近世代數(shù)楊子胥最新版題解-答

1、近世代數(shù)第一章 基本概念1. 11.4.5.近世代數(shù)題解 1. 22.3.近世代數(shù)題解 1. 31. 解 1)與3)是代數(shù)運(yùn)算，2)不是代數(shù)運(yùn)算2. 解 這實(shí)際上就是M中n個(gè)元素可重復(fù)的全排列數(shù)nn3. 解 例如ABE與ABABAB4.5.近世代數(shù)題解 1. 41.2.3.解 1）略 2）例如規(guī)定45略近世代數(shù)題解 1. 51. 解 1)是自同態(tài)映射，但非滿(mǎn)射和單射；2)是雙射，但不是自同構(gòu)映射3)是自同態(tài)映射，但非滿(mǎn)射和單射4)是雙射，但非自同構(gòu)映射2.略3.4.5.1. 61.2. 解 1)不是因?yàn)椴粷M(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性；2)不是因?yàn)椴粷M(mǎn)足傳遞性；3)是等價(jià)關(guān)系；4)是等價(jià)關(guān)系3. 解 3)每個(gè)元素

2、是一個(gè)類(lèi)，4)整個(gè)實(shí)數(shù)集作成一個(gè)類(lèi)4.則易知此關(guān)系不滿(mǎn)足反身性，但是卻滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性和傳遞性(若把Q換成實(shí)數(shù)域的任一子域均可；實(shí)際上這個(gè)例子只有數(shù)0和0符合關(guān)系，此外任何二有理數(shù)都不符合關(guān)系)5.6.證 1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章 群2. 1 群的定義和初步性質(zhì) 一、主要內(nèi)容 1群和半群的定義和例子特別是一船線性群、n次單位根群和四元數(shù)群等例子 2群的初步性質(zhì) 1)群中左單位元也是右單位元且惟一； 2)群中每個(gè)元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群方程a x=b與y a=b在G中有解(a ,bG) 4)有限半群作成群兩個(gè)消去律成立 二、釋疑解難有資料指出，群有50多種不

3、同的定義方法但最常用的有以下四種： 1)教材中的定義方法簡(jiǎn)稱(chēng)為“左左定義法”； 2)把左單位元換成有單位元，把左逆元換成右逆元(其余不動(dòng)簡(jiǎn)稱(chēng)為“右右定義法”； 3)不分左右，把單位元和逆元都規(guī)定成雙邊的，此簡(jiǎn)稱(chēng)為“雙邊定義法”； 4)半群G再加上方程a x=b與y a=b在G中有解(a ,bG)此簡(jiǎn)稱(chēng)為“方程定義法”“左左定義法”與“右右定義法”無(wú)甚差異，不再多說(shuō)“雙邊定義法”缺點(diǎn)是定義中條件不完全獨(dú)立，而且在驗(yàn)算一個(gè)群的實(shí)例時(shí)必須驗(yàn)證單位元和逆元都是雙邊的，多了一層手續(xù)(雖然這層手續(xù)一般是比較容易的)；優(yōu)點(diǎn)是：不用再去證明左單位元也是右單位元，左逆元也是右逆元；從群定義本身的條件直接體現(xiàn)了左

4、與右的對(duì)稱(chēng)性以施行“除法運(yùn)算”，即“乘法”的逆運(yùn)算因此，群的方程定義法”直接體現(xiàn)了在群中可以施行“乘法與除法”運(yùn)算于是簡(jiǎn)言之，可以施行乘法與除法運(yùn)算的半群就是群為了開(kāi)闊視野，再給出以下群的另一定義定義 一個(gè)半群G如果滿(mǎn)足以下條件則稱(chēng)為一個(gè)群：對(duì)G中任意元素a，在G中都存在元素，對(duì)G中任意元素b都有(ab)=(ba)=b這個(gè)定義與前面4種定義的等價(jià)性留給讀者作為練習(xí)2在群的“方程定義法”中，要求方程a x=b與y a=b都有解缺一不可即其中一個(gè)方程有解并不能保證另一個(gè)方程也有解4關(guān)于結(jié)合律 若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算(例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加

5、法或乘法)，則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單 5關(guān)于消去律 根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答 不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為e1但G并不是群 7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系 1)世界萬(wàn)物，形態(tài)各異但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，

6、左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的 由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性 2)幾何對(duì)稱(chēng)設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換(即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng))，則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的凡對(duì)稱(chēng)圖形(即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合)，總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換顯然，一個(gè)圖形的

7、對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān)因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng)所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論顯然，每個(gè)n元多項(xiàng)式都有一個(gè)確定的n次置換群：例如n元多項(xiàng)式例6 任何n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的置換群都是n次對(duì)稱(chēng)群 很顯然，一個(gè)多元多項(xiàng)式的置換群的階數(shù)越高，這個(gè)多元多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)性越強(qiáng)反之亦然因此，我們通常所熟知的多元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式是對(duì)稱(chēng)性最強(qiáng)的多項(xiàng)式 三、習(xí)題21解答1.略2.3.4.5.6.2. 2 群中元素的階一、主要內(nèi)容 1群中元素的階的定義及例子周期群、無(wú)扭群與混合群的定義及

