高一數(shù)學(xué)教案：新集合間的關(guān)系

1、1.1.2集合間的基本關(guān)系【自主整理 】1. Veen 圖（ 1）定義：在數(shù)學(xué)中，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn 圖，這種表示集合的方法叫做圖示法（ 2）適用范圍：有限集且元素個數(shù)不太多（ 3）使用方法：把元素寫在封閉曲線的內(nèi)部2. 子集（ 1）定義：一般地，對于兩個集合A 與 B，如果集合A 的任意一個元素都是集合B 的元素，我們就說這兩個集合之間有包含關(guān)系，稱集合A 為集合 B 的子集，記作AB 或 BA，讀作 “A含于 B”（或 “B包含 A”）（ 2）圖示：當(dāng)AB 時，用 Venn 圖表示，如圖1-1-2-1(1)(2) 所示BAAB(1)(2)圖 1-1-2-13

2、集合相等（ 1）定義 1：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等（ 2）定義 2：如果集合A 是集合 B 的子集，且集合B 是集合 A 的子集，那么集合A 與集合 B 相等，記作 A=B （ 3）圖示：當(dāng)A B 時，用 Venn 圖表示，如圖1-1-2-2 所示BA圖 1-1-2-24真子集B ，且存在元素 xB ，且 xA ，我們就稱集合（ 1）定義：如果集合 AA 是集合 B 的真子集，記作 AB (或 B A )（ 2）圖示：當(dāng)AB 時，用 Venn 圖表示，如圖1-1-2-3 所示AB圖 1-1-2-34空集（ 1）定義：我們把不含任何元素的集

3、合叫做空集，記作（ 2）規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A ；空集是任何非空集合的真子集，即A(A) 第 - 1 -頁共 9頁【高手筆記 】1當(dāng)集合 A 不包含于集合B（或集合 B 不包含集合 A）時，記作 AB（或 BA） .2 判斷集合相等的方法：（1）當(dāng)集合 A 與集合 B 中元素完全相同時，有AB；（ 2） AB, B AA B 3子集的性質(zhì)： A B, 且 B CA C ； AB, 且 B CAC ；當(dāng) AB 時，則 AB 或A B 4. 判斷集合間的關(guān)系的關(guān)鍵是弄清集合有哪些元素組成，也就是把較為抽象的集合具體化、形象化，這就要求熟練地用自然語言、符號語言（列舉法和描述法）、圖形語言

4、（Venn 圖）來表示集合5在具體問題中， 特別是含有字母的問題中一定要注意空集的存在與否， 以及元素互異性的討論要注意分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用【名師解惑 】1.空集中沒有元素，怎么還是集合？剖析：疑點是總是對空集這個概念迷惑不解，并產(chǎn)生懷疑的想法產(chǎn)生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景，其突破方法是通過實例來體會例如，方程的解能夠組成集合，這個集合叫做方程的解集對于 10 ， x24 0 等方程來說，它們的解集中沒有元素也就是說確實存在沒有任何元素x的集合，那么如何用數(shù)學(xué)符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進(jìn)了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集 這就是建立空集這個

5、概念的背景由此看出， 空集的概念是一個規(guī)定 又例如， 不等式 x0的解集也是不含任何元素，就稱不等式x0 的解集是空集2. 符號 和 有什么區(qū)別？剖析：難點是經(jīng)常把這兩個符號混淆，其突破方法是準(zhǔn)確把握這兩個符號的含義及其應(yīng)用范圍，并加以對比符號 只能適用于元素與集合之間，其左邊只能寫元素，其右邊只能寫集合，說明左邊的元素屬于右邊的集合，表示元素與集合之間的關(guān)系，如1 Z ,1Z ；符號只能適用于集合與集合之間，其2左右兩邊都必須寫集合，說明左邊的集合是右邊集合的子集，表示左邊的集合的元素均屬于右邊的集合，如 11,0， x x2x x3 等等【講練互動】【例題1】(2006上海高考卷，理科）已

