菱形(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、菱形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件. 要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全

2、等的兩部分. （2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題. 要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、（2016廣安）如圖

3、，四邊形ABCD是菱形，CEAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CFAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DF=BE【思路點(diǎn)撥】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分DAE，CD=BC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC，然后利用HL證明RtCDFRtCBE，即可得出DF=BE【答案與解析】證明：連接AC，四邊形ABCD是菱形，AC平分DAE，CD=BC，CEAB，CFAD，CE=FC，CFD=CEB=90在RtCDF與RtCBE中，RtCDFRtCBE（HL），DF=BE【總結(jié)升華】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；角平分線的性質(zhì)：角的平分

4、線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等同時(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)舉一反三：【變式1】（2015溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)O，連接BO，且AED=50，則CBO= 度【答案】50；解：在菱形ABCD中，ABCD，CDO=AED=50，CD=CB，BCO=DCO，在BCO和DCO中，BCODCO（SAS），CBO=CDO=50【變式2】菱形ABCD中，AB15，若周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于( ) A.B.4 C.1 D.2【答案】C；提示：由題意，A30，邊長(zhǎng)為2，菱形的高等于21.類型二、菱形的判定2、如圖所示，在ABC中，CD是ACB的平分線，DEAC

5、，DFBC，四邊形DECF是菱形嗎?試說明理由【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DEAC，DFBC知四邊形DECF是平行四邊形，再由123得到鄰邊相等即可【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下： DEAC，DFBC 四邊形DECF是平行四邊形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四邊形DECF是菱形【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由一對(duì)鄰邊相等來判定它是菱形舉一反三：【變式】如圖所示，AD是ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是菱形嗎?請(qǐng)說明理由【答案】 解：

6、四邊形AEDF是菱形，理由如下： EF垂直平分AD， AOF與DOF關(guān)于直線EF成軸對(duì)稱 ODFOAF， 又 AD平分BAC，即OAFOAE， ODFOAE AEDF， 同理可得：DEAF 四邊形AEDF是平行四邊形， EOOF 又AEDF的對(duì)角線AD、EF互相垂直平分 AEDF是菱形3、如圖所示，在ABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，CE平分ACD，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EFBC于點(diǎn)F 求證：四邊形AEFG是菱形【思路點(diǎn)撥】由角平分線性質(zhì)易知AEEF，欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFG是平行四邊形或AGGFAE即可【答案與解析】 證明：方法一： CE平分ACB，BAC9

7、0，EFBC， AEEF，1390，4290 12， 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG EFAG 四邊形AEFG是平行四邊形 又 AEAG， 四邊形AEFG是菱形 方法二： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG 在AEG和FEG中，AEEF，34，EGEG， AEGFEG AGFG AEEFFGAG 四邊形AEFG是菱形【總結(jié)升華】判定一個(gè)四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件舉一反三：【變式】如圖所示，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角

8、線，過A點(diǎn)作AGDB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G (1)求證：DEBF； (2)若G90，求證四邊形DEBF是菱形 【答案】證明：(1)ABCD中，ABCD，ABCD E、F分別為AB、CD的中點(diǎn) DFDC，BEAB DFBEDFBE 四邊形DEBF為平行四邊形 DEBF (2)證明： AGBD GDBC90 DBC為直角三角形 又 F為邊CD的中點(diǎn) BFDCDF 又 四邊形DEBF為平行四邊形 四邊形DEBF是菱形類型三、菱形的應(yīng)用4、如圖所示，是一種長(zhǎng)0.3，寬0.2的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長(zhǎng)4.2 ，寬2.8的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚試問： (1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊?(2)全部貼滿后，這面墻壁會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)面積相同的菱形?【答案與解析】解：墻壁長(zhǎng)4.2，寬2.8，矩形瓷磚長(zhǎng)0.3，寬0.2，4.20.314，2.80.214，則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻面 (1)則至少需要這種瓷磚1414196(塊)(2)每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱形，則共有196個(gè)白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半另外在同一個(gè)頂點(diǎn)處的瓷磚能夠拼成一個(gè)淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚面積的一半，有花紋的菱形橫排有13個(gè)，豎