8、例子特別，有限群必為周期群，但反之不成立2在群中若n，則 4若G是交換群，又G中元素有最大階m，則G中每個(gè)元素的階都是m的因子 二、釋疑解難在群中，由元素a與b的階一般決定不了乘積ab的階，這由教材中所舉的各種例子已經(jīng)說(shuō)明了這一點(diǎn)對(duì)此應(yīng)十分注意但是，在一定條件下可以由階與決定階，這就是教材中朗定理4： 4一個(gè)群中是否有最大階元?有限群中元素的階均有限，當(dāng)然有最大階元無(wú)限群中若元素的階有無(wú)限的(如正有理數(shù)乘群或整數(shù)加群)，則當(dāng)然無(wú)最大階元，若無(wú)限群中所有元素的階均有限(即無(wú)限周期群)，則可能無(wú)最大階元，如教材中的例4：下面再舉兩個(gè)(一個(gè)可換，另一個(gè)不可換)無(wú)限群有最大階元的例子5利用元素的階對(duì)群

9、進(jìn)行分類(lèi)，是研究群的重要方法之一例如，利用元素的階我們可以把群分成三類(lèi)，即周期群、無(wú)扭群與混合群而在周期群中又可分出p群p是素?cái)?shù))，從而有2群、3群、5群等等再由教材3. 9知，每個(gè)有限交換群(一種特殊的周期群)都可惟一地分解為素冪階循環(huán)p群的直積，從而也可見(jiàn)研究p群的重要意義三、習(xí)題22解答1.2.3.4.5.推回去即得6.2. 3 子 群一、主要內(nèi)容1子群的定義和例子特別是，特殊線性群(行列式等于l的方陣)是一般線性群(行列式不等于零的方陣)的子群4群的中心元和中心的定義二、釋疑解難關(guān)于真子群的定義教材把非平凡的子群叫做真子群也有的書(shū)把非G的于群叫做群G的真子群不同的定義在討論子群時(shí)各有利

10、弊好在差異不大，看參考書(shū)時(shí)應(yīng)予留意 2如果H與G是兩個(gè)群，且HG，那么能不能說(shuō)H就是G的子群?答：不能因?yàn)樽尤罕仨毷菍?duì)原群的代數(shù)運(yùn)算作成的群例如，設(shè)G是有理數(shù)加群，而H是正有理數(shù)乘群，二者都是群，且HG但是不能說(shuō)H是G的子群答：不能這樣認(rèn)為舉例如下例2 設(shè)G是四元數(shù)群則顯然是G的兩個(gè)子群且易知反之亦然 三、習(xí)題23解答1證 賂2證 必要性顯然，下證充分性 設(shè)子集H對(duì)群G的乘法封閉，則對(duì)H中任意元素a和任意正整數(shù)m都有amH 由于H中每個(gè)元素的階都有限，設(shè)n，則3對(duì)非交換群一放不成立例如，有理數(shù)域Q上全體2階可逆方陣作成的乘群中，易知 ， 的階有限，都是2，但易知其乘積的階卻無(wú)限即其全體有限階元

11、素對(duì)乘法不封閉，故不能作成子群4證 由高等代數(shù)知，與所有n階可逆方陣可換的方陣為全體純量方陣，由此即得證5證 因?yàn)?m，n)1，故存在整數(shù)s，t使 ms十n t1由此可得672. 4 循 環(huán) 群一、主要內(nèi)容1生成系和循環(huán)群的定義2循環(huán)群中元素的表示方法和生成元的狀況3循環(huán)群在同構(gòu)意義下只有兩類(lèi)：整數(shù)加群和n次單位根乘群，其中n1，2，3，4循環(huán)群的子群的狀況無(wú)限循環(huán)群有無(wú)限多個(gè)子群n階循環(huán)群有T(n)(n的正出數(shù)個(gè)數(shù))個(gè)子群，且對(duì)n的每個(gè)正因數(shù)k，有且僅有一個(gè)k階子群二、釋疑解難 1我們說(shuō)循環(huán)群是一類(lèi)完全弄清楚了的群，主要是指以下三個(gè)方面： 1)循環(huán)群的元素表示形式和運(yùn)算方法完全確定其生成元的

12、狀況也完全清楚(無(wú)限循環(huán)群有兩個(gè)生成元，n階循環(huán)群有個(gè)生成元而且ak是生成元(kn)1)； 2)循環(huán)群的子群的狀況完全清楚； 3)在同構(gòu)意義下循環(huán)群只有兩類(lèi)：一類(lèi)是無(wú)限循環(huán)群，都與整數(shù)加群同構(gòu)；另一類(lèi)是n(n1，2，)階循環(huán)群，都與n次單位根乘群同構(gòu)2循環(huán)群不僅是一類(lèi)完全弄清楚了的群，而且是一類(lèi)比較簡(jiǎn)單又與其他一些群類(lèi)有廣泛聯(lián)系的群類(lèi)例如由下一章9可知，有限交換群可分解為一些素冪階循環(huán)群的直積更一般地，任何一個(gè)具有有限生成系的交換群都可分解成循環(huán)群的直積由于循環(huán)群已完全在我們掌握之中，所以這種群(具有有限生成系的交換群)也是一類(lèi)研究清楚了的群類(lèi)它在各種應(yīng)用中有著非常重要的作用例如在組合拓?fù)鋵W(xué)中

13、它就是一個(gè)主要的工具三、習(xí)題2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.2. 5 變 換 群一、主要內(nèi)容 1變換群、雙射變換群(特別是集合M上的對(duì)稱(chēng)群和n次對(duì)稱(chēng)群)和非雙射變換群的定義及例子2變換群是雙射變換群的充要條件；雙射變換群與抽象群的關(guān)系1)集合M上的變換群G是雙射變換群G含有M的單或滿(mǎn))射變換； 2)任何一個(gè)群都同一個(gè)(雙射)變換群同構(gòu)3有限集及無(wú)限集上非雙射變換群的例子(例2和例3)二、釋疑解難 1一般近世代數(shù)書(shū)中所說(shuō)的“變換群”，都是由雙射變換(關(guān)于變換乘法)所作成的群，即本教材所說(shuō)的“雙射變換群”而本教材所說(shuō)的“變換群”則是由一個(gè)集合上的一些變換(不一定是雙射變換)作成的群通過(guò)教材

