曹顯兵.概率論講義(打印版)

1、第一講 隨機(jī)事件與概率考試要求1. 了解樣本空間的概念, 理解隨機(jī)事件的概念, 掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算.2. 理解概率、條件概率的概念, 掌握概率的基本性質(zhì), 會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率, 掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式, 以及貝葉斯公式.3. 理解事件獨(dú)立性的概念, 掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率, 掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法.一、古典概型與幾何概型1試驗(yàn)，樣本空間與事件.2古典概型：設(shè)樣本空間為一個(gè)有限集，且每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，則 3幾何概型：設(shè)為歐氏空間中的一個(gè)有界區(qū)域, 樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，則【例1】 一個(gè)盒中有4個(gè)黃球, 5個(gè)

2、白球, 現(xiàn)按下列三種方式從中任取3個(gè)球, 試求取出的球中有2個(gè)黃球, 1 個(gè)白球的概率. （1） 一次取3個(gè)；（2） 一次取1 個(gè), 取后不放回；（3） 一次取1個(gè), 取后放回.【例2 】從 （0，1） 中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，試求下列概率：（1） 兩數(shù)之和小于1.2；（2） 兩數(shù)之和小于1且其積小于.一、 事件的關(guān)系與概率的性質(zhì)1. 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算律（與集合對(duì)應(yīng)）, 其中特別重要的關(guān)系有： （1） A與B互斥（互不相容） （2） A與B 互逆（對(duì)立事件） ,（3） A與B相互獨(dú)立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（B|A） =P（

3、B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）【例3】 已知（A）（）C, 且P（ C ）, 試求P（B ）.【例4】 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A, B, C滿足條件: ABC, P（A）P（B）P（C）,且已知, 則P（A） .【例5】 設(shè)三個(gè)事件A、B、C滿足P（AB）P（ABC）, 且0P（C）1, 則 【 】（A）P（AB|C）P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（AB|C）P（AB）.（C）P（AB|）P（A|）+ P（B|）. （D）P（AB|）P（AB）. 【例6

4、】 設(shè)事件A, B, C滿足條件: P（AB）P（AC）P（BC）, P（ABC）, 則事件A, B, C中至多一個(gè)發(fā)生的概率為 .【例7】 設(shè)事件A, B滿足 P（B| A）1則【 】 （A） A 為必然事件. （B） P（B|）=0. （C） . （D） . 【例8】 設(shè)A, B, C為三個(gè)相互獨(dú)立的事件,且0P（C）1,則不獨(dú)立的事件為 【 】 （A） 與C . （B） 與 （C ） 與 （D） 與 【例9】 設(shè)A，B為任意兩個(gè)事件，試證 P（A）P（B）P（AB） P（AB） P（BA） .三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式與二項(xiàng)概率公式1 乘法公式：2 全概率公式：3Bayes

5、公式：4二項(xiàng)概率公式: ,【例10】 10件產(chǎn)品中有4件次品, 6件正品, 現(xiàn)從中任取2件, 若已知其中有一件為次品, 試求另一件也為次品的概率.【例11】設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品, 7件正品, 現(xiàn)每次從中任取一件, 取后不放回. 試求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品;（2） 第三次才取得次品;（3） 已知前兩次沒有取得次品, 第三次取得次品;（4） 不超過(guò)三次取到次品;【例12】 甲, 乙兩人對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,命中率分別為0.6和0.5, 試在下列兩種情形下, 分別求事件“已知目標(biāo)被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙兩人中隨機(jī)地挑選一人, 由他射擊一次;（ 2）甲, 乙兩人

6、獨(dú)立地各射擊一次.【例13】設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表,其中女生的報(bào)名表分別為3份,7份和5份. 隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,從中先后任意抽出兩份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二講 隨機(jī)變量及其分布考試要求1. 理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念.理解分布函數(shù)（） 的概念及性質(zhì).會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率.2. 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用.3. 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表

7、示二項(xiàng)分布.4. 理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布的概率密度為5. 會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布. 一、分布函數(shù) 1隨機(jī)變量：定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量. 2分布函數(shù)：F（x）為分布函數(shù) （1） 0F（x） 1（2） F（x）單調(diào)不減（3） 右連續(xù)F（x+0）=F（x）（4） 3離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量 （1） 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)為階梯跳躍函數(shù). （2） 連續(xù)型隨機(jī)變量 f（x）為概率密度 （1） f（x）0, （2） f（x） 4幾點(diǎn)注意【 例1 】 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 則 .【 例2 】 設(shè)隨機(jī)

