高中數(shù)學圓的方程(含圓系)典型題型歸納總結(jié)

1、最新資料推薦高中數(shù)學圓的方程典型題型歸納總結(jié)類型一：巧用圓系求圓的過程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：以為圓心的同心圓系方程過直線與圓的交點的圓系方程過兩圓和圓的交點的圓系方程此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程， 必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。當 時，得到兩圓公共弦所在直線方程倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即 . 依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則

2、，解之可得又滿足方程，則故例 2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。解：圓和的公共弦方程為，即例 1：已知圓與直線相交于兩點，為過直線與圓的交點的圓系方程為坐標原點，若，求實數(shù)的值。，即分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗證得解。1最新資料推薦依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例 3:求證： m 為任意實數(shù)時，直線 (m1)x (2m 1)y m 5 恒過一定點 P，并求 P 點坐標。分析：不論 m 為何實數(shù)時，直線恒過定點，因此，

3、這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。解：由原方程得m(x 2y1) (x y 5) 0，x2y10解得 x9即 xy50y4 ，直線過定點 P（ 9， 4）注：方程可看作經(jīng)過兩直線交點的直線系。例 4 已知圓 C：（x1）2（ y 2）225，直線 l：（2m+1）x+（m+1） y 7m4=0（mR） .（ 1）證明：不論 m 取什么實數(shù)，直線 l 與圓恒交于兩點；（ 2）求直線被圓 C 截得的弦長最小時 l 的方程 .剖析：直線過定點，而該定點在圓內(nèi)，此題便可解得.（ 1）證明： l 的方程（ x+y 4）+m（ 2x+y 7） =0. m R， 2x+y 7=0，得x=3，x+y4

4、=0，y=1，即 l 恒過定點 A（3， 1） .圓心 C（ 1， 2）， AC5 5（半徑），點 A 在圓 C 內(nèi)，從而直線l 恒與圓 C 相交于兩點 .（ 2）解：弦長最小時， l AC，由 kAC 1 ， 2 l 的方程為 2x y 5=0.評述：若定點A 在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？思考討論類型二：直線與圓的位置關(guān)系例 5、若直線 yxm 與曲線 y4x2有且只有一個公共點，求實數(shù)m 的取值范圍 .解：曲線 y4x2表示半圓 x 2y 24( y 0) ，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m 的取值范圍是 2 m2 或 m2 2 .變式練習： 1.若直線 y=x+k 與曲線 x=1

5、y 2恰有一個公共點，則 k 的取值范圍是 _.解析：利用數(shù)形結(jié)合 .答案： 1 k 1 或 k= 2例 6圓 (x 3)2( y 3)29 上到直線 3x4 y 11 0 的距離為1 的點有幾個？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線l1 、 l 2 的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一： 圓 ( x 3)2( y3) 29 的圓心為 O1 (3 , 3) ，半徑 r3設(shè)圓心 O1 到直線 3x4 y113343110 的距離為 d ，則 d32422 3如圖，在圓心 O1 同側(cè)，與直線 3x 4 y11 0 平行且距離為1 的直線 l1 與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又 r d 3 2 1

6、與直線 3x4 y110 平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3 個解法二： 符合題意的點是平行于直線3x4 y110 ，且與之距離為1 的直線和圓的交點設(shè)2最新資料推薦所求直線為 3x 4 y m0m11，則 d1，3242 m 11 5 ，即 m 6 ，或 m 16 ，也即l1：3x 4y6 0 ，或 l 2：3x 4 y 16 0 設(shè)圓(3)2(y3)29的圓心到直線l1 、 l 2 的距離為 d1 、 d2 ，則O1：x33436334316d132423 ， d232421 l1 與 O1 相切，與圓O1 有一個公共點； l2與圓 O1 相交，與圓 O1 有

7、兩個公共點 即符合題意的點共 3 個說明： 對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心 O1 到直線 3x4 y11 0 的距離為 d ，則 d33431132422 3圓 O1 到 3x 4y110 距離為 1 的點有兩個顯然，上述誤解中的d 是圓心到直線 3x 4 y 110 的距離， dr ，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1類型三：圓中的最值問題例 7：圓 x 2y 24x4 y 100 上的點到直線 x y 14 0的最大距離與最小距離的差是解： 圓 ( x2) 2( y2) 218 的圓心為 （ 2 ， 2 ），半 徑 r3 2 ，圓心到直線的距

8、離d105 2 r ， 直線 與 圓 相 離， 圓 上的 點 到 直 線 的最 大距 離 與 最 小 距 離的差 是2(d r ) (d r )2r6 2 .例 8(1) 已知圓(3) 2(y4)2122O1：x， P(x , y) 為圓 O 上的動點，求 d xy 的最大、最小值(2)已知圓 O2：(x2) 2y21 ， P( x , y) 為圓上任一點求y2 的最大、最小值，求 x 2 yx1的最大、最小值分析： (1)、 (2) 兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解： (1)(法 1)由圓的標準方程(x3)2( y4)21 可設(shè)圓的參數(shù)方程為x3cos,y4s

9、in（ 是參數(shù)）,則 dx2y 296coscos216 8 sinsin 2266 cos8sin2610 cos() （其中 tan4）3所以 dmax261036 ， d min26 1016 (法 2)圓上點到原點距離的最大值d1 等于圓心到原點的距離d1 加上半徑 1，圓上點到原點距離的最小值 d2 等于圓心到原點的距離d1 減去半徑 1所以 d1324216 d 2324214 所以 dmax36 dmin16 (2) (法 1)由 ( x2)2y21得圓的參數(shù)方程：x2cos,是參數(shù)ysin,則 y2sin2 令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos23t，1t

10、 2sin() 23t23tsin()13333t41 t24所以 tmax3333， tmin44即 y2 的最大值為33 ，最小值為 33 x1443最新資料推薦此時 x2 y2 cos2 sin25 cos() 所以 x2 y 的最大值為25 ，最小值為25 (法 2)設(shè)y2kxy k 20由于 P( x , y) 是圓上點，當直線與圓有交點時，如xk ，則1圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由 d2kk 21331k 2，得 k4所以 y2 的最大值為3 3 ，最小值為 3 3 x144即 m (1 cos sin ) 恒成立只須m 不小于(1cossin ) 的最大值設(shè) u(sincos) 12 sin() 14 umax2 1即 m21 說明： 在這種解法中，運用了圓上的點的參數(shù)設(shè)法一般地，把圓( xa) 2 ( y b)2 r 2 上的點設(shè)為 ( ar cos, br sin) ( 0 , 2) )采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運用三角公式從代數(shù)觀點來看，這種做法的實質(zhì)就是三角代換令 x2 yt ，同理兩條切線在x 軸上的截距分別是最大、最小