高中數(shù)學(xué)課件 第三章 第3節(jié) 《三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)》.ppt

1、1.能畫出ysinx，ycosx，ytanx的圖象，了解 三角函數(shù)的周期性. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì) (如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)， 理解正切函數(shù)在區(qū)間( ， )內(nèi)的單調(diào)性.,1.周期函數(shù) (1)周期函數(shù)定義 對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫周期函數(shù).T叫做這個(gè)函數(shù)的周期 (2)最小正周期定義 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè) 就叫做f(x)的,f(xT)f(x),最小正數(shù),最小正周期,思考探究1 如果函數(shù)yf(x)的周期是T，那么函數(shù)yf(x)的周期是多

2、少？,提示：函數(shù)yf(x)的周期是 .,2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),x|x 2k，kZ,R,R,y|1 y 1,y|1 y 1,R, 2k，,( ,上遞增，kZ； 上遞減，kZ,上遞增，Z； 上遞減，kZ,上遞增 kZ,x 時(shí)， ymax1(kZ)； x 時(shí)， ymin1(kZ),x 時(shí) ， ymax1(kZ)； X 時(shí)， ymin1(kZ),K， + K),2k, 2k， 2k,(2k1)，2k,2k，(2k1),2k,-,2k,2k,2k,奇,偶,奇,(k，0)，kZ,(k ,0) kZ,( ，0)，kZ,2,2,xk ，kZ,無(wú),xk，kZ,思考探究2 正弦函數(shù)和余弦函

3、數(shù)的圖象的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心與函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)有什么關(guān)系？,提示：ysinx與ycosx的對(duì)稱軸方程中的x都是它們?nèi)〉米畲笾祷蜃钚≈禃r(shí)相應(yīng)的x，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是它們的零點(diǎn).,1.函數(shù)ysin(x)(0)是R上的偶函數(shù)，則 等于 () A.0B. C. D.,解析：要使函數(shù)ysin(x )為偶函數(shù)，則 k.,答案：C,2.設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x )，xR，則f(x)是 () A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù),解析：f(x)sin(2x )cos2x 函數(shù)f(x)的周期為，且為偶函數(shù).,答案：B,3.函數(shù)ysin(2

4、x )的圖象 () A.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x 對(duì)稱 C.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x 對(duì)稱,解析：當(dāng)x 時(shí)，ysin0， 當(dāng)x 時(shí)ysin( ) cos ， 函數(shù)ysin(2x )的圖象關(guān)于( ,0)對(duì)稱.,答案：A,4.y23cos(x )的最大值為. 此時(shí)x.,解析：當(dāng)cos(x )1時(shí)，函數(shù)y23cos(x )取得最大值5，此時(shí)x 2k，而x 2k，kZ.,答案：5 2k，kZ,5.函數(shù)ysin(x )，x(0， 的值域是.,解析：,答案：,求三角函數(shù)的定義域時(shí)，轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解，常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時(shí)可以利 用單位圓，對(duì)于周期相同

5、的可以先求交集再加周期的整數(shù) 倍即可.,1.用三角函數(shù)線解sinxa(cosxa)的方法 (1)找出使sinxa(cosxa)的兩個(gè)x值的終邊所在位置. (2)根據(jù)變化趨勢(shì)，確定不等式的解集. 2.用三角函數(shù)的圖象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法. (1)作直線ya，在三角函數(shù)的圖象上找出一個(gè)周期內(nèi)(不 一定是0,2)在直線ya上方的圖象. (2)確定sinxa(cosxa，tanxa)的x值，寫出解集.,求下列函數(shù)的定義域：,思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)要使原函數(shù)有意義，必須 有： 由圖知，原函數(shù)的定義域?yàn)椋?(2)要使函數(shù)有意義， 則 得 函數(shù)定義域是x|0 x 或x4.,如何求函

6、數(shù)ylg(sinxcosx)的定義域？,解：要使函數(shù)有意義，必須使sinxcosx0. 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysinx和ycosx的圖象，如圖所示.,在0,2內(nèi)，滿足sinxcosx的x為 再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)閤| 2kx 2k，kZ.,1.形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 基本思路是把x 看作一個(gè)整體，由 2kx 2k(kZ)求得函數(shù)的增區(qū)間，由 2kx 2k(kZ)求得函數(shù)的減區(qū)間.,2.形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)，可先利用 誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)Asin(x )， 由 2kx 2k(kZ)得到函數(shù)的減 區(qū)

7、間，由 2kx 2k(kZ)得到函數(shù) 的增區(qū)間.,3.對(duì)于yAtan(x)(A、 為常數(shù))，其周期T ， 單調(diào)區(qū)間利用x (k ，k )(kZ)，解出x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.,特別警示求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意A和的符號(hào).,已知函數(shù)f(x)log2 (2x ). (1)求函數(shù)的定義域； (2)求滿足f(x)0的x的取值范圍； (3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)令 sin(2x )0sin(2x )0 2k2x 2k，kZk xk , kZ.故函數(shù)的定義域?yàn)?k ，k )，kZ.,(2)f(x)0，sin(2x ) 2x 2k 或2k ，kZxk 或x

8、k ，kZ， 故x的取值范圍是x|xk 或xk ，kZ.,(3)令2k 2x 2k，kZ2k 2x2k ，kZk xk ，kZ， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k ，k )，kZ.,如何求函數(shù)y 2x)，x，的單調(diào)減區(qū)間？,解：由ysin( 2x)得ysin(2x )， 由 2k2x 2k得,函數(shù)ysin( 2x)，x，的單調(diào)遞減區(qū)間為,求三角函數(shù)的值域(或最值)的常見題型及解法為： 1.yasinxbcosx型可引用輔助角化為y sin(x )(其中tan ). 2.yasin2xbsinxcosxccos2x型可通過降次整理化為y Asin2xBcos2x.,3.yasin2xbcosxc

