第2講-雙曲型方程組.ppt

1、計(jì)算流體力學(xué)講義 第二講 雙曲型方程組及間斷解 李新亮 ；力學(xué)所主樓219； 82543801,知識點(diǎn)： 雙曲型方程組邊界條件提法 雙曲型方程的特征方程 雙曲型方程的間斷解及熵條件 Riemann間斷解,1,講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)） - “流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論 ”,第2 講 雙曲型方程組及其間斷解,2.4 雙曲型方程及其數(shù)學(xué)性質(zhì),考慮方程組：,令：,1. 雙曲方程邊界條件的提法,如果矩陣A 能通過相似變換對角化,雙曲型,Copyright by Li Xinliang,2,1) 一階常系數(shù)偏微方程組,如果矩陣A 可以被對角化：,令：,有,即：,m個方程完全解耦， 可獨(dú)立求解

2、,有m 條特征線：,m個特征相容關(guān)系式：,如果矩陣A能夠（相似變換）對角化，則原方程是雙曲型的,Copyright by Li Xinliang,3,雙曲方程邊界條件提法,變換成為了彼此獨(dú)立的n個單波方程,方法： 獨(dú)立給定j個方程的邊界條件 如果 lj0, 則在左端給定vj的邊界條件 如果 lj0, 則在右端給定vj的邊界條件,特點(diǎn)： 左、右邊界總共給定n個邊界條件，各自的個數(shù)視特征值的符號確定,可推廣到一般的雙曲型方程組,Copyright by Li Xinliang,4,2） 一維Euler方程,對于左邊界：,Copyright by Li Xinliang,5,知識點(diǎn),變系數(shù)方程組的情

3、況,令：,令,（行向量）,在x-t空間引入曲線：,滿足：,2. 雙曲型方程組的特征方程,Copyright by Li Xinliang,6,（變系數(shù)情況）雖然不能解耦，但還能轉(zhuǎn)換成常微方程,對于兩自變量情況,可化為：,如果存在積分因子，使得,則有：,Riemann不變量,Copyright by Li Xinliang,7,沿特征線： Riemann不變量保持不變,2個常微方程,常見情況討論: 一維等（均）熵運(yùn)動,例如，膨脹波,矩陣B的特征值,沿特征線1：,有：,令：,則有,沿特征線1： R不變,同理，沿特征線2：,保持不變,對于等熵完全氣體,Riemann 不變量,Copyright by

4、 Li Xinliang,8,知識點(diǎn)，牢記！,第1個方程轉(zhuǎn)化為,尋找積分因子：,一維均熵流動沿特征線Riemann不變量保持不變,例2.1： 有限振幅波的傳播問題,考慮一維無粘流動（Euler方程），初始時刻（t=0）流動狀態(tài)如下：,試分析t=t0時刻的流動狀態(tài) （假設(shè)流場不出現(xiàn)間斷）,不同時刻的速度分布（A=1）,不同時刻的速度分布（A=0.01）,思考題： 小擾動的傳播情況？,數(shù)值解,利用特征線，分析不同區(qū)域的差異,等（均）熵情況下，同族特征線不會相交,Copyright by Li Xinliang,9,目的： 學(xué)會如何運(yùn)用Riemann不變量解題,Copyright by Li Xin

5、liang,10,一維擾動波的傳播 （上： A=1; 下： A=0.01）,基本解題思路： 利用特征關(guān)系,1,2,3,x,t,解出 x1, x2,利用Riemann不變量得：,解出,區(qū)域（2），（4） 未擾動,區(qū)域（1）內(nèi)的流動使用基本方法計(jì)算,區(qū)域（3）內(nèi)的計(jì)算可簡化,A B,D,C,E,F,G,(3) 區(qū)內(nèi)的波傳播速度為常數(shù)，且在傳播過程中物理量保持不變 簡單波 特征線為直線,注意：,因而方程是非線性的,給定x3,t3 利用,Copyright by Li Xinliang,11,（假設(shè)t3充分小）,解出t3時刻的流場，繼續(xù)推進(jìn)下個時刻,概念： 簡單波,區(qū)域 （3） 內(nèi)擾動波的傳播特點(diǎn),x

