理論力學(xué)課后答案第五章(周衍柏)

1、第五章思考題5.1虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問題，有何優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？ 5.2 為什么在拉格朗日方程中，不包含約束反作用力？又廣義坐標(biāo)與廣義力的含義如何？我們根據(jù)什么關(guān)系由一個量的量綱定出另一個量的量綱? 5.3廣義動量和廣義速度是不是只相差一個乘數(shù)？為什么比更富有意義？ 5.4既然是廣義動量，那么根據(jù)動量定理，是否應(yīng)等于廣義力？為什么在拉格朗日方程式中多出了項(xiàng)？你能說出它的物理意義和所代表的物理量嗎？ 5.5為什么在拉格朗日方程只適用于完整系？如為不完整系，能否由式得出式？ 5.6平衡位置附近的小振動的性質(zhì)，由什么來決定？為什么2個常數(shù)只有2個是獨(dú)立的？ 5.7什么叫簡

2、正坐標(biāo)？怎樣去找？它的數(shù)目和力學(xué)體系的自由度之間有何關(guān)系又每一簡正坐標(biāo)將作怎樣的運(yùn)動？ 5.8多自由度力學(xué)體系如果還有阻尼力，那么它們在平衡位置附近的運(yùn)動和無阻尼時(shí)有何不同？能否列出它們的微分方程？ 5.9 和有何區(qū)別？和有何區(qū)別？ 5.10哈密頓正則方程能適用于不完整系嗎？為什么？能適用于非保守系嗎？為什么？ 5.11哈密頓函數(shù)在什么情況下是整數(shù)？在什么情況下是總能量？試祥加討論，有無是總能量而不為常數(shù)的情況？ 5.12何謂泊松括號與泊松定理？泊松定理在實(shí)際上的功用如何？ 5.13哈密頓原理是用什么方法運(yùn)動規(guī)律的？為什么變分符號可置于積分號內(nèi)也可移到積分號外？又全變分符號能否這樣？ 5.14

3、正則變換的目的及功用何在？又正則變換的關(guān)鍵何在？ 5.15哈密頓-雅可比理論的目的何在？試簡述次理論解題時(shí)所應(yīng)用的步驟. 5.16正則方程與及之間關(guān)系如何？我們能否用一正則變換由前者得出后者？ 5.17在研究機(jī)械運(yùn)動的力學(xué)中，劉維定理能否發(fā)揮作用？何故？ 5.18分析力學(xué)學(xué)完后，請把本章中的方程和原理與牛頓運(yùn)動定律相比較，并加以評價(jià). 第五章思考題解答5.1 答：作.用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事.從可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無關(guān)，這正是虛功與過程

4、無關(guān)的反映；虛功對各虛位移中的功是線性迭加，虛功對應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性的結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學(xué)問題，這是剛體力學(xué)的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時(shí)，由于約束反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原

5、理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當(dāng)剛體受到的主動力為已知時(shí)，解除某約束或某一方向的約束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時(shí)求出平衡條件和約束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學(xué)體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學(xué)體系，不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動能改變的觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動，而約束反作用力不能改變體系的動能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動，使其自由

6、度減小，這表明約束反作用力不對應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對受有幾何約束的力學(xué)體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對拉格朗日方程進(jìn)行修正.廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、場強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由知，有功的量綱

7、，據(jù)此關(guān)系已知其中一個量的量綱則可得到另一個量的量綱.若是長度，則一定是力，若是力矩，則一定是角度，若是體積，則一定是壓強(qiáng)等.5.3 答 與不一定只相差一個常數(shù)，這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取形式及廣義坐標(biāo)的選用而定。直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動動能，若取為廣義坐標(biāo)，則，而，相差一常數(shù)，如定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能，取廣義坐標(biāo)，而與相差一常數(shù)轉(zhuǎn)動慣量，又如極坐標(biāo)系表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動動能，若取，有，而，二者相差一變數(shù)；若取有，而,二者相差一變數(shù).在自然坐標(biāo)系中，取，有，而，二者相差一變數(shù).從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長度的情況下，與才相差一常數(shù);在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，與相差為轉(zhuǎn)動慣量的量綱.為何比更富

8、有物理意義呢？首先，對應(yīng)于動力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)、或與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而是對應(yīng)于運(yùn)動學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)中不含某一廣義坐標(biāo)時(shí)，對應(yīng)的廣義動量常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)對應(yīng)的廣義速度并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場中，不含，故有常數(shù),但常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知,是一組正則變量:哈密頓函數(shù)中不含某個廣義坐標(biāo)時(shí)，對應(yīng)的廣義動量常數(shù)，不含某個廣義動量時(shí)，對應(yīng)的廣義坐標(biāo)常數(shù)5.4答只有對于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）各才能全部相互