6、知集合A， ，2m 1，集合B，m2 若113 3B A，則實數(shù) m 【解析】本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性BA， 集合 B 中的元素都在集合 A 中，由集合元素的互異性得m21（舍去）或 m22m1，解得 m1.故填 1【答案】： 1【綠色通道】已知兩集合之間關(guān)系解決其它問題時，要明確集合中的元素，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式【黑色陷阱】 本題容易出現(xiàn)m23 ，其原因是忽視了集合元素的互異性.避免此類錯誤的方法是解得 m的值后，再代入驗證 .【變式練習(xí)】1.已知集合 Mx 2 x0 ，集合 Nx ax 1 ，若 NM ，求實數(shù) a

7、的取值范圍【思路分析】 ：集合 N 是關(guān)于 x 的方程 ax1的解集，集合Mx x 2，由于 NM ，則N或 N，要對集合 N 是否為空集分類討論第 - 2 -頁共 9頁解：由題意得M x x2，則 N或 N當(dāng) N時，關(guān)于 x 的方程 ax1無解，則有 a0 ；當(dāng) N時，關(guān)于 x 的方程 ax1有解，則 a0，此時 x1，a又 NM ，1M ， 12 ， 0 a1 aa121綜上所得，實數(shù)a 的取值范圍是 a0 或 0a，即 aa 0 a22答案：a 0a12【例題 2】（ 1）分別寫出下列各集合的子集及其個數(shù)：， a ， a, b， a,b, c .（ 2）由（ 1）你發(fā)現(xiàn)當(dāng)集合 M 中含有

8、 n 個元素，則集合M 有多少個子集？【思路解析】：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力（ 1）按子集中所含元素的個數(shù)分類寫出子集； （ 2）由（ 1）總結(jié)當(dāng) n0 ， n 1， n2 ， n3 時子集的個數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論 .解：（ 1）的子集有：，即有 1 個子集；a 的子集有：、 a，即 a有 2 個子集；a, b 的子集有：、 a 、 b、 a, b，即 a有 4 個子集；a, b, c 的子集有：、 a 、b、 c、 a, b、 a, c、 b,c、 a, b, c ，即 a,b,c有 8 個子集；（ 2）由（ 1）可得：當(dāng) n 0 時，有 1 20 個子集；當(dāng) n

9、 1 時，有 2 21 個子集；當(dāng) n 2 時，有 4 22 個子集；當(dāng) n 3 時，有 8 23 個子集；因此含有 n 個元素的集合M 有 2n 個子集 .M 中含【綠色通道】寫一個集合的子集時，按子集中元素的個數(shù)來寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象；集合有 n 個元素，則集合M 有 2n 個子集，有2n1個真子集，記住這個結(jié)論，可以提高解題速度；【變式訓(xùn)練】1（ 2007 山東省濟寧一模， 理科 1）已知集合 P1,2,那么滿足 QP 的集合 Q 的個數(shù)是（）A 4B 3C 2D 1【解析】集合Q 的個數(shù)等于集合P 子集的個數(shù)集合P 1,2含有 2 個元素，其子集有22 4 個，又集合 QP ，所以

10、集合 Q 有 4 個，故選 A 答案： A【例題 3】已知集合 Mx xm1 , m Z， Nx xn1 , nZ ，則集合 M , N 的關(guān)系是623（）A MNB M NC N MD N M【解析】本題主要考查集合間的關(guān)系明確集合M , N 中的元素，依據(jù)有關(guān)概念來判斷思路1用列舉法分別表示集合M , N 集合 M,11 ,5 , 1 , 7 ,13 ,，集合 N, 11,4 ,5 ,1 ，666666363第 - 3 -頁共 9頁1 , 2, 7, 5 ,13, 則 有 MN ； 思 路 2設(shè) n2m或 2m1,mZ ， 則 有 Nx x2m1 或6363623x2m11， mZ x x

11、 m 1 或 xm1， m Z， MN 故選 B2336答案： B【思路通道】 判斷兩個集合間的關(guān)系時， 主要是根據(jù)這兩個集合中元素的特征， 結(jié)合有關(guān)定義來判斷 對于用列舉法表示的集合，只需要觀察其元素即可得它們間的關(guān)系；對于用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來分析，分析之前可以用列舉法多取幾個元素來估計它們之間可能有什么關(guān)系，然后再加以證明當(dāng)M N 和 MN 均成立時， MN 最準(zhǔn)確反映集合M , N 的關(guān)系當(dāng) MN 和 MN 均成立時， MN 最準(zhǔn)確反映集合M , N 的關(guān)系【變式訓(xùn)練】1已知集合 M x yx1, y1，集合 N y yx1, x1 ，則集合集合 M , N 的關(guān)系是

