直線與圓的知識點地總結(jié)

1、直線和圓知識點總結(jié)1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是_（答：）；（2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_（答：）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan(90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點共線： 。如(1)

2、 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要）；（2）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_（答：）3、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如（1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為=(1,)的直線的點斜式方程是_（答：

3、）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點_（答：）；（3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_（答：）提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答：3）4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過點，當(dāng)斜率存在時，常設(shè)其方

4、程為，當(dāng)斜率不存在時，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。如（1）設(shè)直線和，當(dāng)_時；當(dāng)_時；當(dāng)_時與

5、相交；當(dāng)_時與重合（答：1；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（1，3）的直線方程是_ （答：）；（3）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是_（答：）；（4）直線過點（，），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是_（答：）7、對稱（中心對稱和軸對稱）問題代入法：如（1）已知點與點關(guān)于軸對稱，點P與點N關(guān)于軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線對稱，則點Q的坐標(biāo)為_（答：）；（2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是_（答：）；（3）點（，）關(guān)于直線的對稱點為(2,7)，則的方程是_（答：）；（4）已知一束光線通過點（，），經(jīng)直線:3x4y+4=0反射。如果反射

6、光線通過點（，15），則反射光線所在直線的方程是_（答：）；（5）已知ABC頂點A(3，)，邊上的中線所在直線的方程為6x+10y59=0，B的平分線所在的方程為x4y+10=0，求邊所在的直線方程（答：）；（6）直線2xy4=0上有一點，它與兩定點（4,1）、（3,4）的距離之差最大，則的坐標(biāo)是_（答：（5,6）；（7）已知軸，C（2，1），周長的最小值為_（答：）。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規(guī)劃：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點判斷；無等號

7、時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線表示包含直線；設(shè)點，若與同號，則P，Q在直線的同側(cè)，異號則在直線的異側(cè)。如已知點A（2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是_（答：）（2）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；（3）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；

8、作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2xy在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是_（答：（1，1）；（2）點（，）在直線2x3y+6=0的上方，則的取值范圍是_（答：）；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_（答：8）；（4）在求解線性規(guī)劃問題時要注意：將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。10、圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且）；圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；。為直徑端點的圓

9、方程如（1）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為_（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（答：或）；（3）已知是圓（為參數(shù)，上的點，則圓的普通方程為_，P點對應(yīng)的值為_，過P點的圓的切線方程是_（答：；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為_（答：）；（6）若（為參數(shù)，若，則b的取值范圍是_（答：）11、點與圓的位置關(guān)系：已知點及圓，（1）點M在圓C外；（2）點M在圓C內(nèi)；（3）點M在圓C上。如點P(5a+1,12a)在圓(x)y

10、2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是_（答：）12、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_（答：相離）；（2）若直線與圓切于點，則的值_ （答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）；（4）一束光線從點A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已

11、知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離 （答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；設(shè)L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：或最長：，最短：）13、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當(dāng)時，兩圓外離；（2）當(dāng)時，兩圓外切；（3）當(dāng)時，兩圓相交；（4）當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時，兩圓內(nèi)含。如雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段P

12、F1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切）14、圓的切線與弦長：(1)切線：過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）；如設(shè)A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為_（答：）；（2）弦長問題：圓的弦長的計

13、算：（垂徑定理）常用弦心距，半弦長及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。15.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：直線與圓一、選擇題1 （2012年高考（重慶文）設(shè)A,B為直線與圓 的兩個交點,則（）A1BCD22 （2012年高考（浙江文）設(shè)aR ,則“a=1”是“直線l1:ax+2y=0與直線l2 :x+(a+1)y+4=0平行的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充

14、分也不必要條件3 （2012年高考（陜西文）已知圓,過點的直線,則（）A與相交B與相切C與相離D以上三個選項均有可能4 （2012年高考（山東文）圓與圓的位置關(guān)系為（）A內(nèi)切B相交C外切D相離5 （2012年高考（遼寧文）將圓x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直線是（）Ax+y-1=0Bx+y+3=0Cx-y+1=0Dx-y+3=06 （2012年高考（湖北文）過點的直線,將圓形區(qū)域分兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為（）ABCD7 （2012年高考（廣東文）(解析幾何)在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相交于、兩點,則弦的長等于（）ABCD18 （2012年高考（福建文）直線

15、與圓相交于兩點,則弦的長度等于（）AB.CD19 （2012年高考（大綱文）正方形的邊長為1,點E在邊AB上,點F在邊BC上,動點P從E出發(fā)沿直線向F運動,每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當(dāng)點P第一次碰到E時,P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）A8B6C4D310（2012年高考（安徽文）若直線與圓有公共點,則實數(shù)取值范圍是（）ABCD二、填空題11（2012年高考（浙江文）定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離,已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實數(shù)a=_.12（2012年高考

16、（天津文）設(shè),若直線與軸相交于點,與軸相交于,且與圓相交所得弦的長為2,為坐標(biāo)原點,則面積的最小值為_.13（2012年高考（上海文）若是直線的一個方向向量,則的傾斜角的大小為_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).14（2012年高考（山東文）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時,的坐標(biāo)為_.15（2012年高考（江西文）過直線上點作圓的兩條切線，若兩條切線的夾角是,則點的坐標(biāo)是_。16（2012年高考（北京文）直線被圓截得的弦長為_.2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：直線與圓參考答案一