9、獨(dú)立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué)體系，描述體系的運(yùn)動需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各不全部獨(dú)立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6 答 力學(xué)體系在平衡位置附近的動力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程的各根（本征值）的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出個的本征值（），每一個對應(yīng)一個獨(dú)立的常數(shù)故個常數(shù)中只有個是獨(dú)立的。5.7答多自由度體系的小振動，每一廣義坐標(biāo)對應(yīng)于個主頻率的諧振動的疊加。若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義

10、坐標(biāo)僅對應(yīng)一個頻率的振動，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡正坐標(biāo)，對應(yīng)的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標(biāo)對應(yīng)一個簡正頻率，而簡正頻率數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。 值得說的是，每一簡正振動為整個力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動之一，其他坐標(biāo)都作為簡正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由個簡正振動疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。5.8答對一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們在平衡位置附近將作衰減運(yùn)動。引入耗散函數(shù)則阻力 力學(xué)體系的運(yùn)動方程改為其中，中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級數(shù)高級項(xiàng)很小，只保留頭一項(xiàng)，則均為常數(shù)。代入運(yùn)動方程得把代入上式得本征值方程在，

11、的小阻尼情況下，本征值，且振動方程為顯然是按指數(shù)率的衰減振動。5.9答：因，故由解得所以則而5.10答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對非保守體系（5.3.18）改寫為其中為非有勢力，或?qū)憺榧?。?jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則方程5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間，則；對穩(wěn)定約束下的力學(xué)體系，動能不是速度的二次齊次函數(shù)，則,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時(shí)并不是真正的能量；對穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若含則是能量但不

12、為常熟。5.12答：泊松括號是一種縮寫符號，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若，則是物理學(xué)中最常用的泊松括號，用泊松括號可表示力學(xué)體系的運(yùn)動正則方程用泊松括號的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問題化為簡單的括號運(yùn)算，這種表示法在量子力學(xué)，量子場論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對應(yīng)一個運(yùn)動積分，利用泊松括號從正則方程=積分可以推出另外一個積分，這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13 答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系的維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動變化規(guī)律。因?yàn)閷Φ葧r(shí)變分，故變分符號

13、可置于積分號內(nèi)也可置于積分號外，而不等時(shí)變分，故全變分符號不能這樣。5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系（或參變數(shù)）的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標(biāo)對應(yīng)一個運(yùn)動積分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使中多出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15答：哈密頓正則方程是個一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運(yùn)動積分求出其余的運(yùn)動積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)

14、，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓雅可畢理論的目的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過一個特殊的正則變換，使得用新變量表示的哈密頓函數(shù)，此時(shí)全部為常數(shù)，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以代替即可，故對（5.9.8）式分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以代即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程利用哈雅理論后得到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動規(guī)律，軌道級動量，故比拉格朗日方程優(yōu)越。5.17答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué)體系的受力情況

15、及運(yùn)動情況，然后通過運(yùn)動非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動變化間的相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學(xué)體系的運(yùn)動分析，其理論與方法難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。5.18答：十九世紀(jì)發(fā)展起來的“分析力學(xué)方法彌補(bǔ)了上述缺陷，它用純數(shù)學(xué)分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動中挑選出實(shí)際運(yùn)動的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方法鮮明，但它給人們解決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引入使其理論在其它學(xué)科中也

16、能廣泛的應(yīng)用。建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過渡的橋梁。下面通過分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越性。牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動狀態(tài)改變的主動力，往往還存在很多限制其運(yùn)動的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學(xué)著眼于功和能在一定條件下，常?？梢圆豢紤]約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多；達(dá)朗伯虛位移原理解決力學(xué)體系的動力學(xué)問題，由于虛功的概念、廣義坐標(biāo)的引入，也可撇開約