14、5定理2和推論1可知，實(shí)際上變換群可分成兩類(lèi)：一類(lèi)是雙射變換群(全由雙射變換作成的群，即通常近世代數(shù)書(shū)中所說(shuō)的“變換群”)，另一類(lèi)是非雙射變換群(全由非雙射變換作成的群)在學(xué)習(xí)本書(shū)時(shí)應(yīng)留意這種差異2本節(jié)教材定理2(若集合M上的變換群G含有M的單射或滿(mǎn)射變換則G必為M上的一個(gè)雙射變換群，即G中的變換必全是雙射變換)比有些書(shū)上相應(yīng)的定理(若集合M上由變換作成的群G含有M的恒等變換，則G中的變換必全為雙射變換)大為推廣因?yàn)楹笳咭驡包含恒等變換(一個(gè)特殊的雙射變換)，而前者僅要求G包含一個(gè)單(或滿(mǎn))射變換即可因此，后音只是前者(本節(jié)教材定理2)的一個(gè)推論，一種很特殊的情況兩相比較，差異較大這種差異也

15、說(shuō)明，M上的任何一個(gè)非雙射變換群不僅不能包含恒等變換，而且連M的任何單射或滿(mǎn)射變換也不能包含另外，在這里順便指出，集合M上的任何雙射變換群G的單位元必是M的恒等變換3集合M上的全體變換作成的集合T(M)，對(duì)于變換的乘法作成一個(gè)有單位元的半群在半群的討論中，這是一類(lèi)重要的半群并且本節(jié)習(xí)題中第4題還指出，當(dāng)1時(shí)T(M)只能作成半群，而不能作成群三、習(xí)題2. 5解答1. 解 作成有單位元半群，是單位元但不作成群，因?yàn)闊o(wú)逆元2.3. 解 G作成群：因?yàn)橐字?月15號(hào)4.5.2. 6 置 換 群一、主要內(nèi)容1任何(非循環(huán))置換都可表為不相連循環(huán)之積，任何置換都可表為若干個(gè)對(duì)換之積，且對(duì)換個(gè)數(shù)的奇陰偶性不

16、變從而有奇、偶置換的概念，且全體n次置換中奇、偶置換個(gè)數(shù)相等，各為個(gè)(n1)2k循環(huán)的奇偶性、階和逆元的確定方法，以及不相連循環(huán)乘積的奇偶性、階和逆元的確定方法 1)k循環(huán)與A有相反奇偶性 2)k循環(huán)的階為k又(i1，i2ik)1(ik，i2，i1 ) 3)若分解為不相連循環(huán)之積則其分解中奇循環(huán)個(gè)數(shù)為奇時(shí)為奇置換，否則為偶置換的階為各因子的階的最小公倍其逆元可由k循環(huán)的逆元來(lái)確定 3由置換，求置換的方法n次對(duì)稱(chēng)群sn的中心 4傳遞群的定義、例子和簡(jiǎn)單性質(zhì) 二、釋疑解難 1研究置換群的重要意義和作用 除了教材中已經(jīng)指出的(置換群是最早研究的一類(lèi)群，而且每個(gè)有限的抽象群都同一個(gè)置換群同構(gòu))以外，研

17、究置換群的重要意義和作用至少還有以下幾方面： 1)置換群是一種具體的群，從置換乘法到判斷置換的奇偶性以及求置換的階和逆置換，都很具體和簡(jiǎn)單同時(shí)它也是元素不是數(shù)的一種非交換群在群的討論中舉例時(shí)也經(jīng)常用到這種群 2)在置換群的研究中，有一些特殊的研究對(duì)象是別的群所沒(méi)有的如置換中的不動(dòng)點(diǎn)理論以及傳遞性和本原性理論等等 3)置換群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所沒(méi)有的例如，交代群、傳遞群、穩(wěn)定子群和本原群等等就教材所講過(guò)的交代群和傳遞群的重要性便可以知道，介紹置換群是多么的重要 2用循環(huán)與對(duì)換之積來(lái)表出置換的優(yōu)越性 首先，書(shū)寫(xiě)大為簡(jiǎn)化，便于運(yùn)算。另外還便于求置換的階，判斷置換的奇偶性和求逆置換因?yàn)槲?/p>

18、們知道： k循環(huán)的階是k ；不相連循環(huán)之積的階為各循環(huán)的階的最小公倍；k循環(huán)的奇偶性與k一1的奇?zhèn)H性相同；又k循環(huán)(i1，i2ik)的逆元為(i1，i2ik)1(ik，i2，i1 ) 3.由教材本節(jié)例3可直接得出以下結(jié)論:n次置換群G若包含有奇置換,則是一個(gè)偶數(shù)另外，由于偶置換之積仍為偶置換，故任何n次置換群G中的全體偶置換作成G的一個(gè)子群5在一般群中判斷二元素是否共扼(參考第三章6)并不容易，但是，在對(duì)稱(chēng)群sn中二置換是否共扼卻容易判斷，即二者有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu)(參考習(xí)題39第30題)其證明要用到本節(jié)的定理5，這也是該定理的一個(gè)重要應(yīng)用6法國(guó)數(shù)學(xué)家馬蒂厄于1861年和1873年曾發(fā)現(xiàn)四個(gè)4重傳

