2019_2020學年高中數學第三章函數3.1.2函數的單調性課件新人教B版.pptx

1、3.1.2函數的單調性,一,二,三,知識點一、函數單調性的概念 1.思考,一,二,三,(3)若把增、減函數定義中的“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”可以嗎? 提示:不可以,如圖: 雖然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是單調函數.因此“任意”兩字不能忽視,更不能用“特殊”取代. 為了方便也可將定義改為:如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時,總有 ,那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數.,一,二,三,2.填空 一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,且MA. (1)如果對任意x1,x2M,當x1x2時

2、,都有f(x1)f(x2),則稱y=f(x)在M上是增函數(也稱在M上單調遞增),如圖(1)所示.,一,二,三,(2)如果對任意x1,x2M,當x1f(x2),則稱y=f(x)在M上是減函數(也稱在M上單調遞減),如圖(2)所示. 如果一個函數在M上是增函數或是減函數,就說這個函數在M上具有單調性(當M為區(qū)間時,稱M為函數的單調區(qū)間).,一,二,三,3.做一做 已知四個函數的圖像如圖所示,其中在定義域內具有單調性的函數是() 答案:B,一,二,三,4.“函數f(x)的單調增(減)區(qū)間是D”與“函數f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數”是否相同? 提示:不相同.函數f(x)的單調增(減)區(qū)間是D,這

3、一說法意味著除D之外,函數f(x)再無其他單調增(減)區(qū)間. 函數f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數,則意味著區(qū)間D是函數f(x)的單調增(減)區(qū)間的子區(qū)間,即除區(qū)間D外,函數f(x)還可能有其他的單調增(減)區(qū)間.,一,二,三,5.做一做 已知函數y=f(x)的圖像如圖所示,則函數的單調減區(qū)間為.,一,二,三,知識點二、判斷函數單調性的步驟 利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間M上的單調性的一般步驟: (1)任取x1,x2M,且x=x2-x10; (2)作差:y=f(x2)-f(x1); (3)變形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等); (4)定號(即判斷y的正

4、負); (5)下結論(即指出函數f(x)在給定的區(qū)間M上的單調性).,一,二,三,知識點三、函數的平均變化率,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,用定義法證明(判斷)函數的單調性 例1 利用單調性的定義證明函數 在(-,0)內是增函數. 分析:解題的關鍵是對y=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉€最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號. 證明設x1,x2是(-,0)內的任意兩個值,且x10,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,反思感悟證明函數的單調性的步驟 1.取值:設x1,x2為給定區(qū)間內任意的兩個值,且x1x2(在證明函數的單調性時,由于x1,x2的取值具有任意性

5、,它代表區(qū)間內的每一個數,所以在證明時,不能用特殊值來代替它們); 2.作差變形:作差y=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個簡單因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式,這是值得學習的解題技巧,在判斷因式的正負號時,經常采用這種變形方法); 3.定號:判斷符號的依據是自變量的取值范圍、假定的大小關系及符號的運算法則; 4.判斷:根據定義作出結論(若x=x2-x1與y=f(x2)-f(x1)同號,則函數在給定區(qū)間是增函數;異號,則是減函數).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,利用圖像求函數的

6、單調區(qū)間 例2 已知xR,函數f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖像,并結合圖像寫出函數的單調區(qū)間. 分析:首先分類討論,去掉絕對值號,將函數化為分段函數,然后畫出圖像求解即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,反思感悟圖像法求單調區(qū)間的關注點 1.由函數的圖像得出單調區(qū)間是常用的一種方法,但一定要注意畫圖的準確性及端點處的處理.若函數的定義域內不含端點,則要寫成開區(qū)間;若端點在其定義域內,則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間均可,但最好加上區(qū)間端點. 2.初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數的單調區(qū)間可以作為常用結論,在某些題目中可以直接使用. 3.常見的加絕對值的函數有兩種,一種

7、是y=f(|x|),自變量上加絕對值;另一種是y=|f(x)|,函數值上加絕對值. 4.加絕對值的函數圖像的兩種畫法: (1)通過討論絕對值內的式子的正負,去掉絕對值符號,把函數化為分段函數,再依次畫出分段函數每一段的函數圖像. (2)利用函數圖像的變換,即通過圖像間的對稱變換,得到已知函數的圖像.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,函數單調性的簡單應用 例3 (1)已知函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,4上是減函數,求實數a的取值范圍; (2)已知函數g(x)在R上為增函數,且g(t)g(1-2t),求t的取值范圍. 分析:(1)先將函數解析式配方,找出對稱軸,尋找

8、對稱軸與區(qū)間的位置關系求解;(2)充分利用函數的單調性,實現函數值與自變量不等關系的互化.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2, 該二次函數圖像的對稱軸為x=1-a. f(x)的單調減區(qū)間為(-,1-a. f(x)在(-,4上是減函數, 對稱軸x=1-a必須在直線x=4的右側或與其重合. 1-a4,解得a-3. (2)g(x)在R上為增函數,且g(t)g(1-2t),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,反思感悟根據單調性求參數的方法 1.已知函數的單調性求參數范圍,要注意數形結合,畫出圖像,往往解

9、題很方便,同時要采取逆向思維求解; 2.充分利用了函數的單調性,在單調區(qū)間內,變量與函數值之間的關系,將函數值的不等關系轉化為自變量取值的不等關系,即將抽象不等式轉化為具體不等式求參數t.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)內是增函數,求實數a的取值范圍.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,分類討論思想在函數單調性中的應用 典例 討論函數f(x)= (-1x1,a0)的單調性. 思路點撥:要討論函數的單調性,只需要用定義判定,由于函數中含有參數,因此要注意分類討論思想的應用.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,解:設x

10、1,x2是(-1,1)內的任意兩個自變量,且x1x2.,當a0時,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 此時f(x)在(-1,1)內是減函數; 當a0時,函數f(x)在(-1,1)內是減函數; 當a0時,函數f(x)在(-1,1)內是增函數.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,方法點睛1.討論一個含參數的函數的單調性與證明一個函數的單調性的方法類似,都是利用定義,通過運算,判斷f(x1)-f(x2)的正負,從而得出結論,若所含參數符號不確定,必須分類討論. 2.本題的規(guī)范解答中每一個環(huán)節(jié)都不能省略,既有開頭和結尾形式上的要求,也有對f(x1)-f(x2)的正負判定進行

11、實質性說明.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,1.下列函數在區(qū)間(-,0)內為增函數的是(),解析:設任意x1,x2(-,0),x=x2-x10,選項A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以該函數在區(qū)間(-,0)內為減函數;同理可判斷選項B中和選項C中函數在區(qū)間(-,0)內為減函數,選項D中函數在區(qū)間(-,0)內為增函數. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,2.下列命題正確的是() A.定義在(a,b)內的函數f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數 B.定義在(a,b)內的函數f(x),若有無數多對x1,x2(a,b),使得當x1x2時有f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數 C.若f(x)在區(qū)間I1上為增函數,在區(qū)間I2上也為增函數,則f(x)在I1I2上為增函數 D.若f(x)在區(qū)間I上為增函數,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),則x1x2 解析:根據函數單調性的定義來判斷. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當堂檢測,3.已