17、束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動量定理，動量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學(xué)一系列方程均具這一優(yōu)點(diǎn)。從一分為二的觀點(diǎn)來看，這也是分析力學(xué)的缺點(diǎn)不能求出約束反作用力。當(dāng)把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動力來看，分析力學(xué)的理論修改后仍能應(yīng)用。牛頓力學(xué)用矢量的方法研究力學(xué)體系的運(yùn)動，著眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相對性，在坐標(biāo)變換中很費(fèi)事，故牛頓力學(xué)的動力學(xué)方程都與參考系極坐標(biāo)系的選取有關(guān)；分析力學(xué)用標(biāo)量描述力學(xué)體系的運(yùn)動及變化規(guī)律，著眼于功和能廣義坐標(biāo)和廣義速度等一系列標(biāo)量，標(biāo)量便于變換及疊加，標(biāo)量形式的運(yùn)動方程也是便于寫出的，且由于廣義坐標(biāo)和廣

18、義力的引入，是指超出立憲的范圍也能應(yīng)用，給參變量的選用也帶來了許多方便，提高了靈活性。如用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程，比用牛頓力學(xué)的方法簡便，但分析力學(xué)不如牛頓力學(xué)方法直觀物理意義也不如牛頓力學(xué)方法清晰。牛頓力學(xué)的動量守恒定律動量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件的；而分析力學(xué)中循環(huán)坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決條件，其先決條件是拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)。若拉格朗日函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)于拉格朗日動力學(xué)的廣義動量守恒；若哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)于哈密頓動力學(xué)的廣義動量守恒。牛頓動力學(xué)的動量

19、守恒定律，動量矩守恒定律都是廣義動量守恒原理對應(yīng)的某循環(huán)坐標(biāo)下的特例。恩西力學(xué)的理論更具有概括性，廣義動量守恒原理具有更普遍的意義。牛頓力學(xué)研究力學(xué)問題也用到共和能的概念，但其功能關(guān)系動能定理，功能原理，機(jī)械能守恒定律等，只不過提供了力學(xué)體系運(yùn)動的某一方面特征，它的注意力集中于實(shí)際實(shí)現(xiàn)，而在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動中，功能關(guān)系只能給出一個獨(dú)立的方程不能提供完全的解；分析力學(xué)則不然，它不只是注意實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動，而是以力學(xué)體系的一切可能存在的運(yùn)動中挑選出真實(shí)的運(yùn)動，故分析力學(xué)中的功能關(guān)系指的是一切可能出現(xiàn)的運(yùn)動中的功能關(guān)系，比實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動中的功能關(guān)系要豐富的多，它可以給出一組與力學(xué)體系自由度數(shù)相等的運(yùn)動方

20、程，足以確定體系的運(yùn)動。如用牛頓力學(xué)中的功能關(guān)系機(jī)械能守恒定律研究拋體運(yùn)動（不計(jì)空氣阻力），只能給出一個獨(dú)立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則可以給出與自由度數(shù)相等的兩個獨(dú)立的運(yùn)動方程，足以解決其運(yùn)動。牛頓力學(xué)機(jī)械能守恒定律中的勢能對應(yīng)于所有的勢力，包括主動力和約束反力，而分析力學(xué)中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中的勢能只對應(yīng)于廣義力，廣義力只包含主動力，故兩種勢能不同。再者，分析力學(xué)中哈密頓函數(shù)H的守恒原理，在非穩(wěn)定的約束情況下并非機(jī)械能，成為廣義能量，只有在穩(wěn)定的約束情況下才是機(jī)械能。故牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒定律要求有勢力，而哈密頓函數(shù)的守恒原理要求不顯含且為穩(wěn)定約束，它們是從不同角度

21、討論機(jī)械能守恒的。分析力學(xué)的廣義能量守恒比牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒有著更廣泛的意義。牛頓力學(xué)定律不便于與其它形式的運(yùn)動建立直接的聯(lián)系，分析力學(xué)著眼于能量，便于進(jìn)一步考慮能量的量子化問題，為從經(jīng)典力學(xué)向近代物理學(xué)及其它領(lǐng)域過渡提供了方便的“跳板”。如哈密頓雅可比方程量子化得到的薛定諤方程，哈密頓正則方程量子化得到量子力學(xué)的海森堡方程，經(jīng)典泊松括號考慮量子化效應(yīng)得到量子力學(xué)的泊松括號；哈密頓原理推廣到量子力學(xué)的變分原理等。再者，能量便于與其運(yùn)動形式轉(zhuǎn)化，由于廣義坐標(biāo)概念的引入使得一系列分析力學(xué)的方程都適用于非力學(xué)體系；另外，分析力學(xué)是在多維的非歐幾得空間中討論問題的，故分析力學(xué)的理論及方法在物理學(xué)的各