12、（）A MNB N MC M ND N M【解析】 集合 M x x0，集合 N y y 0 ，則有 MN 且 NM ，所以 MN ，故選 C答案： C2（ 2007 廣東中山市月考，理科1）已知集合 A0,1， By x2y21, xA，則（）A A BB A BC B AD B A【解析】 xA ， x0 或 x1 ，又 x2y21 ， x 0 ， y1或 x1 ， y 0，B1,0,1 ， AB ，故選 B答案： B【教材鏈接】1教材第6 頁思考：實數(shù)有相等關(guān)系、大小關(guān)系，如55，53, 等等 .類比實數(shù)之間的關(guān)系,你會想到集合之間的什么關(guān)系 ?答：可以想到：集合之間有相等關(guān)系、包含關(guān)系

13、；一個集合中的元素個數(shù)少于另一個集合中的元素個數(shù),并且這個集合中的元素都在另一個集合中；一個集合中的元素個數(shù)多于另一個集合中的元素個數(shù),并且這個集合中的元素包含另一個集合中的元素.2教材第7 頁左欄思考：請你舉出幾個具有包含關(guān)系、相等關(guān)系的集合實例.答：例如集合 A1,2,3 ,集合 B1,0,1,2,3,4,5,則集合 A 包含于 B，集合 B 包含集合A；又例如A 三角形 ， B 直角三角形 ，則集合 A 包含 B，集合 B 包含于集合 A 等等 .與實數(shù)中的結(jié)論“若 ab ，且 ba ，則 ab . ”相類比，你有什么體會？答：在集合中有結(jié)論：若AB ,且 BA ，則 AB .由此可得證

14、明集合AB ，轉(zhuǎn)化為證明AB ,且 BA .你能舉出幾個空集的例子嗎？答：例如集合 x 3 x 1，集合 x1，既是有理數(shù)又是無理數(shù)的實數(shù)組成的集合0x21等等 .3教材第8 頁思考：第 - 4 -頁共 9頁包含關(guān)系aA 與屬于關(guān)系 aA 有什么區(qū)別？試結(jié)合實例作出解釋.答：區(qū)別是包含關(guān)系aA 是集合之間的關(guān)系，而屬于關(guān)系aA 是元素與集合之間的關(guān)系.例如：包含關(guān)系20,1,2,3 與屬于關(guān)系 20,1,2,3 ， 20,1,2,3 表示集合2 包含于集合0,1,2,3，即表示集合2 與集合0,1,2,3的關(guān)系，而20,1,2,3 表示元素2 屬于集合0,1,2,3 即元素 2 是集合0,1,

15、2,3 的關(guān)系 .【教研中心 】 教學(xué)指導(dǎo) 一、課標(biāo)要求1理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力.2在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn 圖表達(dá)集合的關(guān)系，加強學(xué)生從具體到抽象的思維能力， 樹立數(shù)形結(jié)合的思想二、教學(xué)建議教材從學(xué)生熟悉的實數(shù)間相等和大小的關(guān)系出發(fā)，通過類比引入集合間的關(guān)系，同時，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集、空集、Venn 圖等概念 .在安排這部分內(nèi)容時，教材注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類比等.本節(jié)的重點是理解集合間包含與相等的含義，其突破方法是讓學(xué)生多結(jié)合實例，類比實數(shù)間的大小關(guān)系來學(xué)習(xí)集合間的包含關(guān)系；本

16、節(jié)的難點是理解空集的含義，其突破方法是教學(xué)時宜多舉些方程無解、不等式無解這樣的例子值得注意的問題：在講解集合間的關(guān)系時，建議重視使用Venn 圖，這有助于學(xué)生體會直觀圖示對理解抽象概念的作用；隨著學(xué)習(xí)的深入，集合符號越來越多，建議教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號，例如與的區(qū)別本節(jié)教學(xué)時間約需 1 課時【資源參考】【數(shù)學(xué)史探源】第三次數(shù)學(xué)危機1902 年，英國數(shù)學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)了一個集合悖論. 羅素把集合分成兩種：第一種集合，集合本身不是它的元素，即 A 不屬于 A；第二種集合：集合本身是它的一個元素A A，例如一切集合所組成的集合. 那么對于任何一個集合B，不是第一種集合就是第二種集合.