17、、選擇題1. 【答案】:D 【解析】:直線過圓的圓心 則2 【考點定位】本題考查圓的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 2. 【答案】A 【命題意圖】本題考查的知識為依托于簡易邏輯的直線平行問題的考查.直線部分考查的是平行的條件,當(dāng),解得或.所以,當(dāng)a=1是,兩直線平行成立,因此是充分條件;當(dāng)兩直線平行時,或,不是必要條件,故選A. 3. 解析: ,所以點在圓C內(nèi)部,故選A. 4. 解析:兩圓心之間的距離為,兩圓的半徑分別為, 則,故兩圓相交. 答案應(yīng)選B. 5. 【答案】C 【解析】圓心坐標(biāo)為(1,2),將圓平分的直線必經(jīng)過圓心,故選C 【點評】本題主要考查直線和圓的方程,難度適中. 6. A【解析】要使直

18、線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大,必須使過點的圓的弦長達(dá)到最小,所以需該直線與直線垂直即可.又已知點,則,故所求直線的斜率為-1.又所求直線過點,故由點斜式得,所求直線的方程為,即.故選A. 【點評】本題考查直線、線性規(guī)劃與圓的綜合運用,數(shù)形結(jié)合思想.本題的解題關(guān)鍵是通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積之差最大時,所求直線應(yīng)與直線垂直,利用這一條件求出斜率,進(jìn)而求得該直線的方程.來年需注意直線與圓相切的相關(guān)問題. 7. 解析:B.圓心到直線的距離為,所以弦的長等于. 8. 【答案】B【解析】圓心,半徑,弦長 【考點定位】該題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查計算求解能力. 9. 答案B 【解析】解:結(jié)合已

19、知中的點E,F的位置,進(jìn)行作圖,推理可知,在反射的過程中,直線是平行的,那么利用平行關(guān)系,作圖,可以得到回到EA點時,需要碰撞8次即可. 10. 【解析】選圓的圓心到直線的距離為 則 二、填空題11. 【答案】 【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圓心(0,4),圓心到直線l:y=x的距離為:,故曲線C2到直線l:y=x的距離為. 另一方面:曲線C1:y=x 2+a,令,得:,曲線C1:y=x 2+a到直線l:y=x的距離的點為(,),. 12. 【解析】直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為,直線與圓相交所得的弦長為2,圓心到直線的距離滿足,所以,即圓心到直線的距離,所以.三角形的面積為,又,當(dāng)

20、且僅當(dāng)時取等號,所以最小值為. 13. 解析 ,所以的傾斜角的大小為. 14.答案: 解析:根據(jù)題意可知圓滾動了2單位個弧長,點P旋轉(zhuǎn) CD了弧度,此時點的坐標(biāo)為 . 另解:根據(jù)題意可知滾動制圓心為(2,1)時的圓的參數(shù)方程 為,且, 則點P的坐標(biāo)為,即. 15. 【答案】() 【解析】本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想,設(shè)p(x,y),則由已知可得po(0為原點)與切線的夾角為,則|po|=2,由可得. 16. 【答案】 【解析】將題目所給的直線與圓的圖形畫出,半弦長為,圓心到直線的距離,以及圓半徑構(gòu)成了一個直角三角形,因此.2012廣東省各地月考聯(lián)考模擬最新分類匯編（文）：直線與圓【2012年廣州

21、市一模文】10已知圓：，點（）是圓內(nèi)一點，過點的圓的最短弦所在的直線為，直線的方程為，那么A，且與圓相離 B，且與圓相切C，且與圓相交 D，且與圓相離 【答案】A【廣東省湛江二中2012屆高三第三次月考文】7.已知兩點，點是圓上任意一點，則點到直線距離的最小值是（ ）A. B. C D 【答案】A【廣東省湛江一中2012屆高三10月月考文】8直線與圓的位置關(guān)系是（）A相離B相交C相切D與的值有關(guān)【答案】B【廣東省惠州市2012屆高三一模（四調(diào)）文】13若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線相切，則圓的方程是 .【答案】【解析】設(shè)圓心為，則，解得即【廣東省東莞市2012屆高三模擬（1）文】

22、13已知直線被圓所截得的弦長為2，則的值為 【答案】【廣東省東莞市2012屆高三文模擬（二）】9曲線在橫坐標(biāo)為-1的點處的切線為，則點到直線的距離為 A B C D【答案】A【廣東省廣州市2012屆高三下學(xué)期一模調(diào)研（文）】已知直線l：x+y=m經(jīng)過原點，則直線l被圓x2+yZ-2y=0截得的弦長是A1 B C D2【答案】B【廣東省華南師大附中2012屆高三綜合測試文】14.函數(shù)y=loga(x+3)-1（a0，a1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0，則的最小值為_.【答案】8【廣東省深圳高級中學(xué)2012屆1月月考文.】3已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（ ）A B8 C2 D【答案】C【廣東省深圳高級中學(xué)2012屆1月月考文.】9. 若點在直線上，過點的直線與曲線相切于點，則的最小值為A B C4 D 【答案】C【廣東省深圳市2012屆高三二模試題文科】4. 在平面直角坐標(biāo)系中, 落在一個圓內(nèi)的曲線可以是 A B C D 【答案】D【廣東省珠海市第四中學(xué)2012屆高三上學(xué)期月考文】16（本小題滿分12分） 已知圓心在坐標(biāo)