9、型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù). 4.sinxcosx與sinxcosx同時(shí)存在型可換元轉(zhuǎn)化. 5.Y 或y 型，可用分離常數(shù)法或由 |sinx|1來(lái)解決. 6.Y 型，可用斜率公式來(lái)解決.,求下列函數(shù)的值域： (1)y2cos2x2cosx； (2)y3cosx sinx； (3)ysinxcosxsinxcosx.,思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)y2cos2x2cosx2(cosx )2 . 當(dāng)且僅當(dāng)cosx1時(shí)，得ymax4， 當(dāng)且僅當(dāng)cosx 時(shí)，得ymin ， 故函數(shù)值域?yàn)?,4. (2)y3cosx sinx ( cosx sinx) |cos(x )| 1， 該函數(shù)值域?yàn)?.,(3)ysinx

10、cosxsinxcosx sin2(x ) sin(x ) sin(x ) 21， 所以當(dāng)sin(x )1時(shí)， y取最大值1 . 當(dāng)sin(x ) 時(shí)，y取最小值1， 該函數(shù)值域?yàn)?， .,若將本例中xR改為x0， 求三個(gè)函數(shù)的值域.,解：(1)y2(cosx )2 又x0， ，cosx0,1，,當(dāng)且僅當(dāng)cosx0時(shí)，ymin0，cosx1時(shí)，ymax4. 故函數(shù)值域?yàn)?,4.,(2)y cos(x )， x ， . cos(x ) ， ， y3， 故值域?yàn)?,3. (3)ysin(x ) 21，且x0， ， sin(x ) ,1，當(dāng)且僅當(dāng)sin(x ) 時(shí)， ymin1，sin(x )1時(shí)，

11、ymax 故函數(shù)的值域?yàn)?， .,新課標(biāo)更加注意三角函數(shù)知識(shí)的系統(tǒng)性與完整性，并且強(qiáng)調(diào)與向量、不等式等知識(shí)的聯(lián)系，因此三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與三角變換、向量等知識(shí)結(jié)合命題，是高考一個(gè)新的考查方向.,考題印證 (2009安徽高考)已知函數(shù)f(x) sinxcosx(0)，yf(x)的圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 () A.k ，k ，kZ B.k ，k ，kZ C.k ，k ，kZ D.k ，k ，kZ,【解析】f(x) sinxcosx2sin(x )(0). f(x)圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，恰好是f(x)的一個(gè)周期， ，2. f(x)2si

12、n(2x ). 故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿足2k 2x 2k (kZ).k xk (kZ).,【答案】C,自主體驗(yàn) 使奇函數(shù)f(x)sin(2x) cos(2x )在 ,0上為減函數(shù)的的值為 () A. B. C. D.,解析：f(x)為奇函數(shù)，f(0)sin cos0. tan ，k ，kZ，f(x)2sin2x， 在 ,0上為減函數(shù)， f(x)2sin2x， .,答案：D,1.(2009廣東高考)函數(shù)y2cos2(x )1是 () A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù),解析：y2cos2(x )1cos(2x )sin2x T，

13、且為奇函數(shù).,答案：A,2.(2009全國(guó)卷)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn) ( ,0)中心對(duì)稱，那么| |的最小值為 () A. B. C. D.,解析：由題意得3cos(2 )3cos( 2) 3cos( )0，cos( )0， k ，k ， 取k0，得|的最小值為 .,答案：A,3.若函數(shù)y2cosx在區(qū)間0， 上遞減，且有最小值1， 則的值可以是 () A.2 B. C.3 D.,解析：由y2cosx在0， 上是遞減的，且有最小值為1，則有：f( )1，即2cos( )1cos ， .,答案：B,4.函數(shù)f(x)sin2xsinxa，若對(duì)xR,1f(x) 恒成 立，則a的取值范

14、圍為.,由題意知 3a4.,解析：f(x)sin2xsinxa a a ， t1,1. t1時(shí)，f(x)mina2； t 時(shí)，f(x)maxa .,答案：3a4,5.(文)對(duì)于函數(shù)f(x) 給出下列四個(gè) 命題： 該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)； 當(dāng)且僅當(dāng)xk(kZ)時(shí)，該函數(shù)取得最小值是1； 該函數(shù)的圖象關(guān)于x 2k(kZ)對(duì)稱； 當(dāng)且僅當(dāng)2kx 2k(kZ)時(shí)，0f(x) . 其中正確命題的序號(hào)是(請(qǐng)將所有正確命題的 序號(hào)都填上).,解析：畫出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象易知正確.,答案：,(理)(2009上海高考)當(dāng)0 x1時(shí)，不等式sin kx成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.,解析：0 x1時(shí)，ysin 的圖象如圖所示， ykx的圖象在0,1之間的部分應(yīng)位于此圖象下方， 當(dāng)k0時(shí)，ykx在0,1上的圖象恒在x軸下方，原不等式成立. 當(dāng)k0，kxsin 時(shí)，在x0,1上恒成立，k1即可. 故k1時(shí)，x0,1上恒有sin kx.,答案：k1,6.(文)已知函數(shù)f(x)2asin(2x )b的定義域?yàn)?， ， 函數(shù)的最大值為1，最小值為5，求a和b的值.,若a0，則 ， 解得 . 綜上可知，a126 ，b2312 或a126 ，b1912 .