19、遞群，分別用M11，M12，M23，M24表示，后人稱(chēng)為馬蒂厄群這四個(gè)群的階數(shù)都很大，它們的階數(shù)分別是：三、習(xí)題26解答1.略2.3.略4.略5.6. 證 因?yàn)镠有限，故要證Hs4只用驗(yàn)算H對(duì)置換乘法封閉即可7.解 令()則G的全部6個(gè)置換是：27 陪集、指數(shù)和Lagrange定理一、主要內(nèi)容1左、右陪集定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)1)左陪集的五個(gè)基本性質(zhì)：1)一5)；2)全體左陪集與全體右陪集之間可建立雙射；3)群G關(guān)于子群H的左陪集分解式：4有限子群乘積的階同子群的階的關(guān)系沒(méi)H，K是群G的兩有限于群，則二、釋題解難1一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)陪集的乘積不再是一個(gè)陪集例如，對(duì)三次對(duì)稱(chēng)群S3的子群H=(1)，(12)來(lái)

20、說(shuō)，(1)H與(13)H是兩個(gè)左陪集，但其乘積 (1)H(13)H(13)，(23)，(123)，(132)不再是左陪集三、習(xí)題27解答1證 利用Lagrange定理即得2略3.4.5. 6. 易知S3的以下六個(gè)子集：H1(1),H2(1),(12), H3(1),(13),H4(1),(23),H5(1),(123),(132),H6S3都是S3的子群 下證S3僅有這六個(gè)子群 設(shè)H為S3的任一非平凡子群,則由于是6的因數(shù),故只能2,3 當(dāng)2時(shí)，H只能是H2, H3, H4 當(dāng)3時(shí)，H中元素的階必為3的因數(shù)，即只能是1或3因此，此時(shí)H中除單位元外，另兩個(gè)元素必定都是3階元但S3中的三階元有且僅

21、有兩個(gè)，即(123)和(132)，因此，此時(shí)只能HH5綜上所述可知，S3有且僅有這六個(gè)子群7.8. 9.10.11.12.13.14. 證 若G是有限群，則G的子集個(gè)數(shù)是有限的，從而其子群個(gè)數(shù)當(dāng)然也是有限的反之，若群G只有有限個(gè)子群，則G中顯然不能有無(wú)限階元素，因?yàn)闊o(wú)限循環(huán)群有無(wú)限個(gè)子群這樣，G中每個(gè)元素的階都有限任取a1G，則是G的一個(gè)有限于群；再取a2G一，于是是G的一個(gè)異于的有限于群再取a3G一U，同理又是G的一個(gè)異于，的有限子群但G只有有限個(gè)子群，故這種過(guò)程不能無(wú)限地持續(xù)下去，從而必存在s使16.17.18.19.20.21.22. 證 反證法設(shè)A4有6階子群H，則H除恒等置換(1)外

22、，23.24.25.26.第三章 正規(guī)子群和群的同態(tài)與同構(gòu)31 群同態(tài)與同構(gòu)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 一、主要內(nèi)容二、釋疑解難 1對(duì)于群同態(tài)映射有時(shí)不必要求是滿(mǎn)射，有時(shí)又必須要求是滿(mǎn)射例如教材本節(jié)定理1中的同態(tài)映射必須是滿(mǎn)射，而定理2和定理3的同態(tài)映射則不要求是滿(mǎn)射原因很簡(jiǎn)單：因?yàn)槎ɡ?中的同態(tài)映射若不是滿(mǎn)射，則中必有元素沒(méi)有逆象，從而以及群G中元素的性質(zhì)對(duì)它們不會(huì)產(chǎn)生任何影陶，此時(shí)當(dāng)然就不一定作成群；然而定理2和定理3的情形可就不同了：因?yàn)檫@時(shí)也是群，而且在同態(tài)映射 (不一定是滿(mǎn)射)之下單位元必有逆象，而于群必合單位元，從而的于群必有逆象，不會(huì)是空集例1 設(shè)G加F零有理數(shù)乘群，為全體有理數(shù)對(duì)乘法作成的幺半

23、群則顯然為G到的一個(gè)同態(tài)映射(不是滿(mǎn)射)雖然G是群，但對(duì)不僅不是群，連半群也不是(因?yàn)槠浯鷶?shù)運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律)2關(guān)于教材例3，若利用第三章6定理3(若pn則群G有p階元)的結(jié)論，則其證明可大為簡(jiǎn)化現(xiàn)在本節(jié)是利用前面已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)證明，這也是Lagrange定理和已知結(jié)論的一種應(yīng)用這樣做雖然梢麻煩一點(diǎn)，但也很有意義 三、習(xí)題31解答12.3.4.5. 證 因?yàn)?，G又不是循環(huán)群，從而G無(wú)4階元于是由Lagrange定理知，G中除單位元e外每個(gè)元素的階均為2因此，若令6.32正規(guī)于群和商群一、主要內(nèi)容1正規(guī)子群定義、性質(zhì)和例子性質(zhì)主要有 2)正規(guī)子群在同態(tài)滿(mǎn)射下的象和逆象均仍為正規(guī)于群 3)正規(guī)子

