專題22-坐標系與參數(shù)方程-2019年高考理數(shù)母題題源系列(全國Ⅰ專版)(解析版)

1、專題22 坐標系與參數(shù)方程【母題來源一】【2019年高考全國卷理數(shù)】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值【答案】（1）C的直角坐標方程為；的直角坐標方程為；（2）【解析】（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為的直角坐標方程為（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）C上的點到的距離為當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為【名師點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題求解本題中的最值問題通

2、常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題【母題來源二】【2018年高考全國卷理數(shù)】在直角坐標系中，曲線的方程為以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求的直角坐標方程；（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程【答案】（1）的直角坐標方程為；（2）的方程為【解析】（1）由，得的直角坐標方程為（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點當與只有一個公共點時，到所在直線的距離

3、為，所以，故或經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點綜上，所求的方程為【名師點睛】本題考查曲線的極坐標方程與平面直角坐標方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，結(jié)合圖形，將曲線相交的交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，從而求得結(jié)果.【母題來源三】【2017年高考全國卷理數(shù)】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）.（1）若，求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l距

4、離的最大值為，求【答案】（1），；（2）或【解析】（1）曲線的普通方程為當時，直線的普通方程為由解得或從而與的交點坐標為，（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為當時，的最大值為由題設(shè)得，所以；當時，的最大值為由題設(shè)得，所以綜上，或【名師點睛】本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性可求得參數(shù)的值【命題意圖】1.掌握極坐標與直角坐標之間的轉(zhuǎn)化公式，能利用極坐標的幾何意義解題2.理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義并靈活應(yīng)用幾何意義

5、進行解題.【命題規(guī)律】高考中以解答題的形式考查參數(shù)方程、極坐標方程相關(guān)的互化與計算，難度不大，熟練應(yīng)用互化公式、理解參數(shù)的幾何意義即可順利解決.【答題模板】解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，其一般思路為：第一步，先把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程；第二步，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題.另外，當直線經(jīng)過點P(x0,y0) ，且直線的傾斜角為，求直線與圓錐曲線的交點弦長問題時，可以把直線的參數(shù)方程設(shè)成(t為參數(shù))，交點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，計算時，把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標方程，求出t1+t2，t1t2，得到|AB|=|t1-t2|=.【方法總結(jié)】1參

6、數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：代入消元法;加減消元法;恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法等，其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.2普通方程化為參數(shù)方程曲線上任意一點的坐標與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當參數(shù)取某一值時，可以唯一確定x,y的值.一般地，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題，常采用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù);與直線有關(guān)的問題，常選用直線的傾斜角、斜率、截距作為參數(shù).此外，也常常用線段的長度、某一點的橫坐標(縱坐標)作為參數(shù).3極坐標方程與直角坐標方程互化進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關(guān)鍵是熟練掌握互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan(x0)4參數(shù)方程與極坐

7、標方程互化進行參數(shù)方程與極坐標方程互化的關(guān)鍵是可先將參數(shù)方程（或極坐標方程）化為普通方程（或直角坐標方程），再轉(zhuǎn)化為極坐標方程（或參數(shù)方程）.5幾種常見曲線的參數(shù)方程（1）圓以O(shè)（a，b）為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是，其中是參數(shù)當圓心在（0，0）時，方程為，其中是參數(shù)（2）橢圓橢圓的參數(shù)方程是，其中是參數(shù)橢圓的參數(shù)方程是，其中是參數(shù)（3）直線經(jīng)過點P0（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是，其中t是參數(shù)1【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第五次測評數(shù)學】在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：.（1）求的普通方程和的直角坐標方

8、程；（2）若曲線與交于，兩點，的中點為，點，求的值.【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）3.【解析】（1）曲線的普通方程為.由，得曲線的直角坐標方程為.（2）將兩圓的方程與作差得直線的方程為.點在直線上，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，化簡得，所以，.因為點對應(yīng)的參數(shù)為，所以.【名師點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程、參數(shù)方程、普通方程的互相轉(zhuǎn)化，著重考查直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義2【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學】已知平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）過點的直線與

