課件--概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率第一章概率1-5

1、概率論第五節(jié)條件概率條件概率乘法公式小結(jié)布置作業(yè)概率論一、條件概率1. 條件概率的概念在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求的概率.B發(fā)生的條件下求A發(fā)生的概率，如在將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B) P(A)概率論例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)，B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A )=1/6，P(A|B)=？B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能已知擲骰子結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，B有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中. 于是P(A|B)= 1/3.容易看到P(A|B) = 1 = 1 6 = P( AB)33 6P(B)概率論又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7

2、件正品中有3件一等品，4件二等品.一件，記現(xiàn)從這10件中任取A=取到一等品，B=取到正品則P(A )=3/10，P(A|B) = 3 = 3 10 = P( AB)77 10P(B)概率論A=取到一等品，B=取到正品P(A|B)=3/7P(A )=3/10，本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在上“某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.概率論2. 條件概率的定義設(shè)A、B是兩個(gè)，且P(B)0,則稱P( A | B) = P( AB)(1)P(B)A的條件概率.B發(fā)生的條

3、件下,為在若A也發(fā)生 ,B已發(fā)生,則為使試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) ,即此點(diǎn)必屬于AB. 知道B已發(fā)生,由于我們已經(jīng)故B變成了新的樣本空間 , 于是 有(1).BABAS概率論3. 條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)條件概率P( | A)具備概率定義的三個(gè)條件:(1) 非負(fù)性: 對于任意的B , P(B | A) 0 ;(2)(3)規(guī)范性: P(S | A) = 1 ;可列可加性: 設(shè) B1 , B2 ,是兩兩互斥,則有 =() PBiP BiAA i =1i =1所以在第二節(jié)中證明的性質(zhì)對條件概率都成立.概率論4. 條件概率的計(jì)算1) 用定義計(jì)算:P( A | B) = P( AB)

4、 ,P(B)0P(B)擲骰子2)從加入條件后改變了的情況去算例：A=擲出2 點(diǎn)，B=擲出偶數(shù)點(diǎn)1P(A|B）=3在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)概率論例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解 設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10B=第一顆擲出6點(diǎn)應(yīng)用 定義P( A | B) = P( AB) = 3 36 = 1解法1P(B)6 362P( A | B) = 3 = 1解法262在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算概率論二、乘法公式P( A | B) = P( AB)由條件概率的定義：P(B)若已知P(B), P(A|B)時(shí),

5、 可以反求P(AB).即若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B)將A、B的位置對調(diào)，有(2)若(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可P計(jì)(A)0,則同)=時(shí)P(發(fā)A)生P(B的|A概) 率算兩個(gè)而P(AB)=P(BA)P(A)0 , 則 P(AB)=P(A)P(B|A)(3)故概率論注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！請看下面的例子概率論例2甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中 300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn),A=是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)所求為P(A

6、B).300個(gè)乙廠生產(chǎn)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)概率論設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件所求為P(AB) .若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果; 在P(A|B)中作為條件.189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)概率論例3設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上解所求為 P(B|A) .依題意， P(A)=0.8,P(B)=0.4P(B | A) = P(

7、AB) = P(B) = 0.4 = 0.5P( A)P( A)0.8概率論條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的 ,設(shè)A，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)A發(fā)生的可能性大小.而條件概率 P(A|B) 是在原條件下又添加 “B發(fā)生 ” 這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小,仍是概率.即 P(A|B)P(A) 與 P(A |B) 的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.概率論的情況.乘法定理可以推廣到多個(gè)的積,且 P(AB) 0 ,則設(shè) A、B、C 為三個(gè)P(ABC ) = P(C | AB)P(B | A)P(A).A1 ,

8、A2 , , An , n 2 , 并且一般地,設(shè)有 n 個(gè)P(A1 A2 An-1 ) 0 ,則由條件概率的定義,可得P(A1 A2 An ) = P(An | A1 A2 An-1 )P(An-1 | A1 A2 An-2 ) P(A3 | A1 A2 )P(A2 | A1 )P(A1 )概率論乘法公式應(yīng)用舉例（波里亞罐子模型）b個(gè)白球, r個(gè)紅球一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn) c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.概率論隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽

9、出的球具有相同顏色的球.b個(gè)白球, r個(gè)紅球設(shè) Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4Rj=第j次取出是紅球， j=1,2,3,4解于是W1W2R3R4表示“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球. ”概率論用乘法公式容易求出P(W1W2R3R4)=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)b + cr + cbr=b + r b + r + c b + r + 2c b + r + 3c當(dāng) c 0 時(shí)，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會增加再傳染的概率.概率論一場精彩的足球賽將要舉行,

10、 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大. ”后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？入場券概率論“大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到入場券的機(jī)會都一樣大.”到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“ 入場券”的概率到底有多大?“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！备怕收撐覀冇肁i表示“第i個(gè)人抽到入場券”i1,2,3,4,5.則A表示“第i個(gè)人未抽到入場券”i顯然，P(A1)=1/5，P( A1)4/5也就

11、是說，第1個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.概率論A2= A1 A2由于因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場券，第1個(gè)人肯定沒抽到.由乘法公式P( A2 ) = P( A1)P( A2 | A1)也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未抽到，計(jì)算得：P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5概率論同理，第3個(gè)人要抽到“入場券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到.因此P( A3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 的概率都是1/5.這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.每個(gè)人抽到“入

12、場券”也就是說，抽簽不必爭先恐后.概率論例4 設(shè)袋中有 5 個(gè)紅球,3 個(gè)黑球,2 個(gè)白球 , 試按(1)有放回抽樣;(2) 不放回抽樣兩種方式摸球三次每次摸得一球,求第三次才摸得白球的概率 .設(shè) A = 第一次未摸得白球, B = 第二次未摸得白球, C = 第三次摸得白球.第三次才摸得白球 可表示為ABC .解則(1) 有放回抽樣882P(A) =, P(B | A)=, P(C | AB)=,101010概率論P(yáng)(ABC ) = P(C | AB)P(B | A)P(A)28816=.101010125(2) 無放回抽樣8, P(B | A) = 7 , P(C | AB)= 2 ,P(

13、A) =1098P(ABC ) = P(C | AB)P(B | A)P(A)= 2 7 87=.891045概率論例6 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1 ,若第一次落下未打破,第二次落下2打破的概率是 7,若前兩次未打破, 第三次落下打910,試求透鏡落下三次未打破的概率.破的概率是10設(shè) Ai= 透鏡第i 次落下打破, i = 1,2,3 ,解B = 透鏡落下三次未打破,則B = A1 A2 A3.P(B) = P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 A2 )= 1 - 1 1 -7 1 -9 32 10 10 =.200概

14、率論本題也可以先求 P(B ) ,再由P(B) = 1 - P(B )求得 P(B) .由 于 B = A1 A1 A2 A1 A2 A3并,且 A1 , A1 A2 , A1 A2 A3,故有為兩兩不相容P(B ) = P(A1 A1 A2 A1 A2 A3 )= P(A1 ) + P(A1 A2 ) + P(A1 A2 A3 )= 1 + P(A )P(A| A ) + P(A )P(A| A )P(A| A A )1211213122= 1 + 1 - 1 7 + 1 - 1 1 -7 9 = 197 .2 22002 10 10 10 3所以 P(B) = 1 - P(B ) = 1

15、- 197 =.200200概率論例7(抓鬮問題) 1995 年全國足球甲A 聯(lián)賽的最后一輪 ,四川全興隊(duì)與八一隊(duì)的比賽在成都市進(jìn)行,這場比賽是關(guān)系到四川全興隊(duì)是否降級的命運(yùn)之戰(zhàn),肯定會異常精彩,可西南交大某班30 位同學(xué)僅購得一張票,大家都想去看,只好采取抓鬮的辦法抽簽決定,每個(gè)人都爭先恐后地抽取.試問,每人抽得此票的機(jī)會是否均等?解 設(shè) Ai= 第i 個(gè)人抽得球票 , i = 1,2,30 , 則第一個(gè)人抽得球票的概率為P(A )= 1 130概率論第二個(gè)人抽得球票的概率為P(A2 ) = P(A1 A2 A1 A2 ) = P(A1 A2 ) + P(A1 A2 )= 0 + P(A A )= P(A )P(A| A )= 29 11=12121302930同理 ,第i 個(gè)人要抽得比賽球票,必須在他抽取之前的i -