24、群與子群之積是子群；正規(guī)子群與正規(guī)子群之積是正規(guī)子群 2商群定義及商群的一個(gè)應(yīng)用(Cauchy定理pn階交換群必有p階子群，其中p為素?cái)?shù)) 3介紹由正規(guī)子群來(lái)界定的兩類(lèi)群：哈密頓群和單群這是兩類(lèi)在群論研究中占很重要地位的群 二、釋疑解難 1教材在本節(jié)所舉的例子中，應(yīng)該十分注意S4、及Sn(n4)的正規(guī)子群的狀況因?yàn)檫@涉及S2，S3及S4都是可解群(參考本節(jié)習(xí)題第8題)，而當(dāng)n5時(shí)Sn不是可解群這種名稱(chēng)來(lái)源于一般的二、四次代數(shù)方程都有求根公式，即可根式解，但一般的五次和五次以上助代數(shù)方程都沒(méi)有求根公式，即不可根式解這是在教材中已經(jīng)證明了的對(duì)此也可以采取以下證法： 這種證法是最原始的一種證法，當(dāng)然

25、不如教材中的證法簡(jiǎn)單其所以簡(jiǎn)單，是由于利用了子集乘法的性質(zhì)(AB)CA(BC)以及NbbN和N2N3在本教材中，共有三個(gè)定理(本節(jié)定理5、6定理3及8定理1)涉及pn(p是素?cái)?shù))階群G必有p階子群從表面上看，這三個(gè)定理似有重復(fù)之感實(shí)際上三者互相聯(lián)系緊密，而且其中任何一個(gè)都不能由另一個(gè)所代替這是因?yàn)?，本?jié)定理5是假設(shè)G為交換群，6定理3并不假設(shè)G為交換群，但在證明中要用到本節(jié)定理5；又8定理1(即第一sylow定理)又要用到6定理3因此，三者密不可分，而且哪一個(gè)也不是多余的對(duì)此，示意如下：4李型單群是李代數(shù)中謝瓦菜單群和單扭群的統(tǒng)稱(chēng)，它們是一些由矩陣作成的群三、習(xí)題32解答1略2.3.4.5.6

26、.7.8.33 群同態(tài)基本定理 一、主要內(nèi)容 1在同構(gòu)意義下，每個(gè)群能而且只能與其商群同態(tài)即指以下兩點(diǎn)： 2在同態(tài)映射下，循環(huán)群的同態(tài)象是循環(huán)群 3若G，則群G的所有包含核的子群同已的有于群間有一個(gè)保持包含關(guān)系的雙射二、釋疑解難 三、習(xí)題33解答1.2.3.4.5.這與(1)矛盾故Q+與Q不同構(gòu)34 群的同構(gòu)定理 一、主要內(nèi)容1本節(jié)主要介紹了群的三個(gè)同構(gòu)定理它們是：2借助同構(gòu)定理，作為例子證明了以下兩個(gè)結(jié)論； 二、釋疑解難1第一同構(gòu)定理還有另一證法，見(jiàn)本節(jié)習(xí)題第4題，此外還應(yīng)注意第一同構(gòu)定理中的兩個(gè)條件：這是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)橥瑯?gòu)關(guān)系具有對(duì)稱(chēng)性 3第同構(gòu)定理說(shuō)明商群中子群的特征簡(jiǎn)言之，商群中的子

27、群仍為一種商群；且商群之商群可類(lèi)似于普通分?jǐn)?shù)那樣進(jìn)行約分三、習(xí)題34解答1.2.3.4.5.6.35 群的自同構(gòu)群一、主要內(nèi)容 1群酌自同構(gòu)群、內(nèi)自同構(gòu)群以及特征子群和全特征子群的定義和例子 1)群G的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為G的自同構(gòu)群記為AtuG2)群G的全體內(nèi)自同構(gòu)二、釋疑解難 1教材中曾經(jīng)指出，要從已知群定出其白同構(gòu)群，一船而言，是非常困難的，這由教材中所舉出的例子即可說(shuō)明這一點(diǎn)但是，對(duì)有些群卻可定出其自同構(gòu)群偽一些性質(zhì)，就本教材而言，主要有：1)定理2指出，從循環(huán)群可定出其自同構(gòu)群的階2)從教材本節(jié)例1和上節(jié)例2知；Aut R主5：宣5JKi“從而Nein四元群K4的

28、自同構(gòu)群是非常清楚的，它是一個(gè)6階非交換群，而且其元素的階以及子群和正規(guī)子群的狀況都很清楚 3)本節(jié)習(xí)題第6題指出，無(wú)中心群的自同構(gòu)群仍是一個(gè)無(wú)中心群，從而由教材第二章6定理6可知當(dāng)n3時(shí)，Sn的自同構(gòu)群是一個(gè)無(wú)中心群 2群G中元素a與b確定同一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)(ab)的無(wú)要條件是： aCbC (a，bC)即a與b在同一個(gè)(關(guān)于C的)陪集中因此，有多少個(gè)關(guān)于C的陪集就有多少個(gè)G的內(nèi)自同構(gòu)，即InnG(GC)。其實(shí)這一點(diǎn)也是同構(gòu)InnGGC的直接結(jié)果，即 3群G的自同構(gòu)群顯然是G上對(duì)稱(chēng)群S(G)(G的全體雙射變換關(guān)于變換乘法作成的群)的一個(gè)子群，即進(jìn)一步，由于群的每個(gè)自同構(gòu)部保持單位元e不變，因此實(shí)際