9、曲線交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為，即，由，得曲線的極坐標方程為.（2）顯然直線的斜率存在，否則無交點.設(shè)直線的方程為，即.而，則圓心到直線的距離.又，所以，解得.所以直線的方程為或.【名師點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程、參數(shù)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.3【山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)2019屆高三5月校級聯(lián)合考試數(shù)學】在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點，直線的極坐標方程

10、為，它與曲線的交點為，與曲線的交點為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），普通方程為，化為極坐標方程為.（2）聯(lián)立與的極坐標方程：，解得點的極坐標為，聯(lián)立與的極坐標方程：，解得點的極坐標為，所以，又點到直線的距離，故的面積.【名師點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程的互化，極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線與直線的極坐標方程求出交點的坐標是解題的關(guān)鍵.4【安徽省定遠中學2019屆高三全國高考猜題預測卷一數(shù)學】已知在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點

11、到直線距離的最小值和最大值.【答案】（1）；（2）最大值為；最小值為.【解析】（1）將代入，可得直線的直角坐標方程為.（2）曲線上的點到直線的距離，其中，.故曲線上的點到直線的距離的最大值為，曲線上的點到直線的距離的最小值為.【名師點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化及最值問題，橢圓上的點到直線的距離的最值求解優(yōu)先考慮參數(shù)方法，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三壓軸數(shù)學】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線和直線的直角坐標方程；（2）直線與軸

12、的交點為，經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，證明：為定值.【答案】（1）曲線的直角坐標方程為，的直角坐標方程為；（2）見解析.【解析】（1）由題意，可得，則曲線的直角坐標方程為.直線的極坐標方程展開為，故直線的直角坐標方程為.（2）顯然的坐標為，不妨設(shè)過點的直線方程為（為參數(shù)），代入：，得，所以，為定值.【名師點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力6【江西省南昌市江西師范大學附屬中學2019屆高三三模

13、數(shù)學】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線經(jīng)過點，曲線的極坐標方程為（1）求曲線的極坐標方程；（2）若，是曲線上兩點，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程得：，由，得的極坐標方程為：，將點代入中得：，解得：，代入的極坐標方程整理可得：，的極坐標方程為：.（2）將點，代入曲線的極坐標方程，得：，.【名師點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程的互化、極坐標中的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)幾何意義將所求的變?yōu)?，從而使問題得以求解.7【山東省聊城市2019屆高三三?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，以為極點，軸的正半軸為極

14、軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為，傾斜角為的直線經(jīng)過點.（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.【答案】（1）,（為參數(shù)）；（2）.【解析】（1）由可得，即.設(shè)點，則，即點，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）將直線的參數(shù)方程代入得，恒成立，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)為，點對應(yīng)的參數(shù)為，則，則.【名師點睛】本題主要考查極坐標、參數(shù)方程和直角坐標的互化，考查直線的參數(shù)方程中t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8【河北省唐山市第一中學2019屆高三下學期沖刺（二）】已知直線l：(t為參數(shù))，曲線(為參數(shù))（1）設(shè)l與

15、C1相交于A，B兩點，求|AB|；（2）若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點P是曲線上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）易得l的普通方程為，的普通方程為，聯(lián)立方程組，解得l與的交點為,，則. （2）的參數(shù)方程為（為參數(shù))，故點的坐標是，從而點到直線l的距離是，由此知當時，取得最小值，且最小值為.【名師點睛】本題考查了參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化，并運用參數(shù)方程求解距離的最值問題，需要靈活運用三角恒等變換的知識.9【湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬（三）】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，

16、建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于、兩點.（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的直角坐標為，求的值.【答案】（1）曲線的直角坐標方程為，直線的普通方程為；（2）.【解析】（1）由，得，所以曲線的直角坐標方程為，即，由直線的參數(shù)方程得直線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入，化簡并整理，得.因為直線與曲線分別交于、兩點，所以，解得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，又因為，所以.因為點的直角坐標為，且在直線上，所以，解得，此時滿足，故.【名師點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化，直線參數(shù)方程中t的幾何意義，準確計算是關(guān)鍵.10【湖南省師范大學附屬中學2019屆高三考前演練（五）】在同一直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C的方程變?yōu)?以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；（2）過點作l的垂線l0交C于A，B兩點，點A在x軸上方