6、,t,（1）,（2）,（3）,（4）,考慮 （3）區(qū)內(nèi)的, 同屬一條特征線M 上的任意兩個點(diǎn)4 和5：,1,2,3,4,5,由于點(diǎn)1 和點(diǎn)3 均在未擾動區(qū)：,M,在（3）區(qū)內(nèi)， 所有物理量（u,c）沿特征線M不變 特征保持直線，特征波傳播速度不變,簡單波,Copyright by Li Xinliang,12,3. 雙曲型方程的間斷解,雙曲方程的特點(diǎn)： 擾動波傳播速度有限 可能產(chǎn)生間斷,弱間斷： 函數(shù)連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)間斷 （如稀疏波的波頭、波尾） 強(qiáng)間斷： 函數(shù)本身間斷 （如激波、接觸間斷）,流體力學(xué)控制方程： 積分型 （假設(shè)函數(shù)連續(xù)、光滑） 微分型,間斷處雖然無法滿足微分型方程， 但積分型方程（

7、三大守恒律）仍然滿足,例： 激波兩側(cè)關(guān)系,原則： 連續(xù)區(qū)需滿足微分方程 間斷兩側(cè)必須滿足積分方程,Copyright by Li Xinliang,13,z,4. 雙曲型方程的弱解及熵條件,1） 弱解,若u(x,t)在除有限條間斷外連續(xù)可微且滿足方程（1）； 且在間斷線 滿足：,（1）,Copyright by Li Xinliang,14,則稱 u(x,t)是方程（1）的弱解,“間斷處滿足積分方程”,任意控制體,Green 公式,充分小的積分路線,兩側(cè)均視為常值,間斷傳播的速度,快速記憶法：,Copyright by Li Xinliang,15,弱解不是唯一的,例：,弱解：,t時刻的分布：

8、,全部都滿足,物理模型,三個全都是弱解,初始條件：,物理解：,概念：雙曲型方程（1）的“物理解”,當(dāng)： 時收斂到的解,Copyright by Li Xinliang,16,2） 熵條件,定理： 若u(x,t) 是（1）的弱解，且在間斷處滿足：,其中w是介于u+及u-之間的任意值。 則u(x,t)是唯一的物理解。,物理含義： 特征線匯聚 間斷,特征線 (斜率 u),不滿足熵條件， 非物理,特性線向間斷處匯聚 滿足熵條件,特征線,特性線從間斷處發(fā)散 不滿足熵條件,2. 5 Riemann間斷解,1. 問題的提出,Euler方程初始間斷的傳播問題,典型例子： Sod激波管問題,間斷條件：,質(zhì)量、動

9、量、能量守恒,Copyright by Li Xinliang,17,Sod問題密度（上）、壓力（中）及速度（下）分布,（感謝 Wuming2723628網(wǎng)友進(jìn)行格式轉(zhuǎn)換）,解題思路： a) 數(shù)值解：Euler方程離散化，數(shù)值解 - 難點(diǎn): 間斷 20世紀(jì) 70年代 (人工粘性，Steger-Warming, Roe) 80 年代TVD, NND 90年代 ENO, WENO, AUSM, GVC 21世紀(jì) WENO, AUSM+， DG b) 精確解：利用空氣動力學(xué) （積分關(guān)系式）,激波： R-H 關(guān)系式 膨脹波： 特征相容關(guān)系（Riemann不變量） 接觸間斷： 隨流體傳播，僅密度突變,間

10、斷條件：,質(zhì)量、動量、能量守恒,初始值不滿足間斷關(guān)系，會分解成三個波獨(dú)立傳播,Copyright by Li Xinliang,18,膨脹波 接觸間斷 激波,Sod 激波管起動后氣流演化過程示意圖,膨脹波 接觸間斷 激波,示意圖,一般情況：五種可能,x,t,激波 接觸間斷 激波,膨脹波 接觸間斷 激波,激波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 膨脹波,（1） （2）,（3） （4）,（5）,分析,Copyright by Li Xinliang,19,動畫演示： 密度的演化,2. 求解方法 針對每種情況分別考慮； 利用積分關(guān)系，將微分方程化成代數(shù)方程計(jì)算,x,t,激波 接觸間斷

