傳質(zhì)微分方程及擴(kuò)散傳質(zhì).ppt

1、1,第三章 傳質(zhì)微分方程及擴(kuò)散傳質(zhì),3.1 傳質(zhì)微分方程和菲克第二定律 3.2 伴有非均相反應(yīng)的擴(kuò)散 3.3 伴有均相化學(xué)反應(yīng)的擴(kuò)散,化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)（第一章）研究方法 一維擴(kuò)散傳質(zhì)（第二章）菲克第一定律,2,3.1 傳質(zhì)微分方程,3.1.1 傳質(zhì)微分方程推導(dǎo)： A通過微分體積表面x處 表面的量， 在 處 故在方向上A的凈流出速度： A在微分單元內(nèi)的累積速度：,設(shè) 為單位體積單位時間內(nèi)由于化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的A量，則A產(chǎn)生速度 為： 。,質(zhì)量守恒原理,體系內(nèi)的積累 =通過體系邊界的凈流入量 + 體系內(nèi)的凈生成量 根據(jù)物理化學(xué)基本原理推導(dǎo)出來的所有模型，都是以上式表示的原理為基礎(chǔ)。 上式對質(zhì)量、動量、能

2、量都適用。,3,4,根據(jù)質(zhì)量守恒原理，有： 兩邊同時除以 ，則有： 即 同樣可推導(dǎo)在三維方向上： 簡寫成 稱為傳質(zhì)微分方程。 同理，對于以摩爾通量表示的形式為：,3.1.2 菲克第二定律 擴(kuò)散介質(zhì)中小體積單元如圖所示 截面1進(jìn)入體積單元的擴(kuò)散流 截面2流出的擴(kuò)散流,6,假設(shè)：擴(kuò)散過程無化學(xué)反應(yīng)，那么擴(kuò)散進(jìn)入體積單元的量減去流出體積單元的量等于體積單元內(nèi)物質(zhì)的積累量。 以 代表體積單元的截面積， 則 （31） 因?yàn)閿U(kuò)散流隨變化，故 （32） 將（32）代入（31），得 （33） 根據(jù)菲克第一定律 代入（33）得 （34）,7,當(dāng)D為常數(shù)，即不隨擴(kuò)散距離、濃度變化時，有 （35） 即為菲克第二定律

3、。 （35）可簡寫為 當(dāng)組分向三維空間擴(kuò)散時，則有 （直角坐標(biāo)系） （圓柱坐標(biāo)系） （球坐標(biāo)體系） 求解三維擴(kuò)散方程非常復(fù)雜，所以一般在制定實(shí)驗(yàn)方案時，近似地安排成一維擴(kuò)散，在特定邊界條件下解（35）式一元二階微分方程。,8,菲克第二定律成立的條件, 無擴(kuò)散引起的對流傳質(zhì)； 擴(kuò)散體系內(nèi)無化學(xué)反應(yīng)； 為常數(shù)。 適用于固體或靜止流體中的擴(kuò)散。 穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散 當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時， 故 ， 即,9,菲克第二定律的應(yīng)用 菲克第二定律： 已知條件：1）初始條件（時間上的已知值）： t=0時， t=0時， t=時， 2）邊界條件（某空間上的已知值）： 規(guī)定某界面的濃度； 規(guī)定某界面的化學(xué)反應(yīng)速度； 將對流傳質(zhì)作為邊界

4、條件。,10,例1 在1273K時，用 混合氣體對低碳鋼（ ） 進(jìn)行滲碳，設(shè)鋼板內(nèi)部擴(kuò)散為過程的控制步驟。鋼板表面碳平衡濃度 。求滲碳6小時后鋼鐵表面下 處的碳濃度 。 已知： 。,解：這是固體內(nèi)部的擴(kuò)散過程，故適用菲克第二定律，取擴(kuò)散方向?yàn)?軸。 起始條件：擴(kuò)散開始前，體系內(nèi)濃度完全均勻，而為C0 (初始濃度)。 邊界條件：擴(kuò)散開始后，界面的濃度立即為Cs，并且在擴(kuò)散過程中保持不變，即 當(dāng) ， ， 。 將上述已知條件代入，解方程得：,11,例1 在1273K時，用 混合氣體對低碳鋼（ ） 進(jìn)行滲碳，設(shè)鋼板內(nèi)部擴(kuò)散為過程的控制步驟。鋼板表面碳平衡濃度 。求滲碳6小時后鋼鐵表面下 處的碳濃度 。

5、 已知： 。,解：這是固體內(nèi)部的擴(kuò)散過程，故適用菲克第二定律，取擴(kuò)散方向?yàn)?軸。 起始條件：擴(kuò)散開始前，體系內(nèi)濃度完全均勻，而為C0 (初始濃度)。 邊界條件：擴(kuò)散開始后，界面的濃度立即為Cs，并且在擴(kuò)散過程中保持不變，即 當(dāng) ， ， 。 將上述已知條件代入，解方程得：,12,erf(x)稱為高斯誤差函數(shù)， 1-erf(x)稱為補(bǔ)余誤差函數(shù)。 誤差函數(shù)的性質(zhì)： erf(-x) = -erf(x) erf(0) = 0 erf(1) = 1 1-erf(x) = erfc(x) erfc( )=0, erfc(0)=1 erfc(x)為補(bǔ)余誤差函數(shù)。 用 作縱軸， 為橫軸作圖,13,由， 得知欲