29、上更有4由于 全特征子群特征子群正規(guī)子群,故特征子群是一類(lèi)特殊的正規(guī)于群，而全特征子群又是一類(lèi)特殊的特征子群我們知道，正規(guī)子群是不可傳遞的，即正規(guī)子群的正規(guī)子群不一定是原群的正規(guī)子群但是，對(duì)于特征子群和全待征子群來(lái)說(shuō)，卻是可以傳遞的即若G1是群G2的(全)持征子群，又G2是群G3的(全)持征子群，則G1必是G3 的(全)特征子群這個(gè)證明并不難，留給讀者作為練習(xí)三、習(xí)題35解答1.2.3.4. 證 因?yàn)橹行?，而G是非交換單群，故只有Ce從而由定理4知： Inn GGCG因此，GInnG5.6.36 共軛關(guān)系與正規(guī)化子一、主要內(nèi)容 1群中子集的共軛(特別是元素的共軛、子群的共軛)定義，和由此得到的

30、共軛子集類(lèi)(特別是共軛元素類(lèi)和共軛子群類(lèi))以及群的類(lèi)等式等概念2正規(guī)化子N(S)與中心化于C(S)的定義和性質(zhì)有： 3正規(guī)化子的作用(刻畫(huà)一個(gè)共軛類(lèi)中成員的個(gè)數(shù))和一個(gè)應(yīng)用(cauchy定理：pn階群有p階于群) 二、釋疑解難 1二元素是否共軛同此二元素所在的群的范圍有關(guān)就是說(shuō)，設(shè) a，bHG，則若a與b在H中共軛，當(dāng)然在G中一定共軛；但是，當(dāng)a與b在G中共軛時(shí)則在H中不一定共軛2群的類(lèi)等式有很多應(yīng)用，教材中本節(jié)定理3(cauchy定理)的證明就是一個(gè)例子下面再舉一例， 例2 證明：交代群A4沒(méi)有6階子群 證 反證法設(shè)A4有6階于群H，則(A4H)2從而H是A4的正規(guī)子群但是， H是A4的正規(guī)

31、子群H是A4的若干個(gè)共軛類(lèi)的并(一般也成立，讀者自證)而A4的類(lèi)等式為 1十3十4十4，由于4個(gè)數(shù)1，3，4，4中任幾個(gè)的和也不會(huì)是6，矛盾因此A4無(wú)6階子群4對(duì)任二共軛的有限于群來(lái)說(shuō)，由于二者包含的元素個(gè)數(shù)相等，當(dāng)然不可能其中一個(gè)是另一個(gè)的真子群但對(duì)無(wú)限子群來(lái)說(shuō)，這種情況卻可能發(fā)生三、習(xí)題36 解答1.略 2.略3.4.5.6.37群的直積Sylow定理有限交換群8.10.11.13.16.17.19.20.21.25.27.28.30.第四章 環(huán)與域1 環(huán)的定義一、主要內(nèi)容1環(huán)與子環(huán)的定義和例子。在例子中，持別重要的是效域上的多項(xiàng)式環(huán)、n階全陣環(huán)和線性變換環(huán)，以及集M的冪集環(huán)2環(huán)中元素的運(yùn)

32、算規(guī)則和環(huán)的非空子集S作成子環(huán)的充要條件：二、釋疑解難1設(shè)R是一個(gè)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算十，作成的環(huán)應(yīng)注意兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的地位是不平等的，是要講究次序的所以有時(shí)把這個(gè)環(huán)記為(R，十，)(或者就直接說(shuō)“R對(duì)十，作成一個(gè)環(huán)”)但不能記為R， ，十)因?yàn)檫@涉及對(duì)兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算所要求滿(mǎn)足條件的不同我們知道，環(huán)的代數(shù)運(yùn)算符號(hào)只是一種記號(hào)如果集合只有二代數(shù)運(yùn)算記為，又R對(duì) 作成一個(gè)交換群，對(duì)滿(mǎn)足結(jié)合律且對(duì)滿(mǎn)足左、右分配律，即就是說(shuō)，在環(huán)的定義里要留意兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的順序2設(shè)R對(duì)二代數(shù)運(yùn)算十，作成一個(gè)環(huán)那么，R對(duì)“十”作成一個(gè)加群，這個(gè)加群記為(R,十)；又R對(duì)“ ”作成一個(gè)半群，這個(gè)乍群記為(R，)再用左、右分配律把二者

33、聯(lián)系起來(lái)就得環(huán)(R，十)三、習(xí)題41解答12345678證明：循環(huán)環(huán)必是交換環(huán)，并且其子環(huán)也是循環(huán)環(huán)42 環(huán)的零因子和特征一、主要內(nèi)容環(huán)的左、右零因子和特征的定義與例子 2若環(huán)R無(wú)零因子且階大于1，則R中所有非零元素對(duì)加法有相同的階而且這個(gè)相同的階不是無(wú)限就是一個(gè)素?cái)?shù) 這就是說(shuō)，階大于l且無(wú)零因子的環(huán)的特征不是無(wú)限就是一個(gè)素?cái)?shù) 有單位元的環(huán)的特征就是單位元在加群中的階3整環(huán)(無(wú)零因子的交換環(huán))的定義和例子二、釋疑解難 由教材關(guān)于零因子定義直接可知，如果環(huán)有左零因子，則R也必然有右零因子反之亦然但是應(yīng)注意，環(huán)中一個(gè)元素如果是一個(gè)左零因子，則它不一定是一個(gè)右零因子例如，教材例l中的元素就是一個(gè)例子