17、假設(shè)第一種集合的全體構(gòu)成一個集合M，那么 M 屬于第一種集合還是屬于第二種集合.如果 M 屬于第一種集合，那么M 應(yīng)該是 M 的一個元素，即 M M ，但是滿足 M M 關(guān)系的集合應(yīng)屬于第二種集合，出現(xiàn)矛盾 .如果 M 屬于第二種集合，那么M 應(yīng)該是滿足M M 的關(guān)系，這樣M 又是屬于第一種集合矛盾 .這就 是 著 名 的 羅 素 悖 論 . 例 如 ， 1和 1 , 2,4, 3， 到 底 是 11 , 2,4, 3 還 是 11 , 2,4 , 3呢？為了便于理解，羅素把集合論悖論通俗形象地比喻為一個理發(fā)師的悖論：在村里有一位手藝高超的理發(fā)師，他只給村里一切不給自己刮臉的人刮臉，那么，他給

18、不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由于他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉了 . 他應(yīng)該如何呢？這個悖論用數(shù)學(xué)語言應(yīng)該這樣敘述：具有某種相同屬性的事物的全體稱為集合，組成該集合的每個事物稱為元素 .但集合一般可分為兩大類，一類稱為本身分子集，另一類稱為非本身分子集.例如由許多圖書館所構(gòu)成的集合M 仍然是圖書館， 所以 M 是屬于自己的元素的集合， 即本身分子集， 我們權(quán)且稱之為甲類 而由全體自然數(shù)所構(gòu)成的集合N 就不再是自然數(shù)， 所以 N 是自己不屬于自己的元素的集合，即非本身分子集，第 - 5 -頁共 9頁我們稱之為乙

19、類.那么羅素問：乙類集合的全體也是一個集合，它屬于哪一類？對這個問題的回答就如同理發(fā)師對悖論的回答一樣左右為難，自相矛盾的.羅素悖論像一顆重磅炸彈，震憾了數(shù)學(xué)界，使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了.號稱天衣無縫、絕對嚴(yán)密的精確數(shù)學(xué)居然在基礎(chǔ)問題上就明顯地自相矛盾.這使許多數(shù)學(xué)家感到惶恐不安，為此還引起了激烈的爭論，形成了許多派別 .這就是數(shù)學(xué)史上的第三次危機 .這場危機激勵許多數(shù)學(xué)家奮力探索如何進(jìn)一步建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).于是有的數(shù)學(xué)家提出應(yīng)為集合論建立一種公理系統(tǒng)，并規(guī)定，凡是超出公理所允許的限度而構(gòu)造出來的集合，例如由一切集合而組成的集合等等，在公理系統(tǒng)中一概不予承認(rèn).所以現(xiàn)在的集合論中禁止一個集合是此集

20、合本身的元素，例如不討論與的關(guān)系，集合a 與集合a , b , c的關(guān)系等等 .這樣就把羅素悖論等一些已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的邏輯和數(shù)學(xué)悖論全部排隊干凈了.這場危機引發(fā)的急診和探討至今沒有結(jié)束，但數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)沒有因危機而止步，反而因危機引發(fā)的爭論和思考獲得了進(jìn)一步的發(fā)展，數(shù)學(xué)變得更加成熟了.然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現(xiàn)，而且今后仍然會這樣【同步測控 】我夯基我達(dá)標(biāo)1（ 2007 山東省濟南市一模， 文科 1）集合Ax 0 x3且 xN的真子集 的個數(shù)是（）A 16B 8C 7D 4解析：根據(jù)集合 A 中所含元素的個數(shù)來判斷Ax 0x 3且 xN0,1,2，則 A 的真子集有231 7 個，故