6、求時間t的擴(kuò)散濃度，須先求出 的值，再由圖得 值。 查圖得， 。 滲碳6小時，鋼鐵表面 處的碳濃度 可以由這樣的方法求固體中的擴(kuò)散系數(shù)。,14,3.2 伴有非均相反應(yīng)的擴(kuò)散,整個過程包括 擴(kuò)散：反應(yīng)物向界面擴(kuò)散 化學(xué)反應(yīng)：在界面上發(fā)生化學(xué)反應(yīng)， 此時擴(kuò)散仍遵守菲克第二定律?；瘜W(xué)反應(yīng)提供重要邊界條件。 例2 設(shè)有一球狀的碳粒與氧反應(yīng)生成一氧化碳 試計算碳的燃燒速度。假定氣膜層中的氧和一氧化碳不發(fā)生反應(yīng)。,15,解：計算碳的燃燒速度，計算氧氣消耗速度即可。取球形坐標(biāo)，在擴(kuò)散過程中沒有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，在穩(wěn)態(tài)條件下, 則傳質(zhì)微分方程（取球坐標(biāo)）： 簡化成： （3-89） 或 （3-90） 邊界條件： ，

7、 ， R為碳粒半徑； ， ，xO2為空氣中的氧分壓。 有上述兩個邊界條件，可以求出 。,16,而我們要求的是 ,因?yàn)?根據(jù)菲克第一定律 對于碳和氧化學(xué)反應(yīng)生成一氧化碳，有 （每擴(kuò)散進(jìn)來1摩爾氧氣，就有2摩爾一氧化碳在相反方向上擴(kuò)散出去） （3-95） （3-98） 在整個擴(kuò)散進(jìn)程中WO2保持為常數(shù)（這一點(diǎn)從3-89式可以得出，或者，因?yàn)槭谴?lián)過程，擴(kuò)散過程中通過不同球面的氧氣質(zhì)量是相等的）即： 對（3-98）整理得：,17,兩邊分別求積分： 為積分常數(shù)。 當(dāng)時 ， ，故 ; 當(dāng)時 , ，故 (399) 若知道氧的量即可換算成碳的燃燒速度。 1）假定化學(xué)反應(yīng)速度比擴(kuò)散快得多， 則 , 2） 假定

8、化學(xué)反應(yīng)速度和擴(kuò)散速度相差不大，則非均相反應(yīng)中化學(xué)反應(yīng)速度能提供一個重要的邊界條件： 即 時, 假設(shè)為一級基元反應(yīng)，,18,將 代入(399)，得 當(dāng) 大時，上式中對數(shù)可按泰勒級數(shù)展開，方程簡化為： (3104) 關(guān)于泰勒級數(shù):,上式叫做函數(shù)f(x) 在點(diǎn)x0處的泰勒級數(shù)。,該式叫做函數(shù)f(x) 在點(diǎn)x0處的泰勒展開式。,19,3.3 伴有均相化學(xué)反應(yīng)的擴(kuò)散,傳質(zhì)微分方程,20,兩種類型化學(xué)反應(yīng); 1 傳質(zhì)相中均相反應(yīng) 2 傳質(zhì)相中的非均相反應(yīng)。 反應(yīng)速度作為邊界條件（因?yàn)榭刂企w積內(nèi)無化學(xué)反應(yīng)發(fā)生） 本節(jié)只討論第一種情況。 例 3 過程：氣體A被液體B吸收，同時在液體中發(fā)生一級基元反應(yīng)而被消

9、耗。試求液面上氣體A的的摩爾通量。,分析：液面 ， ，,21,假設(shè)B無限大，擴(kuò)散達(dá)到穩(wěn)態(tài)，A在液體中流動性很小，,液體中流動很小，,則有：,由傳質(zhì)微分方程,又,故有：,22,邊界條件： ， ， 解出： 雙曲正弦函數(shù)： 雙曲余弦函數(shù)： 故，液面上的摩爾通量（現(xiàn)對于靜止坐標(biāo)）,雙曲正切函數(shù),23,表示了化學(xué)反應(yīng)的影響，它是一個無因次量， 稱為哈特數(shù)（Hatta number）。,當(dāng) 很大時， ,方程簡化為： (3115) 上述傳質(zhì)又稱為液膜傳質(zhì)， 與傳質(zhì)方程式比較： 液膜傳質(zhì)系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的1/2次方成正比。,24,例：熔融金屬在一窄管中的揮發(fā)，金屬蒸汽在熔體上方和氣相中的組分發(fā)生反應(yīng)。如工業(yè)實(shí)踐

10、中粗硒的提純。,a 控制A的揮發(fā)速度很小XA0； b 用惰性氣體稀釋XB0 c 窄管中平行流(非渦流)NAy+NBy0 列方程：傳質(zhì)微分方程：A：,(1)(,穩(wěn)態(tài)),例4 窄管中金屬A揮發(fā)并與氣相中B反應(yīng)發(fā)生在管內(nèi),B：,(2),25,化學(xué)反應(yīng)速度：設(shè),為不可逆二級反應(yīng),(3),菲克第一定律：,(5),假定A、B濃度很低,設(shè)傳質(zhì)為穩(wěn)態(tài)傳質(zhì)，結(jié)合設(shè)傳質(zhì)為穩(wěn)態(tài)傳質(zhì)，得,（3-120）,（3-121）,(4),(6),窄管中流體沿y方向的流動可忽略,（3-121）,26,（3-120）與（3-121）表示一對非線性微分方程式，它們的解要求用數(shù)值分析方法，但A與B之間的化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行十分迅速時，仍得分析解。 只要A和B擴(kuò)散進(jìn)入反應(yīng)區(qū)即立即反應(yīng)，在反應(yīng)區(qū)內(nèi),.設(shè)反應(yīng)區(qū)的位置是在,的平面上。,邊界條件：,求解得：,式中,，,所以，有,由液體表面（,）來的A的摩爾通量：,則,（3-125）,27,將 代入，并考