34、反之，一個(gè)右零因子也不一定是一個(gè)左零因子例如，設(shè)置為由一切方陣對(duì)方陣普通加法與乘法作成的環(huán)則易知是R的一個(gè)右零因子，但它卻不是R的左零因子2.關(guān)于零因子的定義關(guān)于零因子的定義，不同的書(shū)往往稍有差異，關(guān)鍵在于是否把環(huán)中的零元也算作零因子本教材不把零元算作零因子，而有的書(shū)也把零元算作零因子但把非牢的零因子稱(chēng)做真零因子這種不算太大的差異，讀者看參考書(shū)時(shí)請(qǐng)留意3關(guān)于整環(huán)的定義整環(huán)的定義在不同的書(shū)中也常有差異大致有以下4種定義方法：定義1 無(wú)零因子的交換環(huán)稱(chēng)為整環(huán)(這是本教材的定義方法)定義2 階大于l且無(wú)零因子的交換環(huán)，稱(chēng)為整環(huán)定義3 有單位元且無(wú)零因子的交換環(huán)，稱(chēng)為整環(huán)定義4 階大于1、有單位元且無(wú)

35、零因子的交換環(huán)，稱(chēng)為整環(huán)以上4種定義中，要求整環(huán)無(wú)零因子、交換是共同的，區(qū)別就在于是否要求有單位元和階大于1不同的定義方法各有利弊，不宜絕對(duì)肯定哪種定義方法好或不好這種情況也許到某個(gè)時(shí)期會(huì)得到統(tǒng)一但無(wú)論如何現(xiàn)在看不同參考書(shū)時(shí)應(yīng)留意這種差異本教材采用定義1的方法也有很多原因，現(xiàn)舉一例。本章8定理1：設(shè)P是交換環(huán)R的一個(gè)理想則 P是R的素理想RP是整環(huán)這樣看起來(lái)本定理表述顯得干凈利索但若整環(huán)按定義2(或定義3、4)要求，那么以上定理表述就需變動(dòng)究竟要怎樣變動(dòng)，作為練習(xí)請(qǐng)讀者自己給出 。三、習(xí)題42解答設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)證明：若偶數(shù)，則R的特征必為2證明：P環(huán)無(wú)非零冪零元4.3 除環(huán)和域 一、主

36、要內(nèi)容1除環(huán)和域的定義及例子四元數(shù)除環(huán)2有限環(huán)若有非零元素不是零因子，則必有單位元，且每個(gè)非零又非零因子的元素都是可逆元 3有單位元環(huán)的乘群(單位群)的定義和例子 有單位元的環(huán)的全體可逆元作成的群，稱(chēng)為該環(huán)的乘群或單位群除環(huán)或域的乘群為其全體非零元作成的群；整數(shù)環(huán)Z的乘群為 Z，；數(shù)域上n階全陣環(huán)的乘群為全體n階可逆方陣對(duì)乘法作成的群；Gaus s整環(huán)的乘群為 U(Zi) ，ii，二、釋疑解難1階大于l的有限環(huán)可分為兩類(lèi)： ”1) 一類(lèi)是有零因子的有限環(huán)例如，有限集M(1)上的冪集環(huán)P(M)，不僅是個(gè)有零因子的有限環(huán)，而且除單位元M外其余每個(gè)非零元素都是零因子；后面所講的以合數(shù)n為模的剩余類(lèi)環(huán)

37、Zn也是一個(gè)有零因子的有限環(huán)2) 另一類(lèi)就是無(wú)零因子的有限環(huán)實(shí)際上根據(jù)本節(jié)推論和魏得邦定理可知，這種有限環(huán)就是有限域例如，以素?cái)?shù)p為模的剩余類(lèi)環(huán)Zp以及教材第六章所介紹的伽羅瓦域都屬于這種倩形這就是說(shuō)，階大子1的有限環(huán)或者有零因子或者無(wú)零因子，從而為域與群定義中要求兩個(gè)方程axb與yab都有解不同,這里僅要求方程axb或y ab (0a,bR)中有一個(gè)在R中有解即可教材中利用方程axb有解得到R的全體非零元有右單位元且每個(gè)非零元素都有右逆元，從而得到R是除環(huán)如果利用方程yab在R中有解，則將得到R的全體非零元有左單位元且每個(gè)非零元都有左逆元，從而也得到只是除環(huán)3關(guān)于有單位元環(huán)的單位群設(shè)R是階大

38、于l的有單位元的環(huán)則顯然R是除環(huán)R的單位群是R； R是域 R是交換群顯然，除環(huán)或域有“最大的單位群又顯然冪集環(huán)P(M)的單位群只有單位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的單位群三、習(xí)題43解答1證略2證略3證明：域和其子域有相同的單位元即F與F1有相同的單位元(也可由F與有相同單位元直接得出)4564 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)一、主要內(nèi)容1環(huán)的同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義和例子2環(huán)同態(tài)映射的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)是環(huán)R到環(huán)豆的同態(tài)滿(mǎn)射，則1) (0)是的零元，(a)(a) (aR) ； 2)當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，也是交換環(huán)； 3)當(dāng)R有單位元時(shí)，也有；并且R的單位元的象是的單位元 3在環(huán)同態(tài)映射下，是否有零因子不會(huì)傳遞

39、即若環(huán)R，則當(dāng)R有零因子時(shí)，可能沒(méi)有，當(dāng)R無(wú)零因子時(shí)，卻可能有二、釋疑解難1在1已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，對(duì)于環(huán)的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算一定要區(qū)分前后順序同樣，對(duì)于環(huán)的同態(tài)映射，也要注意其保持運(yùn)算必須是：加法對(duì)加法，乘法對(duì)乘法即(ab)(a)(b)， (ab)(a)(b)第一式中等號(hào)左邊的加號(hào)“”是環(huán)R的加法，而等號(hào)右邊的加號(hào)“”是環(huán)R的代數(shù)運(yùn)算二者雖然都用同一符號(hào)，但在實(shí)際例子中這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算卻可能點(diǎn)很大差異，根本不是一回事對(duì)上述第二個(gè)式子中等號(hào)兩端的乘法完全類(lèi)似，不再贅述 2由于零因子在環(huán)同態(tài)映射下不具有傳遞性，因此，若環(huán)R，則當(dāng)R為整環(huán)時(shí)，不一定是整環(huán)；又當(dāng)R不是整環(huán)時(shí)，卻可能是整環(huán)教材中的例1和例2說(shuō)明了這一

