生很容易觀察到:1、當(dāng)0a1時(shí)，在（0，+）上單調(diào)遞增，并且發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+），值域是R。2、恒過（1，0）點(diǎn)。3、在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。通過圖形的動(dòng)態(tài)演示，一舉多得，使學(xué)生能夠?qū)?duì)數(shù)函數(shù)有個(gè)整體的了解，并且能夠?qū)χR(shí)形成深刻的印象，解決日常教學(xué)中的難點(diǎn)問題，比如第三問。（二）、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱的教學(xué)實(shí)例新課標(biāo)要求學(xué)生們掌握同底的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，并了解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱。本節(jié)課亦可以借助幾何畫板，化抽象為直

4、觀，化靜止為運(yùn)動(dòng)。如圖表3，點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，說明了兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，而a的改變，說明了只要指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)同底，那么它們的圖像就關(guān)于y=x對(duì)稱，進(jìn)一步說明了它們互為反函數(shù)。（圖表 2）（三）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)對(duì)比教學(xué)實(shí)例學(xué)習(xí)貴在對(duì)比，只有把概念區(qū)分清楚，才能避免在做題時(shí)出錯(cuò)。例如，圖表4，可以讓學(xué)生觀察在第一象限，指數(shù)函數(shù) 、 對(duì)數(shù)函數(shù) 、 冪函數(shù) 隨著c、b、a的取值的不同，三個(gè)函數(shù)的變化情況。通過對(duì)比學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握三個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。（圖表 3）從上面的三個(gè)教學(xué)實(shí)例中可以看出，幾何畫板可以使我們的課堂更加形象化，化抽象為直觀，化靜止為運(yùn)動(dòng)。但幾何畫板的應(yīng)用不僅止于此。在代數(shù)

5、中，多種函數(shù)圖像、三角函數(shù)圖像的變換、甚至是在不等式、數(shù)列也可以應(yīng)用，在此就不贅述了。二、幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用。幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用，我主要通過選修1-1第二章圓錐曲線與方程的第一節(jié)橢圓的具體案例來予以演示。（一）橢圓定義的探究在新教材中，對(duì)于橢圓定義的探究取一條細(xì)繩，把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2，用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形。這個(gè)探究可以利用實(shí)際演示，也可以利用幾何畫板。實(shí)際演示效果固然很好， 但需要相應(yīng)的道具輔助，在信息技術(shù)不斷發(fā)展的今天，我們也可以利用信息技術(shù)工具幾何畫板來探究。1、圖表5拖動(dòng)M點(diǎn)，即可形成橢圓。從圖中可以看到，不管怎么變，始

6、終有|MF|+|MF|=2a=6.19厘米期間，可以讓學(xué)生親自拖動(dòng)，體會(huì)橢圓的形成過程！無形中，更加說明了解析幾何里面的一個(gè)思想，曲線是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。學(xué)生對(duì)于求動(dòng)點(diǎn)軌跡類型的題目會(huì)有了一個(gè)動(dòng)態(tài)的理解，也不會(huì)感到陌生了。（圖表5）（二）橢圓離心率的探究橢圓的離心率是橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中的一個(gè)重要性質(zhì)，應(yīng)用廣泛。本節(jié)課我采用一種新的教學(xué)策略形象類比+幾何畫板動(dòng)態(tài)演示。過程如下教師：說起離心率，先說說我們的老朋友圓，圓是曲線界最完美的圖形，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)心，每天一心一意的快樂！而橢圓呢，除了一個(gè)中心外，還有兩個(gè)焦點(diǎn)，就像我們?nèi)祟悾艘活w心以外，還有兩個(gè)心房，一個(gè)住著快樂，一個(gè)住著悲傷，所以橢圓也有

7、自己的喜怒哀樂，越圓越快樂，越扁越悲傷，那么有沒有一個(gè)量來刻畫橢圓的扁平程度呢？會(huì)不會(huì)兩個(gè)心房即兩個(gè)焦點(diǎn)的距離距離橢圓的中心越近，橢圓越圓呢?（圖表6）。（圖表 6）利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示橢圓扁平變化。（1）、長(zhǎng)軸長(zhǎng)保持不變，改變焦點(diǎn)到中心的距離，即改變c的值，發(fā)現(xiàn)橢圓有什么變化？（圖表7）（圖表 8）從圖表7、8的動(dòng)畫演示過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a不變，改變c的值，c越小橢圓越圓。（2）、焦距保持不變，改變a的值，發(fā)現(xiàn)橢圓有什么變化？（學(xué)生思考）（圖表 9）（圖表 10）從圖表9、10的動(dòng)畫演示過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，c保持不變，a的值越大，橢圓越圓。教師可適時(shí)引出離心率的概念，學(xué)生繼續(xù)觀察指出e越小橢圓較圓，反之較扁， 特別當(dāng)c=0 即e=0時(shí)變成了圓，（即e 大則扁， e 小則圓，特別 e=0 時(shí)為圓）如（圖表 4）因此離心率是一個(gè)刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點(diǎn)，教學(xué)中借助動(dòng)畫演示，結(jié)合教師啟發(fā)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解離心率的定義及離心率對(duì)橢圓形狀的影響） 通過上面幾個(gè)案例，我們看出了幾何畫板在動(dòng)畫、追蹤、軌跡等功能，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的許多不足，可以讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的研究中啟發(fā)直覺思維，使學(xué)生不再是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解它，而是能夠更有真實(shí)感的去把握它，理解它，很多數(shù)學(xué)問題也可以得到及時(shí)驗(yàn)證。更使的原來枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)以學(xué)生喜歡的方式呈現(xiàn)出來，能夠?yàn)?/p>