21、選 C答案： C2已知集合 M=1，N=1 ， 2，3 ，能夠準(zhǔn)確表示集合M 與 N 間的關(guān)系是（）A.MNB. MNC. MND. MN解析：集合 M 中元素都在集合N 中，但是 N 中元素 2M , MN , 故選 D答案： D3設(shè)集合 Mx x10 ， a23 ，則（）A.aMB.aMC.aMD. aM解析： a23010 , aM , aM , 故選 A答案： A4 00（填上最適當(dāng)?shù)姆枺┙馕觯?0和 0之間是元素與集合的關(guān)系，則00 ；0 和 之間是集合間的關(guān)系，則0，故填答案：5（2007上海市浦東新區(qū)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測，理科 1）已知集合 A1, 3, m, B 3, 4

22、 ，若 BA ，則實數(shù) m解析： BA ，4B ， 4 A ， m4，故填 4答案： 4第 - 6 -頁共 9頁6如圖 1-1-2-4 所示的 Venn 圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關(guān)系，問集合 A 、 B 、C、 D、 E 分別是哪種圖形的集合？ACDEB圖 1-1-2-4思路分析：結(jié)合Venn 圖，利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定.解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形, 故 A =四邊形；梯形不是平行四邊形，而菱形、正方形是平行四邊形，故B=梯形， C=平行四邊形 ；正方形是菱形，故D=菱形， E正方形答案： A =

23、四邊形， B=梯形 ,C=平行四邊形,D=菱形 , E正方形.7已知集合A= x|x2 2x+a=0 ， a R ，若 A 中元素至多只有一個，求實數(shù)a 的取值范圍.思路分析：集合A 是關(guān)于x 的方程 x2 2x+ a=0 的解集，故按集合A和 A分類討論解：當(dāng) A時，關(guān)于x 的方程 x2 2x+a=0 無解，則 ( 2) 24a0 ，解得 a1；當(dāng) A時，關(guān)于x 的方程x2 2x+a=0 有兩個相等的實數(shù)解，則 (2) 24a0 ，解得 a1 綜上所得，實數(shù)a 的取值范圍是a1 答案： a1我綜合我發(fā)展8已知集合 A2,3,7,且 A 中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合A 有（）A.3 個B 4

24、 個C 5 個D 6 個解析：對集合A 是否所含奇數(shù)分類討論當(dāng)集合A 中不含奇數(shù)時，A或 2 ；當(dāng)集合 A 僅含有一個奇數(shù)時， A3 或7或2,3或 2,7所以這樣的集合A 共有 24 6（個），故選 D 答案： D9已知集合 Ax 0x3，集合 Bx mx 4m ，且 BA ，則實數(shù) m 滿足的條件是解析：集合 B 是關(guān)于 x 的不等式 mx4 m 的解集，要對集合 B 是否為空集分類討論 B A ，m4m, B或 B當(dāng) B時， m4m ，則此時 m 2 ；當(dāng) B時，則有 m0,解得4m3.1 m 2 綜上所得，實數(shù) m 滿足的條件是1 m2 或 m2 ，即 m1答案： m110集合 Ax

25、x3m2, mZ ，Bx x3m 1,m Z , Cx x6m 1,mZ ,則集合 A 、第 - 7 -頁共 9頁B、 C 的關(guān)系是解析：根據(jù)這三個集合中元素的特征來討論它們之間的關(guān)系A(chǔ)x x3m2, mZ，設(shè) m1k ，則 kZ ， 有 Ax x3k 1,k Z ， AB 又集 合 C x x 6m1,m Zx x3(2m) 1,m Z,設(shè) 2mn ，則 n 為偶數(shù)， 則 C x x 3n1, n 是偶數(shù)， CB .即集合A、B、 C 的關(guān)系是 CAB .答案： CA B11a,bAa,b, c,d的集合A試寫出滿足思路分析：按集合A 中所含元素的個數(shù)分類討論解析： a,bA ，集合 A 中至少含有兩個元素 a, b 又 Aa,b, c, d，集合 A 中最多含有三個元素，Aa,b或 a, b,c 或 a,b, d答案： Aa,b或a, b, c 或 a,b, d12已知 Ax x2n, nZ ， B x x4n2, n Z，求證： BA.思路分析：轉(zhuǎn)化為證明BA 且在集合 A 中找到一個元素不屬于集合B 解：設(shè)對任意 xB ，則存在 k Z ，使 x4k2 即 x4k 22(2 k1) k