8、變量X 的密度函數(shù)為 f （x）, 且 f （x） = f （x）, 記和分別是X 和的分布函數(shù), 則對(duì)任意實(shí)數(shù)x 有 【 】 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 例3 】 設(shè) 隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 試求隨機(jī)變量 Y= min X, 2 的分布函數(shù)【 例4 】設(shè)某個(gè)系統(tǒng)由 6 個(gè)相同的元件經(jīng)兩兩串聯(lián)再并聯(lián)而成, 且各元件工作狀態(tài)相互獨(dú)立每個(gè)元件正常工作時(shí)間服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 試求系統(tǒng)正常工作的時(shí)間 T 的概率分布.【 例5】設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 試求（1） 的分布函數(shù); （2）概率.二、 常見的一維分布（1） 0-1分布：.（2） 二項(xiàng)分布.（3） Poisson

9、分布：.（4） 均勻分布（5） 正態(tài)分布N（，2）： （6） 指數(shù)分布 .（7） 幾何分布（8） 超幾何分布H（N,M,n）: .【例6】某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p（0p1）, 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為【 】（A） . （B） .（C） . （D） . 【例7】 設(shè)X （, ）, 則P （ X 1） 【 】 （A） 隨的增大而增大 . （B） 隨的增大而減小.（C） 隨的增大而不變 . （D） 隨的增大而減小. 【例8】 設(shè)X （, ）, 為其分布函數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有 【 】（A） （B） （C） （D） 【例9】 甲袋中有1個(gè)黑球，2個(gè)白球，

10、乙袋中有3個(gè)白球，每次從兩袋中各任取一球交換放入另一袋中，試求交換n次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 隨機(jī)變量函數(shù)的分布： 1. 離散的情形 2. 連續(xù)的情形 3. 一般的情形 【例10】 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 令為二維隨機(jī)變量（X, Y ）的分布函數(shù).（）求Y的概率密度;（） .第三講 多維隨機(jī)變量及其分布考試要求1. 理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度.會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.2. 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件.

11、3. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義 . 4. 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布.一、 各種分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 各種分布（1）一般二維隨機(jī)變量 F （x, y）=P X x, Y y , x （, +）, y （, +）的性質(zhì)F （x, y）為聯(lián)合分布函數(shù) 1） 0 F （x, y）1 , x （, +）, y （, +）; 2） F（, y ）= F（x, ）=0, F（+,+）=1;3） F （x, y）關(guān)于x, y 均為單調(diào)不減函數(shù)；4） F （x, y）關(guān)于x, y 均分別右連續(xù). （2）二維離散型隨機(jī)

12、變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布、條件分布聯(lián)合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 , , pi j 0, .邊緣分布律 pi = PX = xi =, i =1, 2 , , p j = P Y = yj =, j =1, 2 , , 條件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度f(wàn)（x, y）為聯(lián)合概率密度 1 f（x, y）0, 2 .設(shè)（ X, Y） f（x, y）則分布函數(shù): ;邊緣概率密度: , .條件概率密度: , . 2. 隨機(jī)變量的獨(dú)立

13、性和相關(guān)性X和Y相互獨(dú)立 F （x, y）= FX （x）F Y （y）; pi j = pi p j （離散型） f （x, y）= f X （x）f Y （y） （連續(xù)型）【注】1 X與Y獨(dú)立, f （x）, g （x）為連續(xù)函數(shù) f （X）與g （Y）也獨(dú)立. 2 若X1, , Xm, Y1, , Yn相互獨(dú)立, f , g分別為m 元與 n元連續(xù)函數(shù) f （X1, , Xm）與g （Y1, , Yn）也獨(dú)立.3 常數(shù)與任何隨機(jī)變量獨(dú)立. 3. 常見的二維分布（1）二維均勻分布 （X, Y ） U （D）, D為一平面區(qū)域. 聯(lián)合概率密度為 （2）二維正態(tài)分布 （X, Y ） N （1

14、, 2, s12 ,s22, r ）, 1, 2 0, s2 0, | r | 1. 聯(lián)合概率密度為性質(zhì):（ a ） X N （1, s12 ）, Y N （2, s22 ）（ b ） X與Y相互獨(dú)立 rX Y =0 , 即 X與Y不相關(guān).（ c ） C1X+C2Y N （C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ）.（ d ） X關(guān)于Y=y的條件分布為正態(tài)分布: 【 例1 】 設(shè)A，B為事件，且P（A）, P（B|A）, P（A|B） 令 X, Y（1） 試求（X, Y）的聯(lián)合分布律；（2）計(jì)算Cov（ X, Y ）；（3） 計(jì)算 .【 例2 】

15、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X, Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X【 例3 】設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布, 且X的概率分布為 記.（I）求（U, V）的概率分布;（II）求（U, V）的協(xié)方差Cov（U, V）.【詳解】（I）易知U, V 的可能取值均為: 1, 2. 且,故（U, V）的概率分布為: VU1 212 0 （II） ,而 , .故 .【 例4】 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間（0, 1）上服從均勻分布, 在的條件下,隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布, 求（）隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度; （）的概率密度; （）概率