40、點(diǎn)3關(guān)于環(huán)的挖補(bǔ)定理，三、習(xí)題44解答1. 證 略2.3.4.5.6.7.45模n剩余類(lèi)環(huán)一、主要內(nèi)容2循環(huán)環(huán)定義、例子和簡(jiǎn)單性質(zhì) 1) 整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類(lèi)環(huán)及其子環(huán)都是循環(huán)環(huán)而且在同構(gòu)意義下這也是全部的循環(huán)環(huán)2) 循環(huán)環(huán)是交換環(huán)，但不一定有單位元而且這種環(huán)的子加群同子環(huán)、理想三者是一回事因此，n階循環(huán)環(huán)有且只有T(n)(n的正因數(shù)個(gè)數(shù))個(gè)子環(huán)(理想)二、釋疑解難1剩余類(lèi)環(huán)是一類(lèi)很重要的有限環(huán)，因?yàn)檫@種環(huán)是一種具體的環(huán)，特別是它的特征、子環(huán)(理想)、零因子、可逆元和單位群等都很清楚因此，在環(huán)的討論里常常以它作為例子來(lái)加以利用，并說(shuō)明問(wèn)題2整數(shù)環(huán)的任二不同的非零子環(huán)，作為加群，它們顯然是同

41、構(gòu)的(因?yàn)樗鼈兌际菬o(wú)限循環(huán)群)但是，作為環(huán)，它們并不同構(gòu)因?yàn)?，例如設(shè)因此，與不能同構(gòu)3剩余類(lèi)環(huán)Zn中任二不同的子環(huán)也不能同構(gòu)事實(shí)上，Zn的任二不同階的子環(huán)當(dāng)然不能同構(gòu)又設(shè)置為Zn的任意k階子環(huán)，則k但由于(Zn，)是n階循環(huán)群，從而對(duì)n的每個(gè)正因數(shù)k，(Zn，)有且只有一個(gè)k階子群，于是環(huán)Zn有且僅有一個(gè)k階子環(huán)因此，Zn的任二不同的于環(huán)當(dāng)然不同構(gòu) 4但是，有有限環(huán)存在，其有二不同子環(huán)是同構(gòu)的例如：令R是Z2上的2階全陣環(huán)，則16，且易知都是R的4階子環(huán)，而且易知R1還是一個(gè)域但是，R2無(wú)單位元(且不可換，又非零元都是零因子)，因此，R1與R2不能同構(gòu)此外易知：也都是環(huán)R的4階子環(huán)，而且R1，

42、R2，R3，R4都是互不同構(gòu)的對(duì)此不再詳述，茲留給讀者作為練習(xí)有文獻(xiàn)已經(jīng)證明，互不同構(gòu)的4階環(huán)共有11個(gè)對(duì)此不再贅述三、習(xí)題45解答1.證明：同余類(lèi)的乘法是Zn的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算2. 試指出環(huán)Z8中的可逆元和零因子，再給出它的所有子環(huán)3. 試給出Z10的所有子環(huán)，并指出它們各自的特征4.5.6.7. 證明：整數(shù)環(huán)的不同子環(huán)不同構(gòu)，證：見(jiàn)上面“釋疑解難”部分中的28.6 理 想一、主要內(nèi)容1左、右理想、理想的定義和例子2單環(huán)的定義以及單環(huán)的一個(gè)重要性質(zhì)設(shè)環(huán)R有單位元，則R上全陣環(huán)Rnn的理想都是R中某個(gè)理想上的全陣環(huán)由此可知： Rnn是單環(huán)R是單環(huán)特別，除環(huán)和域上的全陣環(huán)都是單環(huán) 3由環(huán)中元素山a，

43、a，am生成的理想a，a，am特別，由一個(gè)元素a生成的主理想a 在一般情況下，主理想a中元素的表達(dá)形式在特殊環(huán)(交換環(huán)和有單位元的環(huán))中a的元素表達(dá)形式如下：1) 在有單位元的環(huán)R中：4理想的和與積仍為理想二、釋疑解難1關(guān)于理想的乘法 我們知道，如果A，B是群G的二子集或(正規(guī))子群，則A與B的乘積是如下規(guī)定的：ABabA,，bB但當(dāng)A，B是環(huán)R的理想時(shí)，如果仍按以上規(guī)定相乘，則一般而言其乘積AB不再是理想由于這個(gè)原因，環(huán)中理想的乘法規(guī)定為AB有限和iA,，biB2對(duì)任意環(huán)R，則R至少有平凡理想和R通常把R本身叫做R的單位理想，這是由于以下原因：對(duì)R的任意理想N，顯然都有RNN， NRN但當(dāng)R有單位元時(shí)，則顯然又有RNN， NRN從而有 RNNRN這就是說(shuō)，此時(shí)R在理想乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用 3設(shè)R為任意環(huán)，aR則易知 Nra是R的一個(gè)左理想若R是交換環(huán)，則當(dāng)然但是應(yīng)注意，由于R不一定有單位元，故不一定有aN從而也不能說(shuō)N是由a生