22、領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)代的場論都好似拉格朗日形成的，分析力學(xué)在物理學(xué)中有著重要的地位。最后討論一下哈密頓動力學(xué)與拉格朗日動力學(xué)的關(guān)系。在處理實(shí)際問題中哈密頓動力學(xué)不如拉格朗日動力學(xué)方便，拉格朗日動力學(xué)中從拉格朗日函數(shù)可直接寫出力學(xué)體系的運(yùn)動方程拉格朗日方程；哈密頓動力學(xué)中則必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù)才可寫出力學(xué)體系的運(yùn)動方程哈密頓正則方程，從哈密頓正則方程消去廣義動量的結(jié)果其實(shí)不過是從另一途徑達(dá)到拉格朗日方程，這樣做的結(jié)果是繞了一個大圈子。第五章習(xí)題5.1 試用虛功原理解3.1題。5.2 試用虛功原理解3.4題。5.3 長度同為的輕棒四根，光滑地聯(lián)成一菱形。、兩邊支于同一水平線上相距為的兩

23、根釘上，間則用一輕繩聯(lián)結(jié)，點(diǎn)上系一重物。設(shè)點(diǎn)上的頂角為2，試用虛功原理求繩中張力。5.4 一質(zhì)點(diǎn)的重量為，被約束在豎直圓周= 0上，并受一水平斥力的作用，式中圓的半徑,為常數(shù)。試用未定乘數(shù)法求質(zhì)點(diǎn)的平衡位置及約束反作用力的量值。5.5 在離心節(jié)速器中，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿著一豎直軸運(yùn)動，而整個系統(tǒng)則以勻角速繞該軸轉(zhuǎn)動。試寫出此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)。設(shè)連桿、等的質(zhì)量均可不計(jì)。5.6 試用拉格朗日方程解4.10題。5.7 試用拉格朗日方程解本章補(bǔ)充例題5.3。5.8 一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動。管中有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。開始時(shí)，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動軸的距離為，質(zhì)點(diǎn)相對于管的

24、速度為，試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對于管的運(yùn)動規(guī)律。5.9設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用，被約束在半頂角為的圓錐面內(nèi)運(yùn)動。試以,為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。5.10 試用拉格朗日方程解2.4題中的及。5.11 試用拉格朗日方程求3.20題中的及。5.12 均質(zhì)棒，質(zhì)量為，長為2,其端可在光滑水平導(dǎo)槽上運(yùn)動。 而棒本身又可在豎直面內(nèi)繞端擺動。如除重力作用外，端還受有一 水平的力的作用。試用拉割朗日方程求其運(yùn)動微分方程。如擺動的角度很小，則又如何？答： 如很小，則式中為任一瞬時(shí)離定點(diǎn)的距離，為任一瞬時(shí)棒與豎直線間所成的角度，為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑.5.13行星齒輪機(jī)構(gòu)如右圖所示.曲柄帶

25、動行星齒輪在固定齒輪上滾動.已知曲柄的質(zhì)量為，且可認(rèn)為是勻質(zhì)桿.齒輪的質(zhì)量為 ，半徑為，且可認(rèn)為是勻質(zhì)圓盤.至于齒輪的半徑則為.今在曲柄上作用一不變的力矩.如重力的作用可以忽略不計(jì)，試用拉格朗日方程研究此曲柄的運(yùn)動.5.14質(zhì)量為的圓柱體 放在質(zhì)量為 的圓柱體上作相對滾動，而則放在粗糙平面上.已知兩圓柱的軸都是水平的，且重心在同一豎直面內(nèi).開始時(shí)此系統(tǒng)是靜止的.若以圓柱體的重心的初始位置為固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則圓柱的重心在任一時(shí)刻的坐標(biāo)為試用拉格朗日方程證明之.式中為兩圓柱軸線間的距離，為兩圓柱連心線與豎直向上的直線間的夾角.5.15質(zhì)量為、半徑為的薄球殼，其外表面是完全粗糙的，內(nèi)表面則完全光滑

26、，放在粗糙水平著上.在球殼內(nèi)放一質(zhì)量為、長為 2的勻質(zhì)棒.設(shè)此系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動，且在開始的瞬間棒在通過球心的豎直平面內(nèi)，兩端都與球殼相接觸，并與水平線成角.試用拉格朗日方程證明在以后的運(yùn)動中，此棒與水平線的夾角滿足關(guān)系5.16半徑為的勻質(zhì)小球，可在一具有水平軸、半徑為的固定圓柱的內(nèi)表面滾動.試求圓球平衡位置作微振動的方程及其周期.5.17質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，用長為的繩子系在固定點(diǎn)上.在質(zhì)點(diǎn)上，用長為的繩系另一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為.以繩與豎直線所成的角度與 為廣義坐標(biāo)，求此系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)作微振動的運(yùn)動方程.如=，=，試再求出此系統(tǒng)的振動周期.第5.17題圖5.18在上題中，如雙擺的上端不是系在固定點(diǎn)上