16、. 二、 二維（或兩個(gè)）隨機(jī)變量函數(shù)的分布1分布的可加性（1）若XB（m, p）, YB（n, p）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y B （m+n, p）.（2）若XP（1）, YP（2）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y P （1+2）.（3）若XN（）, YP（）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y N （）.一般地，若XiN（）, i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互獨(dú)立，則Y=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服從正態(tài)分布，且此正態(tài)分布為 其中C1，Cn為不全為零的常數(shù).2. 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.【例5】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 且 則 【 例6】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 其密度函數(shù)

17、分別為: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為 （I）求；（II）求Z+的概率密度.【詳解】（I）.（II）方法一： 先求Z的分布函數(shù): 當(dāng)z0時(shí), ;當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), .故Z+的概率密度=方法二： ，當(dāng)z 0 或z 2時(shí), ;當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；故Z+的概率密度【例8】 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立, X有密度函數(shù)f （x）, Y的分布律為 試求ZXY 的概率分布.第四講 數(shù)字特征與極限定理考試要求1理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念, 會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì), 并掌握常用分布的數(shù)字特征.2會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概

18、率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.3了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定律）5了解棣莫弗拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維林德伯格定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）；（經(jīng)濟(jì)類還要求）會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率一、 數(shù)學(xué)期望與方差（標(biāo)準(zhǔn)差）1. 定義（計(jì)算公式）離散型 , 連續(xù)型 , 方差：標(biāo)準(zhǔn)差：, 2. 期望的性質(zhì)：1 2 3 4 3. 方差的性質(zhì)：1 2 3 4 一般有 5, 【例1】設(shè)試驗(yàn)成功的概率為, 失敗的概率為, 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到成功兩次為止. 試求試

19、驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【例2】 n 片鑰匙中只有一片能打開房門, 現(xiàn)從中任取一片去試開房門, 直到打開為止. 試在下列兩種情況下分別求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差:（1）試開過(guò)的鑰匙即被除去; （2）試開過(guò)的鑰匙重新放回.【例3】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次, 用Y表示觀察值大于的次數(shù), 求的數(shù)學(xué)期望.【例4】 設(shè)有20人在某11層樓的底層乘電梯上樓, 電梯在中途只下不上, 每個(gè)乘客在哪一層（2-11層）下是等可能的, 且乘客之間相互獨(dú)立, 試求電梯須停次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望（或方差）1、一維的情形 離散型： ， 連續(xù)型： 2、二維的情形 離散型, 連續(xù)型, 【例

20、5】 設(shè)X與Y獨(dú)立且均服從N （0，1），求Z 的數(shù)學(xué)期望與方差.【例6】設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且均服從N （0，）, 試求ZXY的數(shù)學(xué)期望與方差. 三 、協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)與隨機(jī)變量的矩 1、重要公式與概念：協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 2、性質(zhì)：1 2 3 4 5 3、下面5個(gè)條件互為充要條件：（1）（2）（3）（4）（5）【例7】設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, 且均服從, 記, 求: （I） 的方差；（II） 與的協(xié)方差;（III） 四、極限定理1. 切比雪夫不等式2. 大數(shù)定律 3. Poisson定理4. 中心極限定理列維林德伯格定理: 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn，相互獨(dú)立同分布, 且 ， 則對(duì)

21、任意正數(shù)x，有 棣莫弗拉普拉斯定理: 設(shè)（即X1，X2，Xn，相互獨(dú)立, 同服從0一1分布） 則有 .【例8】 銀行為支付某日即將到期的債券須準(zhǔn)備一筆現(xiàn)金，已知這批債券共發(fā)放了500張，每張須付本息1000元，設(shè)持券人（1人1券）到期到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4.問(wèn)銀行于該日應(yīng)準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以99.9%的把握滿足客戶的兌換.【分析】 若X為該日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)，則所需現(xiàn)金為1000X，設(shè)銀行該日應(yīng)準(zhǔn)備現(xiàn)金x元.為使銀行能以99.9%的把握滿足客戶的兌換，則 P（1000Xx）0.999.【詳解】 設(shè)X為該日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)，則XB（500，0.4）所需支付現(xiàn)金為1000X，為使銀

22、行能以99.9%的把握滿足客戶的兌換，設(shè)銀行該日應(yīng)準(zhǔn)備現(xiàn)金x元，則 P（1000 Xx）0.999.由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理知：即 得 x 233958.798.因此銀行于該日應(yīng)準(zhǔn)備234000元現(xiàn)金才能以99.9%的把握滿足客戶的兌換.第五講 數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試要求1. 理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念.其中樣本方差定義為2. 了解分布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算.3. 了解正態(tài)總體的常用抽樣分布.4. 理解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的概念和性質(zhì), 會(huì)根據(jù)樣本值求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).5. 理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念.6. 掌握矩估計(jì)法（一階、二階矩）和最大似然的估計(jì)法.7. 了解估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性.8. 理解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間. 9. 理解