2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性課件新人教B版.pptx

1、3.1.2函數(shù)的單調(diào)性,一,二,三,知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的概念 1.思考,一,二,三,(3)若把增、減函數(shù)定義中的“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”可以嗎? 提示:不可以,如圖: 雖然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是單調(diào)函數(shù).因此“任意”兩字不能忽視,更不能用“特殊”取代. 為了方便也可將定義改為:如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),總有 ,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù).,一,二,三,2.填空 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,且MA. (1)如果對(duì)任意x1,x2M,當(dāng)x1x2時(shí)

2、,都有f(x1)f(x2),則稱y=f(x)在M上是增函數(shù)(也稱在M上單調(diào)遞增),如圖(1)所示.,一,二,三,(2)如果對(duì)任意x1,x2M,當(dāng)x1f(x2),則稱y=f(x)在M上是減函數(shù)(也稱在M上單調(diào)遞減),如圖(2)所示. 如果一個(gè)函數(shù)在M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說這個(gè)函數(shù)在M上具有單調(diào)性(當(dāng)M為區(qū)間時(shí),稱M為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間).,一,二,三,3.做一做 已知四個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是() 答案:B,一,二,三,4.“函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間是D”與“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)”是否相同? 提示:不相同.函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間是D,這

3、一說法意味著除D之外,函數(shù)f(x)再無其他單調(diào)增(減)區(qū)間. 函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù),則意味著區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間的子區(qū)間,即除區(qū)間D外,函數(shù)f(x)還可能有其他的單調(diào)增(減)區(qū)間.,一,二,三,5.做一做 已知函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.,一,二,三,知識(shí)點(diǎn)二、判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間M上的單調(diào)性的一般步驟: (1)任取x1,x2M,且x=x2-x10; (2)作差:y=f(x2)-f(x1); (3)變形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等); (4)定號(hào)(即判斷y的正

4、負(fù)); (5)下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間M上的單調(diào)性).,一,二,三,知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)的平均變化率,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性 例1 利用單調(diào)性的定義證明函數(shù) 在(-,0)內(nèi)是增函數(shù). 分析:解題的關(guān)鍵是對(duì)y=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉€(gè)最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號(hào). 證明設(shè)x1,x2是(-,0)內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x10,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,反思感悟證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟 1.取值:設(shè)x1,x2為給定區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值,且x1x2(在證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),由于x1,x2的取值具有任意性

5、,它代表區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)數(shù),所以在證明時(shí),不能用特殊值來代替它們); 2.作差變形:作差y=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號(hào)的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個(gè)簡單因式的乘積或幾個(gè)完全平方式的和的形式,這是值得學(xué)習(xí)的解題技巧,在判斷因式的正負(fù)號(hào)時(shí),經(jīng)常采用這種變形方法); 3.定號(hào):判斷符號(hào)的依據(jù)是自變量的取值范圍、假定的大小關(guān)系及符號(hào)的運(yùn)算法則; 4.判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論(若x=x2-x1與y=f(x2)-f(x1)同號(hào),則函數(shù)在給定區(qū)間是增函數(shù);異號(hào),則是減函數(shù)).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,利用圖像求函數(shù)的

6、單調(diào)區(qū)間 例2 已知xR,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖像,并結(jié)合圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 分析:首先分類討論,去掉絕對(duì)值號(hào),將函數(shù)化為分段函數(shù),然后畫出圖像求解即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,反思感悟圖像法求單調(diào)區(qū)間的關(guān)注點(diǎn) 1.由函數(shù)的圖像得出單調(diào)區(qū)間是常用的一種方法,但一定要注意畫圖的準(zhǔn)確性及端點(diǎn)處的處理.若函數(shù)的定義域內(nèi)不含端點(diǎn),則要寫成開區(qū)間;若端點(diǎn)在其定義域內(nèi),則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間均可,但最好加上區(qū)間端點(diǎn). 2.初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以作為常用結(jié)論,在某些題目中可以直接使用. 3.常見的加絕對(duì)值的函數(shù)有兩種,一種

7、是y=f(|x|),自變量上加絕對(duì)值;另一種是y=|f(x)|,函數(shù)值上加絕對(duì)值. 4.加絕對(duì)值的函數(shù)圖像的兩種畫法: (1)通過討論絕對(duì)值內(nèi)的式子的正負(fù),去掉絕對(duì)值符號(hào),把函數(shù)化為分段函數(shù),再依次畫出分段函數(shù)每一段的函數(shù)圖像. (2)利用函數(shù)圖像的變換,即通過圖像間的對(duì)稱變換,得到已知函數(shù)的圖像.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用 例3 (1)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,4上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)已知函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù),且g(t)g(1-2t),求t的取值范圍. 分析:(1)先將函數(shù)解析式配方,找出對(duì)稱軸,尋找

8、對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解;(2)充分利用函數(shù)的單調(diào)性,實(shí)現(xiàn)函數(shù)值與自變量不等關(guān)系的互化.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2, 該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x=1-a. f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-,1-a. f(x)在(-,4上是減函數(shù), 對(duì)稱軸x=1-a必須在直線x=4的右側(cè)或與其重合. 1-a4,解得a-3. (2)g(x)在R上為增函數(shù),且g(t)g(1-2t),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,反思感悟根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的方法 1.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,要注意數(shù)形結(jié)合,畫出圖像,往往解

9、題很方便,同時(shí)要采取逆向思維求解; 2.充分利用了函數(shù)的單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間內(nèi),變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系,即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求參數(shù)t.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)內(nèi)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用 典例 討論函數(shù)f(x)= (-1x1,a0)的單調(diào)性. 思路點(diǎn)撥:要討論函數(shù)的單調(diào)性,只需要用定義判定,由于函數(shù)中含有參數(shù),因此要注意分類討論思想的應(yīng)用.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,解:設(shè)x

10、1,x2是(-1,1)內(nèi)的任意兩個(gè)自變量,且x1x2.,當(dāng)a0時(shí),f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 此時(shí)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù); 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù); 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,方法點(diǎn)睛1.討論一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性與證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性的方法類似,都是利用定義,通過運(yùn)算,判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù),從而得出結(jié)論,若所含參數(shù)符號(hào)不確定,必須分類討論. 2.本題的規(guī)范解答中每一個(gè)環(huán)節(jié)都不能省略,既有開頭和結(jié)尾形式上的要求,也有對(duì)f(x1)-f(x2)的正負(fù)判定進(jìn)行

11、實(shí)質(zhì)性說明.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,1.下列函數(shù)在區(qū)間(-,0)內(nèi)為增函數(shù)的是(),解析:設(shè)任意x1,x2(-,0),x=x2-x10,選項(xiàng)A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以該函數(shù)在區(qū)間(-,0)內(nèi)為減函數(shù);同理可判斷選項(xiàng)B中和選項(xiàng)C中函數(shù)在區(qū)間(-,0)內(nèi)為減函數(shù),選項(xiàng)D中函數(shù)在區(qū)間(-,0)內(nèi)為增函數(shù). 答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,2.下列命題正確的是() A.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù) B.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若有無數(shù)多對(duì)x1,x2(a,b),使得當(dāng)x1x2時(shí)有f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù) C.若f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù),在區(qū)間I2上也為增函數(shù),則f(x)在I1I2上為增函數(shù) D.若f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù),且f(x1)f(x2)(x1,x2I),則x1x2 解析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測,3.已