27、，而是系在一個套在光滑水平桿上、質(zhì)量為2的小環(huán)上，小環(huán)可沿水平桿滑動.如=，=，試求其運(yùn)動方程及其周期.5.19質(zhì)量分別為、 的二原子分子、平衡時(shí)原子間的距離為，它們的相互作用力是準(zhǔn)彈性的，取二原子的連線為軸，試求此分子的運(yùn)動方程。5.20 已知一帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù)（非相對論的）為式中為粒子的速度，為粒子的質(zhì)量， 為粒子所帶的電荷， 為標(biāo)量勢，為矢量勢。試由此寫出它的哈密頓函數(shù)。5.21 試寫出自由質(zhì)點(diǎn)在作勻速轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系中的哈密頓函數(shù)的表示式。5.22 試寫出3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數(shù)，并由此求出它的三個第一積分。5.23 試用哈密頓正則方程解4.10題。5.24 半徑為

28、的勻質(zhì)圓球，自半徑為的固定圓球的頂端無初速地滾下，試由哈密頓正則方程求動球球心下降的切向加速度。5.25 試求由質(zhì)點(diǎn)組的動量矩的笛卡兒分量所組成的泊松括號。5.26 試求由質(zhì)點(diǎn)組的動量和動量矩的笛卡兒分量所組成的泊松括號。5.27 如果是坐標(biāo)和動量的任意標(biāo)量函數(shù)，即，其中為常數(shù)，試證=0。5.28 半徑為的光滑圓形金屬絲圈，以勻角速繞豎直直徑轉(zhuǎn)動，圈上套著一質(zhì)量為的小環(huán)。起始時(shí)，小環(huán)自圓圈的最高點(diǎn)無初速地沿著圓圈滑下。當(dāng)環(huán)和圈中心的聯(lián)線與豎直向上的直徑成角時(shí)，用哈密頓原理求出小環(huán)的運(yùn)動微分方程。5.29 試用哈密頓原理解4.10題。5.30 試用哈密頓原理求復(fù)擺作微振動時(shí)的周期。5.31試用哈

29、密頓原理解5.9題。5.32 試證為一正則變換。5.33 證：變換方程代表一正則變換，并將正則方程變?yōu)槭街?.34 如果利用下列關(guān)系把系數(shù)，換為,:則當(dāng)時(shí)，這種變換是一正則變換，試證明之。5.35 試?yán)谜齽t變換，由正則方程求豎直上拋的物體的運(yùn)動規(guī)律。已知本問題的母函數(shù)，式中為確定物體位置的廣義坐標(biāo)，為變換后新的廣義坐標(biāo)，為重力加速度。5.36 試求質(zhì)點(diǎn)在勢場中運(yùn)動的主函數(shù)，式中及為常數(shù)5.37 試用哈密頓-雅科畢偏微分方程求拋射體在真空中運(yùn)動的軌道方程。5.38 如力學(xué)體系的勢能及動能可用下列二函數(shù)表示：式中都只是一個參數(shù)的函數(shù)，則此力學(xué)體系的運(yùn)動問題可用積分法求解，試證明之。5.39 試用

30、哈-雅方程求行星繞太陽運(yùn)動時(shí)的軌道方程。5.40 試由及兩式推證及兩式。5.41 試求質(zhì)點(diǎn)在庫侖場和均勻場的合成場中運(yùn)動時(shí)的住函數(shù)，以拋物線坐標(biāo)，表示，式中及是常數(shù)，而（參看圖1.2.4）。5.42 劉維定理的另一表達(dá)式是相體積不變定理。這里又有兩種不同的說法：（1）考慮相宇中任何一個區(qū)域。當(dāng)這區(qū)域的邊界依照正則方程運(yùn)動時(shí)，區(qū)域的體積在運(yùn)動中不變。（2）相宇的體積元在正則變換下不變。試分別證明之。第五章習(xí)題解答5.1解 如題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：即mgy =0變換方程y=2rcossin-= rsin