11、 激波,Zone: 1 3 4 2,積分關(guān)系式： 1-3 兩區(qū),2-4 兩區(qū),3-4 兩區(qū),8個方程，8個未知數(shù)?？山?！,其中：,1) 對于情況（1）,Copyright by Li Xinliang,20,Z1, Z2 : 以向右運(yùn)動為正,1-3 兩區(qū) 積分關(guān)系式,同樣，由2-4 兩區(qū)關(guān)系式，可解出,其中：,具體求解方法,Copyright by Li Xinliang,21,3個方程，4個未知數(shù) 將壓力設(shè)為已知，解出速度,利用（3） (4)兩式，有,1個方程、1個未知數(shù) ，可解 （例如Netwon迭代法）,思路：消元法 利用激波關(guān)系式，解出速度對壓力的依賴關(guān)系,代入（3）解出,再代入原式解

12、出,解出,OK,膨脹波內(nèi)部物理量的計(jì)算,波尾,原則： 先計(jì)算（4） （5） 區(qū), 再計(jì)算稀疏波內(nèi)部,Copyright by Li Xinliang,22,對于情況2 Sod 激波管問題屬于該情況,膨脹波區(qū) 接觸間斷 激波,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,未知數(shù)7個：,方程： 2-5 兩區(qū)關(guān)系式：,4-5兩區(qū)關(guān)系式,補(bǔ)充一個： 1-4兩區(qū)關(guān)系（Riemann不變量）：,7 個方程，7個未知數(shù)，可解 ！,具體解法與前面類似,再補(bǔ)充一個： 膨脹波內(nèi)等熵,仍然是消元法，利用1-4區(qū)關(guān)系 給出速度對壓力的依賴關(guān)系,? 為什么未知數(shù)比情況1少1個？,Copyright by Li Xinlian

13、g,23,激波、膨脹波前后速度-壓力的依賴關(guān)系可寫成統(tǒng)一的形式：,左波 （激波或膨脹波）：,右波（激波或膨脹波）,（ 表示（4）（5）區(qū)的速度和壓力）,其中：,激波,稀疏波,得到方程：,（8）,1 個方程， 1個未知數(shù)，可解,求解(8) 得到4,5兩區(qū)的壓力,然后，解出速度和密度,膨脹波內(nèi)部物理量的計(jì)算,x,t,x,t,波頭,波尾,處理方法： 1） 計(jì)算膨脹波的范圍 波頭傳播速度 波尾傳播速度,（1）,（2）,（3）,(4),(5),2）在膨脹波區(qū)內(nèi)，利用特征相容關(guān)系計(jì)算 利用簡單波的特性，簡化計(jì)算,簡單波,x=0,特征線由x=0發(fā)出,再利用另一條特征線的信息：,解出,再利用等熵關(guān)系，計(jì)算,C

14、opyright by Li Xinliang,24,膨脹波 接觸間斷 激波,Copyright by Li Xinliang,25,求解步驟 針對情況1， 2,step1. 求解方程 (8)， 解出 4，5區(qū)的壓力 單未知數(shù)代數(shù)方程；數(shù)值方法求解,其中：,step 2. 求出4，5區(qū)的速度、密度、激波移動速度,step 3. 計(jì)算出稀疏波區(qū)的量,針對情況1， 求解完成； 對于情況2 繼續(xù)step 3,其中各區(qū)的范圍如下 （以情況2 討論）：,1 區(qū)： 3 區(qū)： 4 區(qū)： 5 區(qū)： 2 區(qū)：,以上步驟完全適用于 情況3， 4， 5 （因?yàn)?式同時適用于激波和稀疏波）！,Riemann 問題五種可能情況,x,t,激波 接觸間斷 激波,膨脹波 接觸間斷 激波,激波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 接觸間斷 膨脹波,膨脹波 膨脹波,（1） （2）,（3） （4）,（5）,如何區(qū)分這5種情況？,Copyright by Li Xinliang,26,假設(shè),準(zhǔn)則如下：,情況1,情況3,情況4,利用函數(shù) （由 8式定義）,函數(shù)性質(zhì)很好 單調(diào)連續(xù),情況5,思考題? 為什么沒有出現(xiàn)情況 2,情況5,情況4,情況3,情況1,Ri