31、2故代回式即因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-=0又由于 cos=故cos2= 代回式得5.2解 如題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數(shù)為1，故。得由虛功原理 故因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故又由 得： 由可得5.3解 如題5.3.1圖，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選為廣義坐。由虛功原理：w又取變分得代入式得：化簡得設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得5.4解 自由度，質(zhì)點(diǎn)位置為。由由已知得故約束方程聯(lián)立可求得

32、或 又由于故或5.5解 如題5.5.1圖 按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)橐阎?，故可認(rèn)為自由度為1.選廣義坐標(biāo)，在球面坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動能：由于所以又由于故取Ox為零勢，體系勢能為：故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：5.6解 如題5.6.1圖.平面運(yùn)動，一個自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程在廣義力代入得：在極坐標(biāo)系下：故 將以上各式代入式得5.7解 如題5.7.1圖又由于所以取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢面 拉氏函數(shù)代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如圖5.8.1圖.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根

33、據(jù)極坐標(biāo)系中的動能取初始水平面為零勢能面，勢能:拉氏函數(shù)(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.特解為故式的通解為在時(shí)： 聯(lián)立得將代回式可得方程的解為：5.9解 如題5.9.1圖.（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動，故自有度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)，.（3）在柱坐標(biāo)系中：以面為零勢能面，則：拉氏函數(shù)-（4）因?yàn)椴伙@含，所以為循環(huán)坐標(biāo)，即常數(shù)對另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程有得所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程為（為常數(shù)）所以5.10解如題5.10.1圖.（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)（3）質(zhì)點(diǎn)的速度劈的速度故體系動能以面為零勢面，體系勢能：其中為劈勢能.拉氏函數(shù)（4）代入

34、拉格郎日方程得：代入拉格郎日方程得聯(lián)立，得5.11 解 如題5.11.1圖（1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動，自由度（2）選取廣義坐標(biāo)（3）根據(jù)剛體力學(xué)其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量選為零勢面，體系勢能：其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)(4)代入保守系拉氏方程得：對于物體，有5.12解 如題5.12.1圖. （1）棒作平面運(yùn)動，一個約束，故自由度.（2）選廣義坐標(biāo)（3）力學(xué)體系的動能根據(jù)運(yùn)動合成又故設(shè)為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入得動能（4）由（其中）則因?yàn)?、在約束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：（5）代入一般形式的拉氏方程得：又代入一般形式的拉氏方程得：、兩式為運(yùn)動微分方程（6

35、）若擺動角很小，則，代入式得：，代入式得：又故代入式得：（因?yàn)榻呛苄?，故可略去?xiàng)）5.13解 如題5.13.1圖(1)由于曲柄長度固定，自由度.(2)選廣義坐標(biāo)，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：(3)系統(tǒng)動能（4）由定義式（5）代入得：得5.14.解 如題5.14.1圖. （1）因體系作平面平行運(yùn)動，一個約束方程：(2)體系自由度，選廣義坐標(biāo).雖有摩擦，但不做功，為保守體系（3）體系動能：輪平動動能輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能輪質(zhì)心動能輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能.以地面為零勢面，體系勢能則保守系的拉氏函數(shù)(1)因?yàn)椴伙@含，得知為循環(huán)坐標(biāo).故=常數(shù)開始時(shí)：則代入得又時(shí)，所以5.15解 如題5.15.1

36、圖（1）本系統(tǒng)作平面平行運(yùn)動，干限制在球殼內(nèi)運(yùn)動，自由度；選廣義坐標(biāo)，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明（2）體系動能=球殼質(zhì)心動能+球殼轉(zhuǎn)動動能+桿質(zhì)心動能+桿繞中心轉(zhuǎn)動動能其中代入得以地面為零勢面，則勢能：（其中為常數(shù)）(3)因?yàn)槭茄h(huán)坐標(biāo)，故常熟而代入式得聯(lián)立、可得（先由式兩邊求導(dǎo)，再與式聯(lián)立）試乘并積分得：又由于當(dāng)5.16解 如題圖5.16.1.（1）由已知條件可得系統(tǒng)自由度.（2）取廣義坐標(biāo).（3）根據(jù)剛體力學(xué)，體系動能：又將以上各式代入式得：設(shè)原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，所以體系勢能體系的拉氏函數(shù)(1)因?yàn)轶w系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用代入式得即（5）解方程得5.17解 如題5.17.1圖（1）由題設(shè)知系統(tǒng)動能取軸為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢能拉氏函數(shù) （2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又